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1. 选择题.
(1)如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下.
第一步：以点C为圆心、任意长为半径画弧，交直线AB于点D，E.
第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径画弧，两弧相交于点F.
第三步：作直线CF.
直线CF即为所求.
第1(1)题
下列关于a的说法中，正确的是
(
A. $a≥ \dfrac{1}{2}DE$
B. $a≤ \dfrac{1}{2}DE$
C. $a＞\dfrac{1}{2}DE$
D. $a＜\dfrac{1}{2}DE$
(1)如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下.
第一步：以点C为圆心、任意长为半径画弧，交直线AB于点D，E.
第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径画弧，两弧相交于点F.
第三步：作直线CF.
直线CF即为所求.
第1(1)题
下列关于a的说法中，正确的是
(
C
)A. $a≥ \dfrac{1}{2}DE$
B. $a≤ \dfrac{1}{2}DE$
C. $a＞\dfrac{1}{2}DE$
D. $a＜\dfrac{1}{2}DE$
答案
(1) C
解析
【分析】
本题考查过直线上一点作已知直线垂线的尺规作图原理，解题思路如下：首先明确第二步的作图目标是得到不在直线AB上的交点F，要使分别以D、E为圆心的两弧有符合要求的交点，需结合两圆相交的条件推导半径a的取值范围，若半径取值不当会导致无交点或交点在直线AB上，无法作出垂线。
【解析】
要使分别以D、E为圆心，a为半径的两段弧交于直线AB外的点F，需满足两圆相交的条件：两圆半径之和大于圆心距。
已知两圆半径均为a，两圆圆心距为DE的长度，因此可得不等式：
$a + a ＞ DE$
整理得$a ＞ \frac{1}{2}DE$。
若$a=\frac{1}{2}DE$，两弧交点在直线AB上（即DE的中点C），无法作出符合要求的垂线；若$a＜\frac{1}{2}DE$，两弧无交点，无法完成作图，因此a的取值应为$a ＞ \frac{1}{2}DE$。
【答案】
C
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 线段垂直平分线判定
3. 两圆相交条件
【点评】
本题属于基础操作类考题，重点考查对尺规作图步骤原理的理解，解题核心是明确作图时取半径的逻辑，熟练掌握基本尺规作图的步骤和原理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查过直线上一点作已知直线垂线的尺规作图原理，解题思路如下：首先明确第二步的作图目标是得到不在直线AB上的交点F，要使分别以D、E为圆心的两弧有符合要求的交点，需结合两圆相交的条件推导半径a的取值范围，若半径取值不当会导致无交点或交点在直线AB上，无法作出垂线。
【解析】
要使分别以D、E为圆心，a为半径的两段弧交于直线AB外的点F，需满足两圆相交的条件：两圆半径之和大于圆心距。
已知两圆半径均为a，两圆圆心距为DE的长度，因此可得不等式：
$a + a ＞ DE$
整理得$a ＞ \frac{1}{2}DE$。
若$a=\frac{1}{2}DE$，两弧交点在直线AB上（即DE的中点C），无法作出符合要求的垂线；若$a＜\frac{1}{2}DE$，两弧无交点，无法完成作图，因此a的取值应为$a ＞ \frac{1}{2}DE$。
【答案】
C
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 线段垂直平分线判定
3. 两圆相交条件
【点评】
本题属于基础操作类考题，重点考查对尺规作图步骤原理的理解，解题核心是明确作图时取半径的逻辑，熟练掌握基本尺规作图的步骤和原理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(2)如图，在$△ ABC$中，分别以点B和点C为圆心，以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径，在线段BC的两侧画弧，分别相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若$AB = 7$，$AC = 12$，$BC = 6$，则$△ ABD$的周长为 （
A.25
B.22
C.19
D.18
C
）A.25
B.22
C.19
D.18
答案
(2) C
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，可判断直线MN是线段BC的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，因此点D在MN上，可得BD=CD。要求△ABD的周长，其周长公式为AB+AD+BD，将BD替换为CD后，AD+CD刚好是AC的长度，因此可将△ABD的周长转化为AB与AC的和，代入已知数值即可求解。
【解析】
由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点D在直线MN上，
∴根据线段垂直平分线的性质，BD = CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD，
将BD=CD代入得：
△ABD的周长 = AB + AD + CD = AB + AC。
已知AB=7，AC=12，
∴△ABD的周长 = 7 + 12 = 19。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是先准确识别尺规作图得到的是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质做等量代换，将未知的周长转化为已知线段长度的和即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先根据题中的尺规作图方法，可判断直线MN是线段BC的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，因此点D在MN上，可得BD=CD。要求△ABD的周长，其周长公式为AB+AD+BD，将BD替换为CD后，AD+CD刚好是AC的长度，因此可将△ABD的周长转化为AB与AC的和，代入已知数值即可求解。
【解析】
由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点D在直线MN上，
∴根据线段垂直平分线的性质，BD = CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD，
将BD=CD代入得：
△ABD的周长 = AB + AD + CD = AB + AC。
已知AB=7，AC=12，
