20. (本小题满分10分)
在二次根式中，有一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2 × 2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，根号里面的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号外面. 我们不妨把这种现象称为“穿墙”. 具有这一性质的数还有很多，如$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，等等.
(1)猜想：$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=$ .
(2)请再写出一个具有“穿墙”性质的数：.
(3)请用只含有一个正整数$n(n≥2)$的等式表示上述规律.

20. (1)$6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2)$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，符合规律即可）
(3)$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$

【分析】
我们先观察给出的“穿墙”现象的例子，寻找共性规律：1. 等式左边都是根号下的带分数，带分数的整数部分、分子数值相同，分母等于整数部分的平方减1；2. 等式右边是整数部分乘根号下（原分子/原分母）。解题时先根据发现的规律解决(1)(2)问，再通过二次根式的化简推导通用的规律式，验证规律的正确性。
【解析】
(1) 观察已知等式：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$（分母$3=2^2-1$），$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$（分母$8=3^2-1$），$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$（分母$15=4^2-1$）。对于$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}$，分母$35=6^2-1$，符合上述规律，因此$\sqrt{6\dfrac{6}{35}}=6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$。
(2) 取正整数$n=5$，则分母为$5^2-1=24$，对应的数为$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，只要满足整数部分为$n≥2$，分母为$n^2-1$即可）。
(3) 设正整数为$n(n≥2)$，先化简左边的式子：
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2· b}=a\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{n^2· \dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$
因此规律为$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$。
【答案】
(1)$6\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2)$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$（答案不唯一，符合规律即可）
(3)$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2)$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，二次根式的性质
【点评】
本题结合趣味“穿墙”现象考察二次根式的相关知识，需要同学们先观察已知案例归纳共性，再通过二次根式运算验证规律，既锻炼了归纳推理能力，也巩固了二次根式化简的方法。
【难度系数】
0.7