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8. 计算:(1)$\frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x}{y - x}$；(2)$\frac{a}{a^2 - 25b^2} - \frac{1}{2a - 10b} + \frac{2}{a + 5b}$
答案
8. (1) 解:原式$=\frac{y^2}{x(x-y)}-\frac{x}{x-y}=\frac{y^2}{x(x-y)}-\frac{x^2}{x(x-y)}=\frac{y^2-x^2}{x(x-y)}=\frac{-(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=-\frac{x+y}{x}$.
(2) 解:原式$=\frac{2a}{2(a+5b)(a-5b)}-\frac{a+5b}{2(a+5b)(a-5b)}+\frac{4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{2a-(a+5b)+4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5}{2a+10b}$.
(2) 解:原式$=\frac{2a}{2(a+5b)(a-5b)}-\frac{a+5b}{2(a+5b)(a-5b)}+\frac{4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{2a-(a+5b)+4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5}{2a+10b}$.
解析
【分析】
这两道题是异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减的通用思路：第一步先对各个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步调整分式的符号（如第(1)题中$y-x=-(x-y)$，方便统一分母形式）；第三步将各分式通分为同分母分式，按照同分母分式加减规则，分母不变、分子相加减；第四步对分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
(1) 先对分母因式分解、调整符号：
原式$=\frac{y^2}{x(x-y)}-\frac{x}{x-y}$
最简公分母为$x(x-y)$，通分可得：
$=\frac{y^2}{x(x-y)}-\frac{x^2}{x(x-y)}$
同分母分式相减，合并分子：
$=\frac{y^2-x^2}{x(x-y)}$
分子用平方差公式因式分解后约分：
$=\frac{-(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=-\frac{x+y}{x}$
(2) 先对各分母因式分解：$a^2-25b^2=(a+5b)(a-5b)$，$2a-10b=2(a-5b)$，最简公分母为$2(a+5b)(a-5b)$，通分可得：
原式$=\frac{2a}{2(a+5b)(a-5b)}-\frac{a+5b}{2(a+5b)(a-5b)}+\frac{4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}$
合并分子，去括号、合并同类项：
$=\frac{2a-(a+5b)+4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5a-25b}{2(a+5b)(a-5b)}$
分子提取公因式后约分：
$=\frac{5(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5}{2a+10b}$
【答案】
(1)$-\frac{x+y}{x}$；(2)$\frac{5}{2a+10b}$
【知识点】
分式的加减法；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是准确对分母因式分解找到最简公分母，运算过程中要注意符号变化和去括号规则，最终结果要化为最简分式，熟练掌握通分、约分技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
这两道题是异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减的通用思路：第一步先对各个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步调整分式的符号（如第(1)题中$y-x=-(x-y)$，方便统一分母形式）；第三步将各分式通分为同分母分式，按照同分母分式加减规则，分母不变、分子相加减；第四步对分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
(1) 先对分母因式分解、调整符号：
原式$=\frac{y^2}{x(x-y)}-\frac{x}{x-y}$
最简公分母为$x(x-y)$，通分可得：
$=\frac{y^2}{x(x-y)}-\frac{x^2}{x(x-y)}$
同分母分式相减，合并分子：
$=\frac{y^2-x^2}{x(x-y)}$
分子用平方差公式因式分解后约分：
$=\frac{-(x+y)(x-y)}{x(x-y)}=-\frac{x+y}{x}$
(2) 先对各分母因式分解：$a^2-25b^2=(a+5b)(a-5b)$，$2a-10b=2(a-5b)$，最简公分母为$2(a+5b)(a-5b)$，通分可得：
原式$=\frac{2a}{2(a+5b)(a-5b)}-\frac{a+5b}{2(a+5b)(a-5b)}+\frac{4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}$
合并分子，去括号、合并同类项：
$=\frac{2a-(a+5b)+4(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5a-25b}{2(a+5b)(a-5b)}$
分子提取公因式后约分：
$=\frac{5(a-5b)}{2(a+5b)(a-5b)}=\frac{5}{2a+10b}$
【答案】
(1)$-\frac{x+y}{x}$；(2)$\frac{5}{2a+10b}$
【知识点】
分式的加减法；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是准确对分母因式分解找到最简公分母，运算过程中要注意符号变化和去括号规则，最终结果要化为最简分式，熟练掌握通分、约分技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
9.【例5】计算：$a + \frac{a}{a - 1}$
答案
9. 解:原式$=\frac{a(a-1)}{a-1}+\frac{a}{a-1}=\frac{a^2-a+a}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}$.