∴△ABD的周长 = 7 + 12 = 19。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是先准确识别尺规作图得到的是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质做等量代换，将未知的周长转化为已知线段长度的和即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
(3)如图，已知$△ ABC$，分别以点A和点B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点M，N，作直线MN，交AB于点O，连接CO，AN，BN。下列判断中，不正确的是（
A.$AO=BO$
B.$MN⊥ AB$
C.$AN=BN$
D.$AB=2CO$
D
）A.$AO=BO$
B.$MN⊥ AB$
C.$AN=BN$
D.$AB=2CO$
答案
(3) D
解析
【分析】
首先根据题目描述的尺规作图步骤，先判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，再结合相关性质逐一分析各选项：
1. 结合线段垂直平分线“垂直且平分对应线段”的定义，可判断A、B选项是否正确；
2. 结合线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可判断C选项是否正确；
3. 对于D选项，只有当△ABC是直角三角形且∠ACB=90°时，才有斜边AB的中线CO等于AB的一半，题目没有给出△ABC是直角三角形的条件，因此可判断D选项错误。
【解析】
由尺规作图方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线：
1. 根据线段垂直平分线的定义，可得$MN⊥ AB$，且O是AB的中点，即$AO=BO$，因此A、B选项判断正确；
2. 点N在AB的垂直平分线MN上，根据线段垂直平分线的性质，可得$AN=BN$，因此C选项判断正确；
3. 只有当△ABC为直角三角形、且$∠ ACB=90°$时，才有斜边上的中线$CO=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2CO$，题目未说明△ABC是直角三角形，因此该结论不一定成立，D选项判断错误。
本题要求选不正确的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题解题关键是先根据尺规作图特征识别出线段的垂直平分线，再结合相关性质逐一验证选项，要注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”有适用前提，不可随意使用。
【难度系数】
0.7
首先根据题目描述的尺规作图步骤，先判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，再结合相关性质逐一分析各选项：
1. 结合线段垂直平分线“垂直且平分对应线段”的定义，可判断A、B选项是否正确；
2. 结合线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可判断C选项是否正确；
3. 对于D选项，只有当△ABC是直角三角形且∠ACB=90°时，才有斜边AB的中线CO等于AB的一半，题目没有给出△ABC是直角三角形的条件，因此可判断D选项错误。
【解析】
由尺规作图方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线：
1. 根据线段垂直平分线的定义，可得$MN⊥ AB$，且O是AB的中点，即$AO=BO$，因此A、B选项判断正确；
2. 点N在AB的垂直平分线MN上，根据线段垂直平分线的性质，可得$AN=BN$，因此C选项判断正确；
3. 只有当△ABC为直角三角形、且$∠ ACB=90°$时，才有斜边上的中线$CO=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2CO$，题目未说明△ABC是直角三角形，因此该结论不一定成立，D选项判断错误。
本题要求选不正确的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题解题关键是先根据尺规作图特征识别出线段的垂直平分线，再结合相关性质逐一验证选项，要注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”有适用前提，不可随意使用。
【难度系数】
0.7
(4)如图，电信部门要在公路$l$旁修建一座移动信号发射塔. 按照设计要求，发射塔到两个城镇$M$，$N$的距离必须相等，则发射塔应该建在 (
A.点$A$处
B.点$B$处
C.点$C$处
D.点$D$处
C
)A.点$A$处
B.点$B$处
C.点$C$处
D.点$D$处
答案
(4) C
解析
【分析】
首先明确题目要求：发射塔需要同时满足两个条件，一是到城镇M、N的距离相等，二是建在公路l旁。根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此发射塔必然在线段MN的垂直平分线上，那么线段MN的垂直平分线和公路l的交点就是符合要求的位置，结合图形找到对应交点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定可知：到线段M、N两个端点距离相等的点，在线段MN的垂直平分线上。
又因为发射塔要修建在公路l旁，所以发射塔的位置是线段MN的垂直平分线与公路l的交点，观察图形可得该交点为点C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于线段垂直平分线判定的实际应用题目，解题核心是将“到两点距离相等”的要求转化为点在两点连线的垂直平分线上，再结合位置限制找交点即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
首先明确题目要求：发射塔需要同时满足两个条件，一是到城镇M、N的距离相等，二是建在公路l旁。根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此发射塔必然在线段MN的垂直平分线上，那么线段MN的垂直平分线和公路l的交点就是符合要求的位置，结合图形找到对应交点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定可知：到线段M、N两个端点距离相等的点，在线段MN的垂直平分线上。
又因为发射塔要修建在公路l旁，所以发射塔的位置是线段MN的垂直平分线与公路l的交点，观察图形可得该交点为点C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于线段垂直平分线判定的实际应用题目，解题核心是将“到两点距离相等”的要求转化为点在两点连线的垂直平分线上，再结合位置限制找交点即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
