8.【例4】(人教八上$\mathrm{P}_{154}$例4改编)已知甲、乙两地相距200 km，一辆汽车从甲地开往乙地.若该汽车采用以下两种不同方式行驶：
方式1:前$\frac{1}{2}$的路程以速度$a$ km/h行驶，后$\frac{1}{2}$的路程以速度$b$ km/h行驶；
方式2:前$\frac{1}{2}$的时间以速度$a$ km/h行驶，后$\frac{1}{2}$的时间以速度$b$ km/h行驶.
(1)设该汽车以方式1，方式2行驶到达目的地的时间分别为$t_1$ h，$t_2$ h.请用含$a,b$的代数式分别表示$t_1,t_2$；
(2)当$a≠b$时，哪种方式先到达目的地？请说明理由.

8. 解:(1)由题意,得 $t_1 = \frac{100}{a} + \frac{100}{b} = \frac{100(a + b)}{ab}$,
$t_2 = \frac{200}{\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b} = \frac{400}{a + b}$.
(2)方式2 先到达目的地. 理由如下:
$t_1 - t_2 = \frac{100(a + b)}{ab} - \frac{400}{a + b} = \frac{100 (a - b)^2}{ab(a + b)}$.
$\because ab ＞ 0,a + b ＞ 0,(a - b)^2 ＞ 0$,
$\therefore \frac{100 (a - b)^2}{ab(a + b)} ＞ 0$,即 $t_1 - t_2 ＞ 0. \therefore t_1 ＞ t_2$.
$\therefore$ 方式2 先到达目的地.

【分析】
(1) 求解$t_1$时，方式1是前、后半段路程各100km，分别按速度$a、b$行驶，根据“时间=路程÷速度”分别计算两段路程的行驶时间，相加即可得到总时间$t_1$；求解$t_2$时，方式2两段行驶时间相等，总路程等于两段行驶路程之和，据此列等式整理即可得到$t_2$的表达式。
(2) 要判断哪种方式先到达，只需比较$t_1$和$t_2$的大小，采用作差法计算$t_1-t_2$，结合$a、b$都是正数、$a≠b$的条件判断差的正负，即可得出两个时间的大小关系。
【解析】
解：(1) 方式1中，前、后半段路程均为$200×\frac{1}{2}=100\mathrm{km}$，根据时间=路程÷速度可得：
$t_1=\frac{100}{a}+\frac{100}{b}=\frac{100b+100a}{ab}=\frac{100(a+b)}{ab}$
设方式2总时间为$t_2$，前$\frac{1}{2}$时间行驶路程为$a·\frac{t_2}{2}$，后$\frac{1}{2}$时间行驶路程为$b·\frac{t_2}{2}$，总路程为200km，因此：
$a·\frac{t_2}{2}+b·\frac{t_2}{2}=200$
整理得$\frac{t_2(a+b)}{2}=200$，解得$t_2=\frac{400}{a+b}$。
(2) 方式2先到达目的地，理由如下：
作差比较$t_1$和$t_2$的大小：
$t_1-t_2=\frac{100(a+b)}{ab}-\frac{400}{a+b}$
通分后化简：
$=\frac{100(a+b)^2-400ab}{ab(a+b)}$
$=\frac{100(a^2+2ab+b^2-4ab)}{ab(a+b)}$
$=\frac{100(a-b)^2}{ab(a+b)}$
∵速度$a、b$均为正数，
∴$ab＞0，a+b＞0$，
又
∵$a≠b$，
∴$(a-b)^2＞0$，
∴$\frac{100(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$，即$t_1-t_2＞0$，可得$t_1＞t_2$，因此方式2先到达目的地。
【答案】
(1) $t_1=\frac{100(a+b)}{ab}$，$t_2=\frac{400}{a+b}$；
(2) 方式2先到达目的地，理由见解析。
【知识点】
分式的混合运算，作差法比较大小，行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式的运算与大小比较，解题关键是先根据行程数量关系正确列出两个时间的表达式，再利用作差法结合完全平方公式化简判断符号，要注意实际问题中速度为正数的隐含条件。
【难度系数】
0.7

1. (2025 东营)化简$(1+\dfrac{m}{m-1})÷\dfrac{4m^2 -1}{m-1}=$
.

1. $\dfrac{1}{2m+1}$

【分析】
这是一道分式化简计算题，解题遵循分式混合运算的顺序：①先计算括号内的加法，将整数1转化为与括号内分式同分母的分式，再进行同分母分式相加；②将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；③对可因式分解的多项式（$4m^2-1$是平方差形式）进行因式分解；④约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
解：原式$=(\dfrac{m-1}{m-1}+\dfrac{m}{m-1})×\dfrac{m-1}{4m^2-1}$
$=\dfrac{m-1+m}{m-1}×\dfrac{m-1}{(2m+1)(2m-1)}$
$=\dfrac{2m-1}{m-1}×\dfrac{m-1}{(2m+1)(2m-1)}$
约去公因式$m-1$和$2m-1$，可得：
原式$=\dfrac{1}{2m+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{2m+1}$
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是遵循分式运算的顺序，注意将异分母分式加减法转化为同分母计算，因式分解要准确，约分过程中注意公因式的判定，避免因运算顺序错误或因式分解失误丢分。
【难度系数】
0.8

2. 计算:
(1) $\frac{6x^5}{5y^3} · ( \frac{y}{2x^2} )^2 + \frac{x^2}{y^2} ÷ \frac{2x}{y}$;
(2) $( m - \frac{1}{m} ) · \frac{m^2 - m}{m^2 - 2m + 1}$.