解析
【分析】
这是整式与分式的加法运算，解题时先将整式$a$看作分母为1的分式，转化为异分母分式相加问题：第一步确定两个分式的最简公分母为$(a-1)$，第二步利用分式的基本性质通分，将两个分式化为同分母分式，第三步按照同分母分式加法法则（分母不变，分子相加）计算，最后化简分子得到最简结果。
【解析】
解：原式$=\frac{a(a-1)}{a-1}+\frac{a}{a-1}$
$=\frac{a^2-a+a}{a-1}$
$=\frac{a^2}{a-1}$
【答案】
$\frac{a^2}{a-1}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式通分；整式化简
【点评】
本题属于分式加减运算的基础题型，解题关键是将整式转化为分母为1的分式后正确通分，计算分子时要注意运算规则，最终结果需保留为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是整式与分式的加法运算，解题时先将整式$a$看作分母为1的分式，转化为异分母分式相加问题：第一步确定两个分式的最简公分母为$(a-1)$，第二步利用分式的基本性质通分，将两个分式化为同分母分式，第三步按照同分母分式加法法则（分母不变，分子相加）计算，最后化简分子得到最简结果。
【解析】
解：原式$=\frac{a(a-1)}{a-1}+\frac{a}{a-1}$
$=\frac{a^2-a+a}{a-1}$
$=\frac{a^2}{a-1}$
【答案】
$\frac{a^2}{a-1}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式通分；整式化简
【点评】
本题属于分式加减运算的基础题型，解题关键是将整式转化为分母为1的分式后正确通分，计算分子时要注意运算规则，最终结果需保留为最简分式。
【难度系数】
0.8
10. 计算:$\frac{a^2}{a - 1} - a - 1.$
答案
10. 解:原式$=\frac{a^2}{a-1}-(a+1)=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}$.
解析
【分析】
本题是分式与整式的减法运算题，解题思路如下：首先将整式部分变形为与分式同分母的形式，再按照同分母分式的减法法则计算。第一步先把$-a-1$整理为$-(a+1)$，避免符号出错；第二步对整式$a+1$通分，分子分母同乘$a-1$，利用平方差公式展开分子；第三步将分子相减、合并同类项，最后化简得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{a^2}{a-1}-(a+1)$
$=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2-(a^2-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}$
$=\frac{1}{a-1}$
【答案】
$\frac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，核心考查将整式转化为同分母分式参与运算的能力，计算时需注意通分的正确性以及去括号时的符号变化，熟练掌握该类题型可为后续复杂分式运算打好基础。
【难度系数】
0.75
本题是分式与整式的减法运算题，解题思路如下：首先将整式部分变形为与分式同分母的形式，再按照同分母分式的减法法则计算。第一步先把$-a-1$整理为$-(a+1)$，避免符号出错；第二步对整式$a+1$通分，分子分母同乘$a-1$，利用平方差公式展开分子；第三步将分子相减、合并同类项，最后化简得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{a^2}{a-1}-(a+1)$
$=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2-(a^2-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}$
$=\frac{1}{a-1}$
【答案】
$\frac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，核心考查将整式转化为同分母分式参与运算的能力，计算时需注意通分的正确性以及去括号时的符号变化，熟练掌握该类题型可为后续复杂分式运算打好基础。
【难度系数】
0.75
1. (2025新疆)计算：$\dfrac{x}{x-2y} - \dfrac{2y}{x-2y} = (\quad)$
A.$1$
B.$x - 2y$
C.$\dfrac{1}{x - 2y}$
D.$\dfrac{x - 2y}{-4y}$
A.$1$
B.$x - 2y$
C.$\dfrac{1}{x - 2y}$
D.$\dfrac{x - 2y}{-4y}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-2y$，属于同分母分式减法；根据同分母分式的运算规则，分母不变，分子相减得到新的分式；最后对得到的分式约分即可得到结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\dfrac{x}{x-2y} - \dfrac{2y}{x-2y}&=\dfrac{x - 2y}{x - 2y}\\&=1 \quad (\mathrm{分式有意义时，}x-2y≠0\mathrm{，可约分})\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式加减的基本规则，只要熟练掌握同分母分式的运算方法和约分的要求，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-2y$，属于同分母分式减法；根据同分母分式的运算规则，分母不变，分子相减得到新的分式；最后对得到的分式约分即可得到结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\dfrac{x}{x-2y} - \dfrac{2y}{x-2y}&=\dfrac{x - 2y}{x - 2y}\\&=1 \quad (\mathrm{分式有意义时，}x-2y≠0\mathrm{，可约分})\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式加减的基本规则，只要熟练掌握同分母分式的运算方法和约分的要求，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. (2025 达州)化简：$\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{y - x} =$
$\dfrac{5}{x-y}$
.答案
2. $\dfrac{5}{x-y}$
解析
【分析】
解题时首先观察两个分式的分母，发现$x-y$和$y-x$互为相反数，可利用分式的基本性质将第二个分式的分母转化为$x-y$，注意处理好符号变化，再根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，最后化简分子得到结果。
【解析】
解：观察到分母$y-x=-(x-y)$，对原式变形：
$\begin{aligned}\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{y - x}&=\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{-(x - y)}\\&=\frac{3x}{x - y} + \frac{5 - 3x}{x - y}\\&=\frac{3x + 5 - 3x}{x - y}\\&=\frac{5}{x - y}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{x-y}$
