11. 如图，$∠ AOB=90°$，$∠ DOC=90°$，则$∠ AOD+∠ BOC$为【 】

A.$100°$
B.$180°$
C.$270°$
D.不确定

B

【分析】
解题时首先观察已知条件和所求角的关系，已知两个直角∠AOB和∠DOC均为90°，我们可以将所求的∠AOD拆分为∠AOB与∠BOD的和，此时∠AOD+∠BOC就可以转化为∠AOB加上∠BOD与∠BOC的和，而∠BOD+∠BOC恰好是已知的直角∠DOC，代入数值即可算出结果。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠DOC=90°，
由角的和差关系可得：$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，
因此$∠ AOD + ∠ BOC = ∠ AOB + ∠ BOD + ∠ BOC$，
又因为$∠ BOD + ∠ BOC = ∠ DOC = 90°$，
代入得：$∠ AOD + ∠ BOC = 90° + 90° = 180°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算，直角的定义
【点评】
本题考查角的和差运算，解题核心是对所求角进行合理拆分，利用已知的直角条件进行等量代换即可求解，掌握角的拆分组合技巧是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

12. 我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”.
（1）当两个“共边角”为$45°$和$30°$时，它们非公共边的两边的夹角大小为；
（2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是$60°$，则这两个角的平分线的夹角度数为.

12. (1) 15°或75° (2) 30°或150°

【分析】
本题属于无图角度计算问题，解题核心是运用分类讨论思想，结合“共边角”的定义分析两种位置情况：
（1）两个共边角的位置有两种可能：①较小角在较大角的内部（两角在公共边同侧）；②两个角分别在公共边的两侧，分两种情况计算夹角即可。
（2）同样分两种情况讨论：①两个角的非公共边形成的60°角是两个角的差；②两个角的非公共边形成的60°角是两个角外侧的夹角，结合角平分线的性质计算平分线夹角即可。
【解析】
（1）分两种情况计算：
① 当30°角在45°角内部（两角在公共边同侧）时，非公共边的夹角 = 45° - 30° = 15°；
② 当两个角在公共边两侧时，非公共边的夹角 = 45° + 30° = 75°；
（2）设两个共边角为∠AOB、∠BOC，公共边为OB，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，分两种情况：
① 若OC在∠AOB内部，此时非公共边OA、OC的夹角∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60°，
则平分线夹角$∠ DOE = ∠ DOB - ∠ EOB = \frac{1}{2}∠ AOB - \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOB - ∠ BOC) = \frac{1}{2}×60°=30°$；
② 若OA、OC在OB两侧，此时非公共边OA、OC的夹角为60°，则$∠ AOB + ∠ BOC = 360° - 60°=300°$，
则平分线夹角$∠ DOE = ∠ DOB + ∠ EOB = \frac{1}{2}∠ AOB + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOB + ∠ BOC) = \frac{1}{2}×300°=150°$。
【答案】
（1）$\boxed{15°}$或$\boxed{75°}$；（2）$\boxed{30°}$或$\boxed{150°}$
【知识点】
角的运算；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确无图角度题需考虑位置的多种可能性，避免因漏考虑情况导致失分，需要熟练掌握角的和差计算和角平分线的性质。
【难度系数】
0.6

13. 如图，已知O是直线AB上的一点，$∠ COE = 90°$，OF是$∠ AOE$的平分线，点C与点E、F在直线AB的两侧.
（1）若$∠ BOE = 140°$，求$∠ COF$的度数；
（2）若$∠ BOE = 2α$，求$∠ COF$的度数.

(1) 因为O是直线AB上的一点，$∠BOE = 140°$,所以$∠AOE = 180°−∠BOE = 40°$.
因为OF是$∠AOE$的平分线，所以$∠EOF = ∠AOF = \frac{1}{2}∠AOE = 20°$. 因为$∠COE = 90°$,所以$∠COF = ∠COE − ∠EOF = 70°$
(2) 因为$∠BOE = 2α$,所以$∠AOE = 180°−∠BOE = 180°−2α$. 所以$∠EOF = \frac{1}{2}∠AOE = 90°−α$. 所以$∠COF = ∠COE − ∠EOF = 90°−(90°−α) = α$

