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8. (1)想一个数,把这个数加上5,再乘4,然后减去20,再乘2,最后除以8,你一定重新得到你原来想的数。不妨再想一个数试一试。
(2)假设你想的数为a,按照(1)中的计算步骤写出代数式,并进行化简,你有什么发现?
(3)请你自编一个数字游戏。
(2)假设你想的数为a,按照(1)中的计算步骤写出代数式,并进行化简,你有什么发现?
(3)请你自编一个数字游戏。
答案
解：
(1) 举例验证：假设想的数是6，
第一步：$6+5=11$，
第二步：$11×4=44$，
第三步：$44-20=24$，
第四步：$24×2=48$，
第五步：$48÷8=6$，结果等于原数。
再取数12验证：$12+5=17$，$17×4=68$，$68-20=48$，$48×2=96$，$96÷8=12$，结果仍等于原数。
(2) 根据计算步骤列代数式并化简：
$\begin{aligned}&2[4(a+5)-20]÷8\\=&2(4a+20-20)÷8\\=&8a÷8\\=&a\end{aligned}$
发现：无论最初所想的数$a$取何值，按照给定步骤计算后的最终结果都等于原数$a$。
(3) 自编数字游戏示例：
想一个数，把这个数乘3，再加上9，然后除以3，最后减去你原来想的数，最终得到的结果一定是3。
(1) 举例验证：假设想的数是6，
第一步：$6+5=11$，
第二步：$11×4=44$，
第三步：$44-20=24$，
第四步：$24×2=48$，
第五步：$48÷8=6$，结果等于原数。
再取数12验证：$12+5=17$，$17×4=68$，$68-20=48$，$48×2=96$，$96÷8=12$，结果仍等于原数。
(2) 根据计算步骤列代数式并化简：
$\begin{aligned}&2[4(a+5)-20]÷8\\=&2(4a+20-20)÷8\\=&8a÷8\\=&a\end{aligned}$
发现：无论最初所想的数$a$取何值，按照给定步骤计算后的最终结果都等于原数$a$。
(3) 自编数字游戏示例：
想一个数，把这个数乘3，再加上9，然后除以3，最后减去你原来想的数，最终得到的结果一定是3。
解析
【分析】
(1) 第(1)问为验证类问题，思考时可任意选取2个普通整数，严格遵循题目给出的运算步骤逐步计算，对比最终结果与原数是否相同即可完成验证。
(2) 第(2)问需用代数方法推导普遍规律，思考时用字母a代表所想的数，按照运算顺序将每一步操作转化为代数式，再依据整式的运算规则逐步化简，观察化简结果就能得出通用结论。
(3) 第(3)问自编游戏的核心是设计的运算步骤最终能将含原数的项抵消，或刚好还原为原数，保证最终结果恒定，即可设计出符合要求的数字游戏。
【解析】
(1) 举例验证：
假设想的数是6，
第一步：$6+5=11$，
第二步：$11×4=44$，
第三步：$44-20=24$，
第四步：$24×2=48$，
第五步：$48÷8=6$，结果等于原数。
再取数12验证：$12+5=17$，$17×4=68$，$68-20=48$，$48×2=96$，$96÷8=12$，结果仍等于原数。
(2) 按照运算步骤列代数式并化简：
$\begin{aligned}&2[4(a+5)-20]÷8\\=&2(4a+20-20)÷8\\=&8a÷8\\=&a\end{aligned}$
发现：无论最初所想的数$a$取何值，按照给定步骤计算后的最终结果都等于原数$a$。
(3) 自编数字游戏示例：
想一个数，把这个数乘3，再加上9，然后除以3，最后减去你原来想的数，最终得到的结果一定是3。
【答案】
(1) 举例验证见解析，计算结果均等于原数；
(2) 化简后结果为$a$，发现无论$a$取何值，最终结果都等于原数；
(3) 示例：想一个数，把这个数乘3，再加上9，然后除以3，最后减去你原来想的数，最终得到的结果一定是3（合理即可）。
【知识点】
列代数式；整式化简；规律探究
【点评】
本题遵循从特殊到一般的认知逻辑，先通过具体数字运算感知规律，再通过代数化简验证规律的一般性，既考查了整式运算的基本功，也能让学生体会代数表示规律的便捷性，自编游戏的设置兼具趣味性和开放性，能发散思维。
【难度系数】
0.8
(1) 第(1)问为验证类问题，思考时可任意选取2个普通整数，严格遵循题目给出的运算步骤逐步计算，对比最终结果与原数是否相同即可完成验证。
(2) 第(2)问需用代数方法推导普遍规律，思考时用字母a代表所想的数，按照运算顺序将每一步操作转化为代数式，再依据整式的运算规则逐步化简，观察化简结果就能得出通用结论。
(3) 第(3)问自编游戏的核心是设计的运算步骤最终能将含原数的项抵消，或刚好还原为原数，保证最终结果恒定，即可设计出符合要求的数字游戏。
【解析】
(1) 举例验证：
假设想的数是6，
第一步：$6+5=11$，
第二步：$11×4=44$，
第三步：$44-20=24$，
第四步：$24×2=48$，
第五步：$48÷8=6$，结果等于原数。
