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21.（本小题满分12分）
在课外学习活动中，小明遇到这样一道题：已知$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2 -8a +1$的值. 他的解答过程如下：
解：$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$.
$\therefore a-2=-\sqrt{3}$.
$\therefore (a-2)^2=3$，即$a^2 -4a +4=3$.
$\therefore a^2 -4a=-1$.
$\therefore 2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$.
小明的解答过程中运用了二次根式化简的方法和整体思想. 请参照他的解答过程，解决下列问题.
(1)化简：$\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_$.
(2)化简：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2021}}$.
(3)若$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，求$a^4 -4a^3 -4a +4$的值.
在课外学习活动中，小明遇到这样一道题：已知$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2 -8a +1$的值. 他的解答过程如下：
解：$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$.
$\therefore a-2=-\sqrt{3}$.
$\therefore (a-2)^2=3$，即$a^2 -4a +4=3$.
$\therefore a^2 -4a=-1$.
$\therefore 2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$.
小明的解答过程中运用了二次根式化简的方法和整体思想. 请参照他的解答过程，解决下列问题.
(1)化简：$\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_$.
(2)化简：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2021}}$.
(3)若$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，求$a^4 -4a^3 -4a +4$的值.
答案
21. 解：(1)$\sqrt{5}+\sqrt{3}$
(2)$\sqrt{2\ 022}-1$
(3)$\because a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
$\therefore a-2=\sqrt{5}$.
$\therefore (a-2)^2=5$，即$a^2-4a=1$.
$\therefore a^4-4a^3-4a+4$
$=a^2(a^2-4a)-4a+4$.
将$a^2-4a=1$代入上式，得
原式$=a^2-4a+4$
$=1+4$
$=5$.
$\therefore a^4-4a^3-4a+4$的值为5.
(2)$\sqrt{2\ 022}-1$
(3)$\because a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
$\therefore a-2=\sqrt{5}$.
$\therefore (a-2)^2=5$，即$a^2-4a=1$.
$\therefore a^4-4a^3-4a+4$
$=a^2(a^2-4a)-4a+4$.
将$a^2-4a=1$代入上式，得
原式$=a^2-4a+4$
$=1+4$
$=5$.
$\therefore a^4-4a^3-4a+4$的值为5.
解析
【分析】
本题围绕二次根式化简与代数式求值展开，解题思路如下：
(1) 分母为两个二次根式的差，利用平方差公式给分子分母同乘分母的共轭根式$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，消去分母的根号即可完成化简；
(2) 先对每一项分别做分母有理化，可发现每一项化简后都是相邻两个二次根式的差，中间项可相互抵消，仅需计算首尾两项即可得到结果；
(3) 先仿照例题方法化简$a$，得到$a-2$的值后平方求出$a^2-4a$的结果，再将所求高次多项式因式分解，把$a^2-4a$作为整体代入降次，避免直接计算高次幂，简化运算过程。
【解析】
(1) 分母有理化计算：
$\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
(2) 先对每一项分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，……，$\dfrac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2021}}=\sqrt{2022}-\sqrt{2021}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2022}-\sqrt{2021})\\&=\sqrt{2022}-1\end{aligned}$
(3) 先化简$a$：
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$
移项得$a-2=\sqrt{5}$，两边平方得$(a-2)^2=5$，展开整理得$a^2-4a=1$。
对所求多项式变形：
$a^4 -4a^3 -4a +4=a^2(a^2-4a)-4a+4$
将$a^2-4a=1$代入得：
$原式=a^2-4a+4=1+4=5$
【答案】
(1)$\sqrt{5}+\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{2022}-1$；(3)$5$
【知识点】
分母有理化，裂项相消运算，整体代入求值
【点评】
本题重点考察二次根式的化简运算技巧，分母有理化是二次根式运算的基础，第二问的裂项相消是规律类求和题的常用方法，第三问通过整体思想降次，避免了高次幂的繁琐运算，能很好地锻炼代数式化简的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次根式化简与代数式求值展开，解题思路如下：
(1) 分母为两个二次根式的差，利用平方差公式给分子分母同乘分母的共轭根式$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，消去分母的根号即可完成化简；
(2) 先对每一项分别做分母有理化，可发现每一项化简后都是相邻两个二次根式的差，中间项可相互抵消，仅需计算首尾两项即可得到结果；
(3) 先仿照例题方法化简$a$，得到$a-2$的值后平方求出$a^2-4a$的结果，再将所求高次多项式因式分解，把$a^2-4a$作为整体代入降次，避免直接计算高次幂，简化运算过程。
【解析】
(1) 分母有理化计算：
$\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
(2) 先对每一项分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，……，$\dfrac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2021}}=\sqrt{2022}-\sqrt{2021}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2022}-\sqrt{2021})\\&=\sqrt{2022}-1\end{aligned}$
(3) 先化简$a$：
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$
移项得$a-2=\sqrt{5}$，两边平方得$(a-2)^2=5$，展开整理得$a^2-4a=1$。
对所求多项式变形：
$a^4 -4a^3 -4a +4=a^2(a^2-4a)-4a+4$
将$a^2-4a=1$代入得：
$原式=a^2-4a+4=1+4=5$
【答案】
(1)$\sqrt{5}+\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{2022}-1$；(3)$5$
【知识点】
分母有理化，裂项相消运算，整体代入求值
【点评】
本题重点考察二次根式的化简运算技巧，分母有理化是二次根式运算的基础，第二问的裂项相消是规律类求和题的常用方法，第三问通过整体思想降次，避免了高次幂的繁琐运算，能很好地锻炼代数式化简的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
