6. 有一个数字游戏,其规则是:对一个“数列”中任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得的差写在这两个数之间,产生一个新“数列”,这称为一次操作。例如:对于数列1,3,5,第1次操作后产生的新数列为1,2,3,2,5;第2次操作后产生的新数列为1,1,2,1,3,-1,2,3,5。对数列3,1,5也进行这样的操作,第20次操作后所产生的新数列中所有的数字的和是。

$\boldsymbol{49}$

【分析】
我们可以先从计算前几次操作后数列的总和入手，观察总和的变化规律：首先明确每次操作仅在相邻数之间插入差值，数列的首项和末项始终不变。再推导每次插入的所有差值的总和，会发现差值相加时中间项相互抵消，仅剩下末项减首项，是固定值，由此就能得到每次操作后总和的增量，进而推出第20次操作后的总和。
【解析】
1. 计算初始数列的和：原数列是3,1,5，初始总和$S_0=3+1+5=9$。
2. 分析每次操作的总和增量：设任意一次操作前的数列为$a_1,a_2,a_3,\dots,a_k$，操作后新增的数为$(a_2-a_1),(a_3-a_2),\dots,(a_k-a_{k-1})$。将这些新增数求和：
$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_k-a_{k-1})=a_k - a_1$
由于操作仅在数列中间插入数，首项始终是3，末项始终是5，因此每次操作新增的和为$5-3=2$，即每次操作后数列总和比之前增加2。
3. 推导第n次操作后的总和公式：第n次操作后的总和$S_n=S_0+2n=9+2n$。
4. 代入$n=20$计算：$S_{20}=9+2×20=49$。
【答案】
$\boldsymbol{49}$
【知识点】
探索数字规律；整式的加减运算
【点评】
本题不需要逐次写出操作后的数列，只需从整体角度分析新增数的和的规律，就能快速求解，很好地考察了归纳推理能力和整体思考的数学思维。
【难度系数】
0.6

7.“回文诗”即正读倒读都有意思，均成文章的诗，如“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受。在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”。例如4,11,343等。
(1)请写出一个四位数的“回文数”：；
(2)试说明任意四位数的“回文数”是11的倍数。

解：
(1) 1221（答案不唯一）
(2) 设任意四位回文数的千位数字为a（a是1~9的整数），百位数字为b（b是0~9的整数）。
根据回文数正读倒读相同的特征，该四位数的十位数字为b，个位数字为a。
则这个四位数可表示为：
$\begin{aligned}&1000a + 100b + 10b + a\\=&1001a + 110b\\=&11×91a + 11×10b\\=&11(91a + 10b)\end{aligned}$
因为a、b均为整数，所以$91a+10b$是整数，因此这个四位数是11的倍数，即任意四位数的“回文数”是11的倍数。

【分析】
（1）第一问需先明确四位数回文数的特征：正读倒读完全相同，即千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，只要满足该特征的四位数均符合要求，任选其一即可。
（2）第二问的解题思路：首先根据回文数的特征，用字母分别表示出四位回文数各数位上的数字，再结合数位的计数意义，将该四位数转化为含字母的代数式，对代数式化简变形后判断是否含有因数11，若剩余部分为整数，即可证明该数是11的倍数。
【解析】
（1）根据四位数回文数千位=个位、百位=十位的特征，可写出回文数1221（答案不唯一，只要满足特征即可）。
（2）设任意四位回文数的千位数字为$a$（$a$是1~9的整数），百位数字为$b$（$b$是0~9的整数）。根据回文数正读倒读相同的特征，该四位数的十位数字为$b$，个位数字为$a$。
则这个四位数可表示为：
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10b + a&=1001a + 110b\\&=11×91a + 11×10b\\&=11(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$均为整数，所以$91a+10b$是整数，因此这个四位数是11的倍数，即任意四位数的“回文数”是11的倍数。
【答案】
(1) 1221（答案不唯一）
(2) 任意四位数的“回文数”是11的倍数，证明如上。
【知识点】
数字规律探索，列代数式，整式化简
【点评】
本题结合传统文化中的“回文诗”引入回文数概念，情境新颖有趣，既考查了对新概念的理解能力，又考查了代数式表示、整式运算及数的整除相关知识，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7