再取数12验证：$12+5=17$，$17×4=68$，$68-20=48$，$48×2=96$，$96÷8=12$，结果仍等于原数。
(2) 按照运算步骤列代数式并化简：
$\begin{aligned}&2[4(a+5)-20]÷8\\=&2(4a+20-20)÷8\\=&8a÷8\\=&a\end{aligned}$
发现：无论最初所想的数$a$取何值，按照给定步骤计算后的最终结果都等于原数$a$。
(3) 自编数字游戏示例：
想一个数，把这个数乘3，再加上9，然后除以3，最后减去你原来想的数，最终得到的结果一定是3。
【答案】
(1) 举例验证见解析，计算结果均等于原数；
(2) 化简后结果为$a$，发现无论$a$取何值，最终结果都等于原数；
(3) 示例：想一个数，把这个数乘3，再加上9，然后除以3，最后减去你原来想的数，最终得到的结果一定是3（合理即可）。
【知识点】
列代数式；整式化简；规律探究
【点评】
本题遵循从特殊到一般的认知逻辑，先通过具体数字运算感知规律，再通过代数化简验证规律的一般性，既考查了整式运算的基本功，也能让学生体会代数表示规律的便捷性，自编游戏的设置兼具趣味性和开放性，能发散思维。
【难度系数】
0.8
9. 有一个三位数,百位数是$a$,十位数是$b$,个位数是$c$,我们可以记作$\overline{abc}$,$\overline{abc}=a×10^2 +b×10 +c$。
例如$\overline{243}=2×10^2 +4×10 +3$,仿照上面的例子:
(1)425可以用表示。
(2)43 078可以用表示。
(3)欧阳老师教4名同学玩一个数字游戏,先请A同学在心里想一个三位数,并把这个三位数在纸上写两遍构成一个六位数交给B同学。如A同学心里想的是789,那么他在纸上写的就是789 789,B同学把这个六位数除以7,得到的商写在另一张纸上并交给C同学。C同学把B同学给他的数字除以11,得到的商写在另一张纸上并交给D同学。D同学把C同学给他的数字除以13,得到的商写在另一张纸上并交还给A同学。问:还给A同学的数字和他刚开始想的数字有什么关系?请说明理由。
例如$\overline{243}=2×10^2 +4×10 +3$,仿照上面的例子:
(1)425可以用表示。
(2)43 078可以用表示。
(3)欧阳老师教4名同学玩一个数字游戏,先请A同学在心里想一个三位数,并把这个三位数在纸上写两遍构成一个六位数交给B同学。如A同学心里想的是789,那么他在纸上写的就是789 789,B同学把这个六位数除以7,得到的商写在另一张纸上并交给C同学。C同学把B同学给他的数字除以11,得到的商写在另一张纸上并交给D同学。D同学把C同学给他的数字除以13,得到的商写在另一张纸上并交还给A同学。问:还给A同学的数字和他刚开始想的数字有什么关系?请说明理由。
答案
解：
(1) $4×10^2 + 2×10 + 5$
(2) $4×10^4 + 3×10^3 + 0×10^2 + 7×10 + 8$
(3) 还给A同学的数字和他刚开始想的数字相等。
理由：设A同学刚开始想的三位数为$x = \overline{abc} = a×10^2 + b×10 + c$，
将这个三位数写两遍构成的六位数为：
$\begin{aligned}\overline{abcabc}&=a×10^5 + b×10^4 + c×10^3 + a×10^2 + b×10 + c\\&=1000×(a×10^2 + b×10 + c) + (a×10^2 + b×10 + c)\\&=1000x + x\\&=1001x\end{aligned}$
依次除以7、11、13后，计算得：
$1001x ÷7 ÷11 ÷13 = 1001x ÷(7×11×13) = 1001x ÷1001 = x$
因此最终交还的数字和A同学最初想的三位数完全相等。
(1) $4×10^2 + 2×10 + 5$
(2) $4×10^4 + 3×10^3 + 0×10^2 + 7×10 + 8$
(3) 还给A同学的数字和他刚开始想的数字相等。
理由：设A同学刚开始想的三位数为$x = \overline{abc} = a×10^2 + b×10 + c$，
将这个三位数写两遍构成的六位数为：
$\begin{aligned}\overline{abcabc}&=a×10^5 + b×10^4 + c×10^3 + a×10^2 + b×10 + c\\&=1000×(a×10^2 + b×10 + c) + (a×10^2 + b×10 + c)\\&=1000x + x\\&=1001x\end{aligned}$
依次除以7、11、13后，计算得：
$1001x ÷7 ÷11 ÷13 = 1001x ÷(7×11×13) = 1001x ÷1001 = x$
因此最终交还的数字和A同学最初想的三位数完全相等。
解析
【分析】
（1）多位数表示的核心是明确每个数位对应的计数单位：从右往左数，第1位（个位）对应$10^0$，第2位（十位）对应$10^1$，第$n$位对应$10^{n-1}$，将各数位数字乘对应计数单位再相加即可。第一小问是三位数，直接套用题干给出的三位数表示格式即可。
