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7. 工人小王加工了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说不合格. 小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60 m，一根为2.56 m，另一根为2.62 m，怎么不合格了？”
(1)图纸要求精确到2.60 m，则合格的轴长范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员说错了？
(1)图纸要求精确到2.60 m，则合格的轴长范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员说错了？
答案
解：(1)设合格的轴长为x m.
根据题意，得 $2.595≤x＜2.605$.
(2)由(1)知小王加工的轴是不合格的.
根据题意，得 $2.595≤x＜2.605$.
(2)由(1)知小王加工的轴是不合格的.
解析
【分析】
解决本题首先要理解近似数精确度的含义：
1. 第(1)问中“精确到2.60 m”，说明是对轴长的千分位（小数点后第三位）进行四舍五入得到2.60，据此推导合格范围：①若原数千分位≥5，通过“五入”得到2.60，此时原数最小为2.595；②若原数千分位＜5，通过“四舍”得到2.60，此时原数最大要小于2.605（等于2.605时四舍五入结果为2.61，不符合要求）。
2. 第(2)问只需将小王加工的两根轴的长度和第(1)问得到的合格范围对比，判断是否在区间内即可得出结论。
【解析】
(1) 设合格的轴长为x m。
因为轴长精确到2.60 m，即精确到0.01 m，根据四舍五入的规则：
当x≥2.595时，千分位的数进1可得到2.60；
当x＜2.605时，千分位的数舍去可得到2.60。
因此合格轴长的范围是$2.595≤x＜2.605$。
(2) 小王加工的两根轴长分别为2.56 m和2.62 m，对比合格范围：
2.56 ＜ 2.595，2.62 ＞ 2.605，两根轴长都不在合格范围内，因此小王加工的轴不合格。
【答案】
(1) 合格轴长的范围是$2.595\ \mathrm{m}≤x＜2.605\ \mathrm{m}$；
(2) 小王加工的轴不合格。
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法
【点评】
本题属于近似数的基础应用题，解题核心是明确不同精确度对应的近似数取值范围，要注意近似数末尾的0代表其精确程度，不能随意省略，避免混淆2.6和2.60的取值范围导致出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要理解近似数精确度的含义：
1. 第(1)问中“精确到2.60 m”，说明是对轴长的千分位（小数点后第三位）进行四舍五入得到2.60，据此推导合格范围：①若原数千分位≥5，通过“五入”得到2.60，此时原数最小为2.595；②若原数千分位＜5，通过“四舍”得到2.60，此时原数最大要小于2.605（等于2.605时四舍五入结果为2.61，不符合要求）。
2. 第(2)问只需将小王加工的两根轴的长度和第(1)问得到的合格范围对比，判断是否在区间内即可得出结论。
【解析】
(1) 设合格的轴长为x m。
因为轴长精确到2.60 m，即精确到0.01 m，根据四舍五入的规则：
当x≥2.595时，千分位的数进1可得到2.60；
当x＜2.605时，千分位的数舍去可得到2.60。
因此合格轴长的范围是$2.595≤x＜2.605$。
(2) 小王加工的两根轴长分别为2.56 m和2.62 m，对比合格范围：
2.56 ＜ 2.595，2.62 ＞ 2.605，两根轴长都不在合格范围内，因此小王加工的轴不合格。
【答案】
(1) 合格轴长的范围是$2.595\ \mathrm{m}≤x＜2.605\ \mathrm{m}$；
(2) 小王加工的轴不合格。
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法
【点评】
本题属于近似数的基础应用题，解题核心是明确不同精确度对应的近似数取值范围，要注意近似数末尾的0代表其精确程度，不能随意省略，避免混淆2.6和2.60的取值范围导致出错。
【难度系数】
0.8
8. 某沙漠的形状近似长方体，其长度大约是5 149 900 m，沙层的深度大约是3.66 m. 已知该沙漠中沙的体积大约是33 345 km³.
(1)用科学记数法将该沙漠中沙的体积表示成以立方米为单位的数.
(2)该沙漠的宽度是多少米？(结果精确到千位)
(3)若一粒沙子的体积大约是0.036 8 mm³，则该沙漠中有多少粒沙子？(用科学记数法$a×10^{n}$表示，要求$a$中只有三个数字)
(1)用科学记数法将该沙漠中沙的体积表示成以立方米为单位的数.
