3. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内部一点，且OB=OC. 求证：直线AO⊥BC.

3. 证明：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线，
∴直线AO是BC的垂直平分线，即直线AO⊥BC.

【分析】
要证明直线AO⊥BC，可转化为证明直线AO是线段BC的垂直平分线。首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结合已知条件AB=AC，可得出点A在BC的垂直平分线上；再由OB=OC，可得出点O也在BC的垂直平分线上。最后根据“两点确定一条直线”，即可推出直线AO就是BC的垂直平分线，进而得到AO⊥BC的结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上。
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴直线AO是BC的垂直平分线，即直线AO⊥BC。
【答案】
证明：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上。
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴直线AO是BC的垂直平分线，即直线AO⊥BC。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用题，使用垂直平分线判定定理可直接推导出结论，比证明三角形全等的方法更简便，解题时要善于结合已知条件选择最优的证明思路。
【难度系数】
0.8

4. 已知：如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=2∠ C$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。
求证：点$D$在$BC$的垂直平分线上。

4. 证明：如图，过点D作BC的垂线，交BC于点E.

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD.
又
∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBD=∠C.
在△BDE和△CDE中，
∵$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠BED=∠CED, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDE(AAS).
∴DB=DC.
∴点D在BC的垂直平分线上.

【分析】
要证明点D在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明DB=DC即可。首先利用角平分线的定义，结合已知∠ABC=2∠C的条件，推导得出∠CBD=∠C；再通过作DE⊥BC构造全等三角形，证明△BDE和△CDE全等，即可得到DB=DC，最终完成证明。
【解析】
证明：如图，过点D作BC的垂线，交BC于点E。

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD。
又
∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBD=∠C。
在△BDE和△CDE中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠BED=∠CED=90°, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDE(AAS)，
∴DB=DC。
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可得点D在BC的垂直平分线上。
【答案】
证明：如图，过点D作BC的垂线，交BC于点E.

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD.
又
∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBD=∠C.
在△BDE和△CDE中，
∵$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠BED=∠CED, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDE(AAS).
∴DB=DC.
∴点D在BC的垂直平分线上.
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确线段垂直平分线的判定条件，通过角的等量转化得到等角，再构造全等三角形证明对应边相等即可完成求证，要求学生熟练掌握几何基础定理的应用，理清证明的逻辑链条。
【难度系数】
0.7

5. 如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.
(1)求证：OB＝OD.
(2)求证：OE垂直平分BD.

5. 证明：(1)在△AOB和△COD中，
∵$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD(ASA).
∴OB=OD.
(2)
∵OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分BD.

【分析】
(1)要证明OB=OD，可通过证明OB和OD所在的△AOB与△COD全等来推导。已知OA=OC、∠A=∠C，再结合对顶角相等可得∠AOB=∠COD，满足ASA全等判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边OB=OD。
(2)要证明OE垂直平分BD，依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。由(1)的结论OB=OD，可得点O在BD的垂直平分线上；已知BE=DE，可得点E也在BD的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，即可推出OE垂直平分BD。
【解析】
(1)先梳理△AOB和△COD的对应相等条件：题目已知∠A=∠C，OA=OC，∠AOB和∠COD是对顶角，因此∠AOB=∠COD，符合ASA全等判定的条件，可证△AOB≌△COD，再根据全等三角形对应边相等，即可得到OB=OD。
(2)根据线段垂直平分线的判定规则，到线段BD两端点B、D距离相等的点，在BD的垂直平分线上。OB=OD说明点O满足该条件，BE=DE说明点E满足该条件，根据两点确定唯一一条直线，可知OE就是BD的垂直平分线，即OE垂直平分BD。
【答案】
证明：(1)在△AOB和△COD中，
∵$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD(ASA).
∴OB=OD.
(2)
∵OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分BD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考察基础定理的应用，解题时要结合已知条件选择合适的全等判定方法，明确线段垂直平分线的判定逻辑，注意“两点确定一条直线”是推导第二问的关键依据。
【难度系数】
0.8