【分析】
解题时首先利用直线AB对应的平角为180°，结合已知的∠BOE的大小求出∠AOE的度数；再根据角平分线的定义，得出∠EOF的度数；最后结合∠COE是直角，用∠COE减去∠EOF即可求出∠COF的度数。第二问和第一问思路完全一致，仅需将具体数值替换为含α的代数式，按相同逻辑推导即可。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的一点，所以∠AOB=180°。已知∠BOE = 140°，因此$∠ AOE = 180°-∠ BOE = 180°-140°=40°$。
因为OF是∠AOE的平分线，所以$∠ EOF = ∠ AOF = \frac{1}{2}∠ AOE = \frac{1}{2}×40°=20°$。
又因为∠COE = 90°，因此$∠ COF = ∠ COE - ∠ EOF = 90°-20°=70°$。
(2) 已知∠BOE = 2α，同理可得$∠ AOE = 180°-∠ BOE = 180°-2α$。
因为OF是∠AOE的平分线，所以$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOE = \frac{1}{2}×(180°-2α)=90°-α$。
又因为∠COE = 90°，因此$∠ COF = ∠ COE - ∠ EOF = 90°-(90°-α)=α$。
【答案】
(1) $\boxed{70°}$
(2) $\boxed{α}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题核心是熟练运用平角、角平分线的性质梳理各个角之间的数量关系，第二问用代数式推导角度的过程体现了从特殊到一般的数学思想，掌握基础角的运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

14. 如图，$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=30°$，$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$.
（1）求$∠ MON$的大小；
（2）若$∠ AOB=α$，其他条件不变，求$∠ MON$的大小；
（3）若$∠ AOB=α$，$∠ BOC =β$，其他条件不变，求$∠ MON$的大小.

(1) 45° (2) $\frac{1}{2}α$ (3) $\frac{1}{2}α$

【分析】
解题时先明确要求的∠MON可表示为∠MOC与∠NOC的差，再结合角平分线的定义，将∠MOC、∠NOC分别用已知的角表示，通过化简计算即可得到结果。对于含字母的第二、三问，沿用相同的思路，把已知角度替换为字母进行代数运算即可，最终可发现∠MON仅与∠AOB的大小有关。
【解析】
（1）先计算∠AOC的度数：
∵∠AOB=90°，∠BOC=30°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°
∵OM平分∠AOC，根据角平分线的定义
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°
∵ON平分∠BOC
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°
（2）当∠AOB=α，其他条件不变时：
∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°
∵OM平分∠AOC
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(α+30°)
∵ON平分∠BOC
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°
∴∠MON=$\frac{1}{2}$(α+30°)-15°=$\frac{1}{2}$α+15°-15°=$\frac{1}{2}$α
（3）当∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变时：
∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β
∵OM平分∠AOC
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(α+β)
∵ON平分∠BOC
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β
∴∠MON=$\frac{1}{2}$(α+β)-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α
【答案】
(1) $45°$
(2) $\frac{1}{2}α$
(3) $\frac{1}{2}α$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差运算
3. 代数式化简
【点评】
本题属于角的运算的典型变式题，遵循从特殊数值到一般字母的推导逻辑，推导后可得出结论：当OM平分∠AOC、ON平分∠BOC时，∠MON的大小恒等于∠AOB的一半，与∠BOC的大小无关，掌握该规律可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7

1. (广安中考)若$∠ A = 25°$，则$∠ A$的余角为
【 】

A.$25°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$155°$
↑北

B

【分析】
解决本题首先要明确余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角。要求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
根据余角的定义，互为余角的两个角之和为90°。
已知∠A=25°，则∠A的余角为：
$90° - ∠A = 90° - 25° = 65°$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查余角定义的运用，牢记互余两角和为90°即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 如图，甲从点A出发沿北偏东$70°$方向走50 m至点B，乙从点A出发沿南偏西$15°$方向走80 m至点C，则$∠ BAC$为 【 】

A.$85°$
B.$160°$
C.$125°$
D.$105°$

C

【分析】
解题时先明确方向角的定义，以点A为中心，正北、正东、正南相邻两个方向的夹角均为90°。首先求出AB与正东方向的夹角，再结合正东与正南的夹角、AC与正南方向的夹角，将三个角相加就能得到∠BAC的度数。
【解析】
已知射线AB是北偏东70°方向，因此AB与正北方向的夹角为70°，可得AB与正东方向的夹角为：$90° - 70° = 20°$；
射线AC是南偏西15°方向，因此AC与正南方向的夹角为15°；
又因为正东与正南方向的夹角为90°，所以$∠ BAC = 20° + 90° + 15° = 125°$。
【答案】
C
【知识点】
方向角的定义，角的和差计算
【点评】
本题考查方向角相关的角度计算，解题的关键是准确识别各方向线之间的夹角，结合角的和差关系即可算出结果，是方向角应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7