(2)该沙漠的宽度是多少米？(结果精确到千位)
(3)若一粒沙子的体积大约是0.036 8 mm³，则该沙漠中有多少粒沙子？(用科学记数法$a×10^{n}$表示，要求$a$中只有三个数字)
答案
(1) $3.334 5×10^{13}\ \mathrm{m}^3$
(2) $1.769×10^6\ \mathrm{m}$
(3) $9.06×10^{23}$ 粒
(2) $1.769×10^6\ \mathrm{m}$
(3) $9.06×10^{23}$ 粒
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 第一问考查体积单位换算和科学记数法：先明确$1\mathrm{km}^3=10^9\mathrm{m}^3$，将立方千米换算成立方米后，再写成$a×10^n$（$1≤a＜10$，$n$为整数）的科学记数法形式即可。
(2) 第二问利用长方体体积公式求解宽度：长方体体积=长×宽×高，变形可得宽=体积÷(长×深度)，代入数值计算后，按照要求精确到千位，再用科学记数法表示。
(3) 第三问先统一体积单位：将总沙体积从立方米换算为立方毫米，再用总沙体积除以单粒沙子体积，最后按照要求保留三位有效数字，用科学记数法表示结果即可，注意体积单位换算时，要对长度换算关系做三次方运算。
【解析】
(1) 因为$1\mathrm{km}=10^3\mathrm{m}$，所以$1\mathrm{km}^3=(10^3)^3\mathrm{m}^3=10^9\mathrm{m}^3$，
则$33345\mathrm{km}^3=33345×10^9\mathrm{m}^3=3.3345×10^4×10^9\mathrm{m}^3=3.3345×10^{13}\mathrm{m}^3$。
(2) 已知长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{深}$，所以$\mathrm{宽}=V÷(\mathrm{长}×\mathrm{深})$，
代入数据：$V=3.3345×10^{13}\mathrm{m}^3$，长$=5149900\mathrm{m}$，深$=3.66\mathrm{m}$，
则$\mathrm{宽}=3.3345×10^{13} ÷ (5149900×3.66)$
$\approx3.3345×10^{13} ÷ 1.8848634×10^7$
$\approx1.769089×10^6\mathrm{m}$，
精确到千位，得$1.769×10^6\mathrm{m}$。
(3) 先换算单位：$1\mathrm{m}=10^3\mathrm{mm}$，所以$1\mathrm{m}^3=(10^3)^3\mathrm{mm}^3=10^9\mathrm{mm}^3$，
总沙体积换算为$\mathrm{mm}^3$为：$3.3345×10^{13} ×10^9\mathrm{mm}^3=3.3345×10^{22}\mathrm{mm}^3$，
沙子总粒数$=$总沙体积$÷$单粒沙子体积$=3.3345×10^{22} ÷ 0.0368 ≈9.06×10^{23}$（粒）。
【答案】
(1) $3.3345×10^{13}\ \mathrm{m}^3$
(2) $1.769×10^6\ \mathrm{m}$
(3) $9.06×10^{23}$ 粒
【知识点】
科学记数法；长方体体积计算；近似数与有效数字
【点评】
本题结合实际生活场景命题，核心考查单位换算、科学记数法的规范表示以及近似数的取值规则，解题时需注意体积单位换算的特殊性，同时要严格按照题目要求的精确度保留结果。
【难度系数】
0.7
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 第一问考查体积单位换算和科学记数法：先明确$1\mathrm{km}^3=10^9\mathrm{m}^3$，将立方千米换算成立方米后，再写成$a×10^n$（$1≤a＜10$，$n$为整数）的科学记数法形式即可。
(2) 第二问利用长方体体积公式求解宽度：长方体体积=长×宽×高，变形可得宽=体积÷(长×深度)，代入数值计算后，按照要求精确到千位，再用科学记数法表示。
(3) 第三问先统一体积单位：将总沙体积从立方米换算为立方毫米，再用总沙体积除以单粒沙子体积，最后按照要求保留三位有效数字，用科学记数法表示结果即可，注意体积单位换算时，要对长度换算关系做三次方运算。
【解析】
(1) 因为$1\mathrm{km}=10^3\mathrm{m}$，所以$1\mathrm{km}^3=(10^3)^3\mathrm{m}^3=10^9\mathrm{m}^3$，
则$33345\mathrm{km}^3=33345×10^9\mathrm{m}^3=3.3345×10^4×10^9\mathrm{m}^3=3.3345×10^{13}\mathrm{m}^3$。
(2) 已知长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{深}$，所以$\mathrm{宽}=V÷(\mathrm{长}×\mathrm{深})$，
代入数据：$V=3.3345×10^{13}\mathrm{m}^3$，长$=5149900\mathrm{m}$，深$=3.66\mathrm{m}$，
则$\mathrm{宽}=3.3345×10^{13} ÷ (5149900×3.66)$
$\approx3.3345×10^{13} ÷ 1.8848634×10^7$
$\approx1.769089×10^6\mathrm{m}$，
精确到千位，得$1.769×10^6\mathrm{m}$。
(3) 先换算单位：$1\mathrm{m}=10^3\mathrm{mm}$，所以$1\mathrm{m}^3=(10^3)^3\mathrm{mm}^3=10^9\mathrm{mm}^3$，
总沙体积换算为$\mathrm{mm}^3$为：$3.3345×10^{13} ×10^9\mathrm{mm}^3=3.3345×10^{22}\mathrm{mm}^3$，
沙子总粒数$=$总沙体积$÷$单粒沙子体积$=3.3345×10^{22} ÷ 0.0368 ≈9.06×10^{23}$（粒）。
【答案】
(1) $3.3345×10^{13}\ \mathrm{m}^3$
(2) $1.769×10^6\ \mathrm{m}$
(3) $9.06×10^{23}$ 粒
【知识点】
科学记数法；长方体体积计算；近似数与有效数字
【点评】
本题结合实际生活场景命题，核心考查单位换算、科学记数法的规范表示以及近似数的取值规则，解题时需注意体积单位换算的特殊性，同时要严格按照题目要求的精确度保留结果。
【难度系数】
0.7
