1. 分式的混合运算的运算顺序:先,再乘除,然后,有括号的先算括号里面的.

1. 乘方 加减

【分析】
这道题考查分式混合运算的运算顺序规则，解题时可类比已学的有理数、整式的混合运算顺序思考：运算遵循优先级从高到低的规则，优先级最高的是乘方运算，其次是乘除运算，最后是加减运算，若式子含有括号则优先计算括号内部的内容，对应题干空缺即可准确填写。
【解析】
分式的混合运算顺序与整数、整式的混合运算顺序一致：有括号的先算括号里面的，没有括号时，先算乘方，再算乘除，然后算加减。因此两个空缺处依次填入乘方、加减。
【答案】
乘方 加减
【知识点】
分式混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对分式混合运算顺序的掌握情况，可结合已学的整式运算顺序关联记忆，是进行分式运算必须掌握的基础规则。
【难度系数】
0.9

2.【例1】计算：$(\dfrac{3x}{y})^2 · \dfrac{1}{3x} - \dfrac{x}{y} ÷ \dfrac{y}{3}$
3. 计算：$\dfrac{a}{a+1} · \dfrac{a^2 -1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$

2. 解:原式 = $\frac{9x^2}{y^2} · \frac{1}{3x} - \frac{x}{y} · \frac{3}{y} = \frac{3x}{y^2} - \frac{3x}{y^2} = 0$.
3. 解:原式 = $\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} + \frac{1}{a} = 1$.

【分析】
这两道题属于分式混合运算类题目，解题遵循分式混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；遇到除法运算先转化为乘法运算，多项式能因式分解的先因式分解，便于后续约分简化，最后对分式加减运算的结果化简为最简分式或整式。第2题先计算乘方，再将除法转为乘法，分别计算两个乘式后做减法即可；第3题先对$a^2-1$因式分解，计算乘法部分约分后，再做同分母分式的加法。
【解析】
2. 解：先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式=$\frac{9x^2}{y^2} · \frac{1}{3x} - \frac{x}{y} · \frac{3}{y}$
分别计算乘法，约分化简：
=$\frac{3x}{y^2} - \frac{3x}{y^2}$
计算同分母分式减法：
=0
3. 解：先利用平方差公式对$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，再计算乘法：
原式=$\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
约分计算乘法部分：
=$\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}$
同分母分式相加，合并分子后化简：
=$\frac{a-1+1}{a}=\frac{a}{a}=1$
【答案】
2. $\boldsymbol{0}$；3. $\boldsymbol{1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
这两道题是分式混合运算的常规基础题，核心考查分式运算的顺序和约分化简的能力，计算时需注意除法转乘法时要乘以除式的倒数，因式分解要准确，约分不要漏项，熟练掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.75

4.【例2】计算: $( \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} + \frac{x}{x + 2} ) · \frac{1}{x - 1}$ 5.化简: $( \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} ) ÷ \frac{x + 2}{x^2 - 1}$

4. 解:原式 = $[ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2} + \frac{x}{x+2} ] · \frac{1}{x-1} = (\frac{x-2}{x+2} + \frac{x}{x+2}) · \frac{1}{x-1} = \frac{x-2+x}{x+2} · \frac{1}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x+2} · \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+2}$.
5. 解:原式 = $\frac{x+1 + x -1}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)(x-1)}{x+2} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)(x-1)}{x+2} = \frac{2x}{x+2}$.

第4题
【分析】
这是分式混合运算题，按照运算顺序先算括号内的加法，再算括号外的乘法。第一步先对括号内第一个分式的分子、分母因式分解，分子用平方差公式、分母用完全平方公式分解后约分，得到和第二个分式同分母的分式，再按同分母分式加法法则计算，最后和括号外的分式相乘，约去公因式得到最简结果。
【解析】
解：原式$=[ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2} + \frac{x}{x+2} ] · \frac{1}{x-1}$
对第一个分式约分：
$=( \frac{x-2}{x+2} + \frac{x}{x+2} ) · \frac{1}{x-1}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$= \frac{x-2+x}{x+2} · \frac{1}{x-1}$
合并分子同类项并提取公因式：
$= \frac{2(x-1)}{x+2} · \frac{1}{x-1}$
约去公因式$x-1$：
$= \frac{2}{x+2}$
【答案】
$\frac{2}{x+2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题关键是先对可因式分解的分子、分母分解因式后约分，再进行加减运算，最后乘除时注意约去公因式，将结果化简为最简分式。
【难度系数】
0.7
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第5题
【分析】
这是分式化简题，按照运算顺序先算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法计算。首先对括号内的两个分式通分，公分母为$(x-1)(x+1)$，相加后把除法运算变为乘以除数的倒数，再约去公因式得到最简结果。
【解析】
解：原式$= \frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)} ÷ \frac{x+2}{x^2-1}$
计算括号内的加法，同时将除法转化为乘法，且$x^2-1=(x+1)(x-1)$：
$= \frac{2x}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)(x-1)}{x+2}$
约去公因式$(x+1)(x-1)$：
$= \frac{2x}{x+2}$
【答案】
$\frac{2x}{x+2}$
【知识点】
分式混合运算、分式通分、分式约分
【点评】
本题考查分式的化简，计算时先处理括号内的加减运算，将除法转化为乘法后再约分，能有效简化计算过程，注意计算结果要为最简分式。
【难度系数】
0.75