【知识点】
分式的基本性质、同分母分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考点是异分母分式转化为同分母分式的方法，易错点是处理互为相反数的分母时符号容易出错，运算时要细心核对符号。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察两个分式的分母，发现$x-y$和$y-x$互为相反数，可利用分式的基本性质将第二个分式的分母转化为$x-y$，注意处理好符号变化，再根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，最后化简分子得到结果。
【解析】
解：观察到分母$y-x=-(x-y)$，对原式变形：
$\begin{aligned}\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{y - x}&=\frac{3x}{x - y} - \frac{5 - 3x}{-(x - y)}\\&=\frac{3x}{x - y} + \frac{5 - 3x}{x - y}\\&=\frac{3x + 5 - 3x}{x - y}\\&=\frac{5}{x - y}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{x-y}$
【知识点】
分式的基本性质、同分母分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考点是异分母分式转化为同分母分式的方法，易错点是处理互为相反数的分母时符号容易出错，运算时要细心核对符号。
【难度系数】
0.8
3. (2025天津改编)计算:$\dfrac{2}{a^2 - 1} + \dfrac{1}{a + 1}$
答案
解:原式 = $\dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{1}{a+1}$
$= \dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{a-1}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{2+(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{a+1}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{1}{a-1}.$
$= \dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{a-1}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{2+(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{a+1}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{1}{a-1}.$
解析
【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对各分母因式分解，第一个分母$a^2-1$符合平方差公式，可分解为$(a+1)(a-1)$；第二步确定两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$；第三步将第二个分式通分，化为和第一个分式同分母的分式；第四步按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加；第五步对分子化简后，约掉分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
原式 = $\dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{1}{a+1}$
$= \dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{a-1}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{2+(a-1)}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{a+1}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{1}{a-1}$
【答案】
$\dfrac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的加减法；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加减运算规则，解题时需先准确因式分解分母确定最简公分母，通分后注意分子运算的符号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对各分母因式分解，第一个分母$a^2-1$符合平方差公式，可分解为$(a+1)(a-1)$；第二步确定两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$；第三步将第二个分式通分，化为和第一个分式同分母的分式；第四步按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加；第五步对分子化简后，约掉分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
原式 = $\dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{1}{a+1}$
$= \dfrac{2}{(a-1)(a+1)} + \dfrac{a-1}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{2+(a-1)}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{a+1}{(a-1)(a+1)}$
$= \dfrac{1}{a-1}$
【答案】
$\dfrac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的加减法；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加减运算规则，解题时需先准确因式分解分母确定最简公分母，通分后注意分子运算的符号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$\frac{a+1}{a^2+2a+1} + \frac{1}{a+1} - \frac{2}{a^2+a}$
答案
解:原式 = $\dfrac{a+1}{(a+1)^2} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
$= \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)} = \dfrac{2}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
$= \dfrac{2a-2}{a(a+1)} = \dfrac{2a-2}{a^2+a}.$
$= \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)} = \dfrac{2}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
