4. (2024·包头)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点P,连接OA、OB.若$∠ AOB=140°,∠ BCP=35°$,则$∠ ADC$的度数为______.

105°

5. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，过点D作$DE // AB$，交CB的延长线于点E.
(1)求证：ED是$\odot O$的切线.
(2)若$AC=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，求BD、CD的长.

(1)
证明：连接OD。因为CD是$\angle ACB$的平分线，所以$\angle ACD=\angle BCD，$所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}，$所以$\angle AOD=\angle BOD。$ 因为AB为$\odot O$的直径，所以$\angle AOD=\angle BOD=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}，$所以$OD\perp AB。$ 因为$DE// AB，$所以$OD\perp DE。$因为OD为$\odot O$的半径，所以ED是$\odot O$的切线。 (2)
解：过点B作$BH\perp CD$于点H。因为AB为$\odot O$的直径，所以$\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}。$ 因为$AC = 3\sqrt{2}，$$BC=\sqrt{2}，$所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{5}。$ 由
(1)知，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}，$所以$\angle ACD=\angle BCD，$所以$BD = AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\times2\sqrt{5}=\sqrt{10}。$ 因为$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\times90^{\circ}=45^{\circ}，$所以$BH = CH=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\sqrt{2}=1，$ $DH=\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=\sqrt{(\sqrt{10})^{2}-1^{2}} = 3，$所以$CD = CH + DH=1 + 3 = 4。$ ;

1.【新情境】(2024·云南)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40 cm,底面圆的半径为30 cm,则该圆锥的侧面积为 （ ）
A. $700π\ \mathrm{cm}^2$
B. $900π\ \mathrm{cm}^2$
C. $1\ 200π\ \mathrm{cm}^2$
D. $1\ 600π\ \mathrm{cm}^2$

C

2. (2024·广安)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC、BC分别相交于点D、E,则$\overset{\frown}{DE}$的长为 （ ）
A. $\frac{π}{9}$
B. $\frac{5π}{9}$
C. $\frac{10π}{9}$
D. $\frac{25π}{9}$

C

3. (2024·广元)F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为______．

18°

4. (2024·通辽)如图,为便于研究圆锥与扇形的关系,小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5 cm、母线长为12 cm的圆锥的侧面,那么这个扇形纸片的面积是________ cm².
(结果用含π的式子表示)

60π