2. (1) 解:原式 = $\frac{6x^5}{5y^3} · \frac{y^2}{4x^4} + \frac{x^2}{y^2} · \frac{y}{2x}$
= $\frac{3x}{10y} + \frac{x}{2y} = \frac{3x}{10y} + \frac{5x}{10y} = \frac{8x}{10y} = \frac{4x}{5y}$.
(2) 解:原式 = $\frac{m^2 - 1}{m} · \frac{m(m - 1)}{(m - 1)^2}$
= $\frac{(m + 1)(m - 1)}{m} · \frac{m(m - 1)}{(m - 1)^2} = m + 1$.

【分析】
本题考查分式的混合运算，解题时遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，有括号先计算括号内的内容：
(1) 第一步先计算乘方运算$(\frac{y}{2x^2})^2$，再把除法运算转化为乘法运算，分别约分两个乘法运算的结果，最后通分计算加法，约分化为最简分式；
(2) 第一步先对括号内的$m-\frac{1}{m}$通分计算，再对后面分式的分子、分母因式分解，之后约分即可得到最简结果，计算过程中注意分式有意义的隐含条件，约分时不能约掉为0的因式。
【解析】
(1) 解:
原式 = $\frac{6x^5}{5y^3} · \frac{y^2}{4x^4} + \frac{x^2}{y^2} · \frac{y}{2x}$
= $\frac{3x}{10y} + \frac{x}{2y}$
= $\frac{3x}{10y} + \frac{5x}{10y}$
= $\frac{8x}{10y}$
= $\frac{4x}{5y}$
(2) 解:
原式 = $\frac{m^2 - 1}{m} · \frac{m(m - 1)}{(m - 1)^2}$
= $\frac{(m + 1)(m - 1)}{m} · \frac{m(m - 1)}{(m - 1)^2}$
= $m + 1$
【答案】
(1) $\frac{4x}{5y}$；(2) $m+1$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，侧重考查分式运算的顺序和运算规则，计算时需注意乘方运算要给分子分母同时乘方，除法转乘法时要颠倒除式的分子分母，因式分解要准确，最终结果要化为最简分式或整式，熟练掌握此类题型能为后续分式相关内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8

3. (2025 滨州)已知 $A = x + y$, $B = x^2 - y^2$, $C = \dfrac{x - y}{x} ÷ ( x - \dfrac{2xy - y^2}{x} )$.
(1)若 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{1}{5}$, 求 $C$ 的值；
(2)当 $y = 1$, 且 $3C$ 为整数时, 求 $x$ 的整数值.

3. 解:(1) $\because A = x + y, B = x^2 - y^2$,
$\therefore \frac{A}{B} = \frac{x + y}{x^2 - y^2} = \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{1}{x - y}$.
$\because \frac{A}{B} = \frac{1}{5}, \therefore x - y = 5$.
$\therefore C = \frac{x - y}{x} ÷ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x} = \frac{x - y}{x} · \frac{x}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{x - y}{x} · \frac{x}{(x - y)^2} = \frac{1}{x - y} = \frac{1}{5}$.
(2) 由(1),得 $C = \frac{1}{x - y}. \therefore 3C = \frac{3}{x - y}$.
当 $y = 1$ 时, $3C = \frac{3}{x - 1}$.
$\because 3C$ 与 $x$ 均为整数,
$\therefore x - 1 = \pm 1$ 或 $x - 1 = \pm 3. \therefore x = 0, 2, 4, -2$.
又$\because x ≠ 0$ 且 $x - 1 ≠ 0, \therefore x ≠ 0$ 且 $x ≠ 1$.
$\therefore x = \pm 2$ 或 4.

【分析】
（1）先对$\frac{A}{B}$化简，利用平方差公式分解$B=x^2-y^2$，约分后得到$\frac{A}{B}=\frac{1}{x-y}$，结合$\frac{A}{B}=\frac{1}{5}$可求出$x-y=5$；再化简$C$，先计算括号内的分式减法，通分后分子可利用完全平方公式分解，再将除法转化为乘法约分，可得到$C=\frac{1}{x-y}$，代入$x-y=5$即可求出$C$的值。
（2）将$y=1$代入$C=\frac{1}{x-y}$，得到$3C=\frac{3}{x-1}$，根据$3C$为整数可知$x-1$是3的整数因数，列出所有可能的$x-1$取值，再结合分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的取值，即可得到$x$的整数值。
【解析】
(1) 已知$A = x + y$，$B = x^2 - y^2$，对$\frac{A}{B}$化简：
$\frac{A}{B} = \frac{x + y}{x^2 - y^2} = \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{1}{x - y}$
因为$\frac{A}{B} = \frac{1}{5}$，所以$\frac{1}{x - y}=\frac{1}{5}$，即$x - y = 5$。
再化简$C$：
$C = \frac{x - y}{x} ÷ ( x - \frac{2xy - y^2}{x} ) = \frac{x - y}{x} ÷ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x} = \frac{x - y}{x} · \frac{x}{(x - y)^2} = \frac{1}{x - y}$
将$x - y = 5$代入得：$C=\frac{1}{5}$。
(2) 由(1)可知$C = \frac{1}{x - y}$，所以$3C = \frac{3}{x - y}$。
当$y = 1$时，$3C = \frac{3}{x - 1}$。
因为$3C$为整数，且$x$为整数，所以$x - 1$是3的整数因数，即$x - 1 = ±1$或$x - 1 = ±3$，解得$x = 0, 2, 4, -2$。
又因为分式有意义时分母不为0，可得$x ≠ 0$且$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$，排除$x=0$，所以$x$的整数值为$-2, 2, 4$。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{5}}$；(2) $\boxed{x=-2,2,4}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式常考题型，解题的核心是先对代数式化简再代入计算，需要注意分式运算中分母不为0的隐含限制，避免因忽略取值范围导致结果错误。
【难度系数】
0.7