$= \dfrac{2a-2}{a(a+1)} = \dfrac{2a-2}{a^2+a}.$
解析
【分析】
这是分式加减运算题，解题思路如下：第一步先对各分式的分母进行因式分解，观察到第一个分式的分母是完全平方式，可分解为$(a+1)^2$，分子和分母有公因式$(a+1)$，可先约分简化运算；第三个分式的分母提取公因式$a$后可分解为$a(a+1)$。第二步确定所有分母的最简公分母为$a(a+1)$，将各分式通分为同分母分式。第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，最后化简得到结果即可。
【解析】
先对各分母因式分解，再逐步计算：
原式 = $\dfrac{a+1}{(a+1)^2} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
约分第一个分式，得：
$= \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
合并前两个同分母分式：
$= \dfrac{2}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
通分后计算分子加减：
$= \dfrac{2a}{a(a+1)} - \dfrac{2}{a(a+1)} = \dfrac{2a-2}{a(a+1)} = \dfrac{2a-2}{a^2+a}$
【答案】
$\dfrac{2a-2}{a^2+a}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式的约分与通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时先对分母因式分解、能约分先约分再通分，能有效降低计算难度，需注意通分时分子也要对应乘相应的因式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式加减运算题，解题思路如下：第一步先对各分式的分母进行因式分解，观察到第一个分式的分母是完全平方式，可分解为$(a+1)^2$，分子和分母有公因式$(a+1)$，可先约分简化运算；第三个分式的分母提取公因式$a$后可分解为$a(a+1)$。第二步确定所有分母的最简公分母为$a(a+1)$，将各分式通分为同分母分式。第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，最后化简得到结果即可。
【解析】
先对各分母因式分解，再逐步计算：
原式 = $\dfrac{a+1}{(a+1)^2} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
约分第一个分式，得：
$= \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
合并前两个同分母分式：
$= \dfrac{2}{a+1} - \dfrac{2}{a(a+1)}$
通分后计算分子加减：
$= \dfrac{2a}{a(a+1)} - \dfrac{2}{a(a+1)} = \dfrac{2a-2}{a(a+1)} = \dfrac{2a-2}{a^2+a}$
【答案】
$\dfrac{2a-2}{a^2+a}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式的约分与通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时先对分母因式分解、能约分先约分再通分，能有效降低计算难度，需注意通分时分子也要对应乘相应的因式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 计算：$\dfrac{x^2}{x+1} - x + 1.$
答案
解:原式 = $\dfrac{x^2}{x+1} - (x-1) = \dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}$
$= \dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x+1} = \dfrac{1}{x+1}.$
$= \dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x+1} = \dfrac{1}{x+1}.$
解析
【分析】
这是一道分式与整式的加减运算题，解题思路如下：首先异分母分式相加减需要先通分，我们可以把整式部分“$-x+1$”变形为“$-(x-1)$”，将其看作分母为1的分式，确定两个式子的最简公分母为$x+1$；接着利用平方差公式计算通分后整式部分的分子，再按照同分母分式相减的法则：分母不变，分子相减，最后化简分子得到结果，计算时要注意通分和分子相减时的符号问题。
【解析】
原式$=\dfrac{x^2}{x+1} - (x-1)$
$=\dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}$
$=\dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{x^2-1}{x+1}$
$=\dfrac{x^2 - (x^2 - 1)}{x+1}$
$=\dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x+1}$
$=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x+1}$
【知识点】
分式的加减运算，通分，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式与整式混合加减的运算规则，易错点是处理整式项时符号出错，以及通分后分子相减时忘记给后一项的分子加括号导致符号错误，计算时遵循运算顺序，熟练掌握平方差公式的应用即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
这是一道分式与整式的加减运算题，解题思路如下：首先异分母分式相加减需要先通分，我们可以把整式部分“$-x+1$”变形为“$-(x-1)$”，将其看作分母为1的分式，确定两个式子的最简公分母为$x+1$；接着利用平方差公式计算通分后整式部分的分子，再按照同分母分式相减的法则：分母不变，分子相减，最后化简分子得到结果，计算时要注意通分和分子相减时的符号问题。
【解析】
原式$=\dfrac{x^2}{x+1} - (x-1)$
$=\dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}$
$=\dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{x^2-1}{x+1}$
$=\dfrac{x^2 - (x^2 - 1)}{x+1}$
$=\dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x+1}$
$=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x+1}$
【知识点】
分式的加减运算，通分，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式与整式混合加减的运算规则，易错点是处理整式项时符号出错，以及通分后分子相减时忘记给后一项的分子加括号导致符号错误，计算时遵循运算顺序，熟练掌握平方差公式的应用即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
6. 若$\frac{x-3}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$,求$A,B$的值.