6.【例3】(2025 巴中节选)先化简,再求值: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} ÷ (1 - \frac{2}{x + 1})$,其中 $x = \sqrt{2} + 1$.
7. 先化简,再求值: $(\frac{x + 3}{x^2 - x} - \frac{x}{x^2 - 2x + 1}) ÷ \frac{2x - 3}{x}$,其中 $x$ 满足 $x^2 - 2x - 1 = 0$.

6. 解:原式 = $\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} ÷ (1 - \frac{2}{x + 1}) = \frac{(x-1)^2}{x+1} ÷ \frac{(x+1)-2}{x+1} = \frac{(x-1)^2}{x+1} · \frac{x+1}{x-1} = x - 1$.
当 $x = \sqrt{2} + 1$ 时,原式 = $(\sqrt{2} + 1) - 1 = \sqrt{2}$.
7. 解:原式 = $[ \frac{x + 3}{x(x - 1)} - \frac{x}{(x - 1)^2} ] · \frac{x}{2x - 3} = [ \frac{(x + 3)(x - 1)}{x(x - 1)^2} - \frac{x^2}{x(x - 1)^2} ] · \frac{x}{2x - 3} = \frac{x^2 + 2x - 3 - x^2}{x(x - 1)^2} · \frac{x}{2x - 3} = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$.
$\because x^2 - 2x - 1 = 0 ,\therefore x^2 - 2x = 1$.
$\therefore$ 原式 = $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

【分析】
第6题解题思路：本题为基础分式化简求值题，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的减法，将1通分为分母是$x+1$的分式合并，再将除法转化为乘法，对分子因式分解后约分得到最简结果，最后代入$x$的值计算即可。
第7题解题思路：先对两个分式的分母因式分解，再计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，将除法转化为乘法约分得到最简形式；观察已知条件$x^2-2x-1=0$，变形得到$x^2-2x=1$，采用整体代入的方法计算，无需解出$x$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
6. 解：化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} ÷ (1 - \frac{2}{x + 1})\\&= \frac{(x-1)^2}{x+1} ÷ \frac{(x+1)-2}{x+1}\\&= \frac{(x-1)^2}{x+1} · \frac{x+1}{x-1}\\&= x - 1\end{aligned}$
当$x = \sqrt{2} + 1$时，代入得：
原式$= (\sqrt{2} + 1) - 1 = \sqrt{2}$
7. 解：化简原式：
$\begin{aligned}原式&= ( \frac{x + 3}{x(x - 1)} - \frac{x}{(x - 1)^2} ) · \frac{x}{2x - 3}\\&= [ \frac{(x + 3)(x - 1)}{x(x - 1)^2} - \frac{x^2}{x(x - 1)^2} ] · \frac{x}{2x - 3}\\&= \frac{x^2 + 2x - 3 - x^2}{x(x - 1)^2} · \frac{x}{2x - 3}\\&= \frac{2x - 3}{x(x - 1)^2} · \frac{x}{2x - 3}\\&= \frac{1}{x^2 - 2x + 1}\end{aligned}$
$\because x^2 - 2x - 1 = 0 ,\therefore x^2 - 2x = 1$，代入得：
原式$= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
【答案】
6. $\sqrt{2}$；7. $\frac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
这两道是分式化简求值的典型题型，第6题侧重考查分式运算的基本顺序和约分技巧，计算时注意先处理括号内的运算，除法转乘法后再约分；第7题考查整体代入思想，不需要求解$x$的具体值，利用已知条件变形代入即可减少计算量，解题时先对分母因式分解，能更方便后续通分和约分，同时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7