12 (2024 无锡宜兴月考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^2 + (m - 9)x - 3m = 0 $。
（1）求证：无论 $ m $ 取何实数，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个小于 4，另一个大于 5，求 $ m $ 的取值范围。

（1）证明：对于一元二次方程$3x^{2}+(m - 9)x - 3m = 0，$其中$a = 3，$$b = m - 9，$$c = -3m，$ $\Delta=b^{2}-4ac=(m - 9)^{2}-4\times3\times(-3m)$ $=m^{2}-18m + 81 + 36m$ $=m^{2}+18m + 81$ $=(m + 9)^{2}\geqslant0，$ 所以无论$m$取何实数，原方程总有两个实数根。 （2）解：因为$3x^{2}+(m - 9)x - 3m = 0，$ 因式分解得$(3x + m)(x - 3)=0，$ 所以$3x + m = 0$或$x - 3 = 0，$ 解得$x_1 =-\frac{m}{3}，$$x_2 = 3。$ 由方程的两个实数根一个小于$4，$另一个大于$5，$ 得$-\frac{m}{3}＞5，$ 两边同时乘以$-3，$不等号方向改变，解得$m＜-15。$ 故$m$的取值范围是$m＜-15。$

13 (2024 无锡锡山月考)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 $。
（1）求证：无论 $ k $ 取何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边 $ a = 3 $，另外两边长 $ b, c $ 恰好是这个方程的两个根，求 $ △ ABC $ 的周长。

（1）证明：对于方程$x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0，$其中$a = 1，$$b =-(k + 2)，$$c = 2k，$ $\Delta=b^{2}-4ac=[-(k + 2)]^{2}-4\times1\times2k$ $=(k + 2)^{2}-8k$ $=k^{2}+4k + 4 - 8k$ $=k^{2}-4k + 4$ $=(k - 2)^{2}\geqslant0，$ 所以无论$k$取何实数，方程总有实数根。 （2）解：①当$b = c$时，$(k - 2)^{2}=0，$ 则$k = 2，$方程可化为$x^{2}-4x + 4 = 0，$ 因式分解得$(x - 2)^{2}=0，$所以$x_1 = x_2 = 2，$ 即$b = c = 2，$所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7；$ ②当$b = a = 3$时， 因为$x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0，$ 因式分解得$(x - 2)(x - k)=0，$ 所以$x = 2$或$x = k。$ 又另外两边长$b，$$c$恰好是这个方程的两个根， 所以$k = b = 3，$ 所以$c = 2，$ 所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 3 + 3 + 2 = 8。$ 综上所述，$\triangle ABC$的周长为$7$或$8。$

14（2024 姜堰区期末）定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(ac≠0)$有一个根是$c$，那么我们称这个方程为“黄金方程”.
（1）判断一元二次方程$x^2+2x-3=0$是否为“黄金方程”，请说明理由；
（2）已知关于$x$的一元二次方程$2x^2+bx+c=0(c≠0)$是“黄金方程”，求代数式$b^2-2c+1$的最小值.

解：​$(1)$​是​$''$​黄金方程，理由如下：∵​$x^2+2x - 3 = 0$​​$ $​因式分解得​$(x + 3)(x - 1)=0$​∴​$x + 3 = 0$​或​$x - 1 = 0$​​$ $​解得​$x_{1} = -3，$​​$x_{2} = 1$​∵​$c = -3，$​∴一元二次方程​$x^2+2x - 3 = 0$​是​$''$​黄金方程​$''$​​$ (2)$​∵关于​$x$​的一元二次方程​$2x^2+bx + c = 0(c\neq 0)$​是​$''$​黄金方程∴​$2c^2+bc + c = 0$​∵​$c\neq 0，$​方程两边同时除以​$c $​得​$2c=-b - 1$​∴​$b^2-2c + 1=b^2+b + 1 + 1=(b+\frac 12)^2+\frac 74$​∵​$(b+\frac 12)^2\geqslant 0$​∴​$b^2-2c + 1$​的最小值为​$\frac 74$​