（2）第二小问是五位数，最高位为万位（从右数第5位），对应$10^4$，依次写出每个数位对应的项相加即可。
（3）第三小问先设原三位数为$x$，将三位数重复写两遍得到六位数，相当于把原三位数左移三位（即扩大1000倍）再加原数，可推出六位数是原数的1001倍；再计算$7×11×13$的乘积，发现乘积刚好为1001，用六位数连续除以这三个数即可得到最终结果和原数的关系。
【解析】
（1）425是三位数，百位数字为4、十位为2、个位为5，按照多位数表示规则可得：$4×10^2 + 2×10 + 5$。
（2）43078是五位数，万位数字为4、千位为3、百位为0、十位为7、个位为8，按照多位数表示规则可得：$4×10^4 + 3×10^3 + 0×10^2 + 7×10 + 8$。
（3）关系：还给A同学的数字和他刚开始想的数字相等。
理由：设A同学刚开始想的三位数为$x = \overline{abc} = a×10^2 + b×10 + c$，
将该三位数写两遍得到的六位数为$\overline{abcabc}$，展开化简得：
$\begin{aligned}\overline{abcabc}&=a×10^5 + b×10^4 + c×10^3 + a×10^2 + b×10 + c\\&=1000×(a×10^2 + b×10 + c) + (a×10^2 + b×10 + c)\\&=1000x + x\\&=1001x\end{aligned}$
根据除法的性质，连续除以多个数等于除以这几个数的乘积，依次除以7、11、13可得：
$1001x ÷7 ÷11 ÷13 = 1001x ÷(7×11×13) = 1001x ÷1001 = x$
因此最终结果等于A同学最初想的三位数。
【答案】
(1) $4×10^2 + 2×10 + 5$
(2) $4×10^4 + 3×10^3 + 0×10^2 + 7×10 + 8$
(3) 还给A同学的数字和他刚开始想的数字相等，理由见解析。
【知识点】
数位表示方法，代数式化简，有理数乘除运算
【点评】
本题前两问侧重基础，考察多位数的代数表示规则，第三问结合趣味游戏场景，考察学生用代数式表示数量关系以及运算推理的能力，能够激发学生探究数学规律的兴趣，巩固整式相关的基础知识。
【难度系数】
0.75
（1）多位数表示的核心是明确每个数位对应的计数单位：从右往左数，第1位（个位）对应$10^0$，第2位（十位）对应$10^1$，第$n$位对应$10^{n-1}$，将各数位数字乘对应计数单位再相加即可。第一小问是三位数，直接套用题干给出的三位数表示格式即可。
（2）第二小问是五位数，最高位为万位（从右数第5位），对应$10^4$，依次写出每个数位对应的项相加即可。
（3）第三小问先设原三位数为$x$，将三位数重复写两遍得到六位数，相当于把原三位数左移三位（即扩大1000倍）再加原数，可推出六位数是原数的1001倍；再计算$7×11×13$的乘积，发现乘积刚好为1001，用六位数连续除以这三个数即可得到最终结果和原数的关系。
【解析】
（1）425是三位数，百位数字为4、十位为2、个位为5，按照多位数表示规则可得：$4×10^2 + 2×10 + 5$。
（2）43078是五位数，万位数字为4、千位为3、百位为0、十位为7、个位为8，按照多位数表示规则可得：$4×10^4 + 3×10^3 + 0×10^2 + 7×10 + 8$。
（3）关系：还给A同学的数字和他刚开始想的数字相等。
理由：设A同学刚开始想的三位数为$x = \overline{abc} = a×10^2 + b×10 + c$，
将该三位数写两遍得到的六位数为$\overline{abcabc}$，展开化简得：
$\begin{aligned}\overline{abcabc}&=a×10^5 + b×10^4 + c×10^3 + a×10^2 + b×10 + c\\&=1000×(a×10^2 + b×10 + c) + (a×10^2 + b×10 + c)\\&=1000x + x\\&=1001x\end{aligned}$
根据除法的性质，连续除以多个数等于除以这几个数的乘积，依次除以7、11、13可得：
$1001x ÷7 ÷11 ÷13 = 1001x ÷(7×11×13) = 1001x ÷1001 = x$
因此最终结果等于A同学最初想的三位数。
【答案】
(1) $4×10^2 + 2×10 + 5$
(2) $4×10^4 + 3×10^3 + 0×10^2 + 7×10 + 8$
(3) 还给A同学的数字和他刚开始想的数字相等，理由见解析。
【知识点】
数位表示方法，代数式化简，有理数乘除运算
【点评】
本题前两问侧重基础，考察多位数的代数表示规则，第三问结合趣味游戏场景，考察学生用代数式表示数量关系以及运算推理的能力，能够激发学生探究数学规律的兴趣，巩固整式相关的基础知识。
【难度系数】
0.75
