8. (2025·江苏连云港模拟)如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,$△ AEF$的边EF过点C,且$AE = EF$,$AB // EF$,AD平分$∠ BAE$,$CE = 2$,$AB = 9$,则CF的长为______.

5

9. 如图，$△ ACB$与$△ ADE$都是等腰直角三角形，$∠ ADE = ∠ ACB = 90°$，连接$BE$，$CD$，$F$是$BE$上一点，连接$CF$，$DF$。若$∠ CDF = 45°$，则$∠ CFD = \underline{\hspace{5cm}}$。

$90^{\circ}$

10. 如图,在等腰直角三角形 ACB 与等腰直角三角形 DCE 中, $∠ ACB = ∠ DCE = 90°$. 连接 $AD, BE$, 点 $I$ 在 $AD$ 上,连接 $IC$.
(1) 若 $IC ⊥ BE$,求证:$I$ 为 $AD$ 的中点;
(2) 若 $AI = DI$,求证:$IC ⊥ BE$.

; 证明：​$(1)$​延长​$I C，$​交​$BE$​于点​$J，$​分别过​$A，$​​$D$​两点作直线​$I C$​的垂线，垂足分别为​$M，$​​$N$​则​$∠M=∠DNC=∠DNI = 90°$​∵​$I C\perp BE$​∴​$∠CJB=∠CJE = 90°，$​即​$∠M=∠CJB，$​​$∠DNC=∠CJE$​∵​$\triangle ABC$​为等腰直角三角形，​$∠ACB = 90°$​∴​$AC = CB，$​​$∠ACM+∠BCJ = 180°-∠ACB = 90°$​又​$∠CBJ+∠BCJ = 90°$​∴​$∠CBJ=∠ACM$​在​$\triangle ACM$​和​$\triangle CBJ$​中​$\begin {cases}∠M=∠CJB \\∠ACM=∠CBJ \\AC = CB\end {cases}$​∴​$\triangle ACM\c 0ng\triangle CBJ(\mathrm {AAS})$​∴​$AM = CJ$​同理，得​$DN = CJ，$​∴​$AM = DN$​在​$\triangle AMI $​和​$\triangle DNI $​中​$\begin {cases}∠M=∠DNI \\∠AlM=∠DIN \\AM = DN\end {cases}$​∴​$\triangle AMI≌\triangle DNI(\mathrm {AAS})$​∴​$Al = DI，$​即​$I $​为​$AD$​的中点​$(2)$​延长​$Cl$​至点​$F，$​使​$IF = I C，$​连接​$AF$​在​$\triangle AlF $​和​$\triangle DI C$​中​$\begin {cases}Al = DI \\∠AlF=∠DI C \\IF = I C\end {cases}$​∴​$\triangle AlF≌\triangle DI C(S AS)$​∴​$AF = DC，$​​$∠F=∠DCl$​∴​$∠ACD=∠ACF+∠DCl$​​$=∠ACF+∠F = 180°-∠F AC$​∵​$\triangle ACB$​和​$\triangle DCE$​都是等腰直角三角形，​$∠ACB=∠DCE = 90°$​∴​$AC = CB，$​​$CE = DC，$​∴​$AF = CE$​又​$∠ACD = 360°-∠ACB-∠DCE-∠ECB $​​$= 180°-∠ECB$​∴​$∠F AC=∠ECB$​在​$\triangle F AC$​和​$\triangle ECB$​中​$\begin {cases}AF = CE \\∠F AC=∠ECB \\AC = CB\end {cases}$​∴​$\triangle F AC≌\triangle ECB(S AS)$​∴​$∠ACF=∠CBE$​延长​$I C，$​交​$BE$​于点​$K$​则​$∠ACF+∠BCK = 180°-∠ACB = 90°$​∴​$∠CBE+∠BCK = 90°$​∴​$∠CKB = 180°-(∠CBE+∠BCK)=90°，$​即​$I C\perp BE$​

11.（1）如图①，$∠ MAN = 90°$，射线$AE$在这个角的内部，$B,C$两点分别在$∠ MAN$的边$AM,AN$上，且$AB = AC$，$CF ⊥ AE$于点$F$，$BD ⊥ AE$于点$D$。求证：$△ ABD ≌ △ CAF$；
（2）如图②，$B,C$两点分别在$∠ MAN$的边$AM,AN$上，$E,F$两点都在$∠ MAN$内部的射线$AD$上，$∠ 1,∠ 2$分别是$△ BAE,△ ACF$的外角，且$AB = AC$，$∠ 1 = ∠ 2 = ∠ BAC$。求证：$△ BAE ≌ △ ACF$；
（3）如图③，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AB ＞ BC$，点$D$在边$BC$上，$CD = 2BD$，$E,F$两点在线段$AD$上，$∠ 1 = ∠ 2 = ∠ BAC$。若$△ ABC$的面积为$15$，求$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和。

证明：​$(1)$​∵​$∠MAN = 90°，$​​$CF\perp AE，$​​$BD\perp AE$​∴​$∠BAD+∠CAF = 90°，$​​$∠ADB=∠CF A = 90°$​∴​$∠ABD+∠BAD = 90°$​∴​$∠ABD=∠CAF$​在​$\triangle ABD$​和​$\triangle CAF $​中​$\begin {cases}∠ADB=∠CF A \\∠ABD=∠CAF \\AB = CA\end {cases}$​∴​$\triangle ABD≌\triangle CAF(\mathrm {AAS})$​​$(2)$​∵​$∠1=∠2=∠BAC，$​​$∠1=∠BAE+∠ABE，$​​$∠BAC=∠BAE+∠CAF，$​​$∠2=∠ACF+∠CAF$​∴​$∠ABE=∠CAF，$​​$∠BAE=∠ACF$​在​$\triangle BAE$​和​$\triangle ACF $​中​$\begin {cases}∠ABE=∠CAF \\AB = CA \\∠BAE=∠ACF\end {cases}$​∴​$\triangle BAE≌\triangle ACF(AS A)$​解：​$(3)$​∵​$\triangle ABC$​的面积为​$15，$​​$CD = 2BD$​∴​$\triangle ABD$​的面积为​$\frac 13×15 = 5$​由​$(2)，$​得​$\triangle BAE≌\triangle ACF$​∴​$S_{\triangle BAE}=S_{\triangle ACF}$​∴​$S_{\triangle ACF}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BAE}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ABD}=5$​∴​$\triangle ACF $​与​$\triangle BDE$​的面积之和为​$5$​