答案
6. 解:由题意,得$\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}.$
$\therefore x-3 = A(x-1)+B(x+1) = (A+B)x + (-A+B).$
$\therefore \begin{cases} A+B=1, \\ -A+B=-3. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=2, \\ B=-1. \end{cases}$
$\therefore x-3 = A(x-1)+B(x+1) = (A+B)x + (-A+B).$
$\therefore \begin{cases} A+B=1, \\ -A+B=-3. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=2, \\ B=-1. \end{cases}$
解析
【分析】
这是分式恒等变形求未知系数的问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先，根据分式的基本性质，对等式右侧的两个分式通分，通分后右侧分母和左侧分母完全相同；其次，相等的两个分式若分母相同，则分子必然相等，可得到关于x的整式等式；接着，将右侧整式展开、合并同类项，整理为“一次项系数×x+常数项”的形式；最后，依据等式两边多项式相等时同类项系数对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，求解方程组即可得到A、B的值。
【解析】
解：由题意，将等式右侧通分可得：
$\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
因为左右两边分式相等且分母相同，所以分子相等，即：
$x-3 = A(x-1)+B(x+1)$
将右侧展开并合并同类项得：
$x-3 = (A+B)x + (-A+B)$
根据等式两边同类项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases} A+B=1 \\ -A+B=-3 \end{cases}$
解方程组：两式相加得$2B=-2$，解得$B=-1$；将$B=-1$代入$A+B=1$，得$A=2$。
【答案】
$A=2$，$B=-1$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.多项式恒等条件
3.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式部分的基础典型题，核心考查分式恒等变形的应用，解题关键是抓住“分母相同的相等分式对应分子相等”的规律，结合多项式系数对应相等建立方程求解，掌握该方法可快速解决同类分式拆分、求未知系数的问题。
【难度系数】
0.7
这是分式恒等变形求未知系数的问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先，根据分式的基本性质，对等式右侧的两个分式通分，通分后右侧分母和左侧分母完全相同；其次，相等的两个分式若分母相同，则分子必然相等，可得到关于x的整式等式；接着，将右侧整式展开、合并同类项，整理为“一次项系数×x+常数项”的形式；最后，依据等式两边多项式相等时同类项系数对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，求解方程组即可得到A、B的值。
【解析】
解：由题意，将等式右侧通分可得：
$\dfrac{x-3}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
因为左右两边分式相等且分母相同，所以分子相等，即：
$x-3 = A(x-1)+B(x+1)$
将右侧展开并合并同类项得：
$x-3 = (A+B)x + (-A+B)$
根据等式两边同类项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases} A+B=1 \\ -A+B=-3 \end{cases}$
解方程组：两式相加得$2B=-2$，解得$B=-1$；将$B=-1$代入$A+B=1$，得$A=2$。
【答案】
$A=2$，$B=-1$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.多项式恒等条件
3.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式部分的基础典型题，核心考查分式恒等变形的应用，解题关键是抓住“分母相同的相等分式对应分子相等”的规律，结合多项式系数对应相等建立方程求解，掌握该方法可快速解决同类分式拆分、求未知系数的问题。
【难度系数】
0.7
