10. 如图, 四边形 ABCD 内接于$\odot O$,AC 为$\odot O$的直径,且$∠ADB=∠CDB$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明.
(2)若$AB=\sqrt{2},AD=1$.
①求线段 DC 的长;
②求$\frac{DE}{AE}$的值.

(1)
证明：因为AC为$\odot O$的直径，所以$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}。$ 因为$\angle ADB=\angle CDB，$所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}，$所以$AB = BC，$所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。 (2)
①解：因为$AB=\sqrt{2}，$$AD = 1，$$BC=\sqrt{2}，$所以$AC=\sqrt{2}AB = 2。$ 因为AC为$\odot O$的直径，所以$\angle ADC = 90^{\circ}，$ 根据勾股定理$DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}。$ ②解：过点E作$EF\perp AD$于点F。 因为$\angle ADB=\angle CDB，$$\angle ADC = 90^{\circ}，$所以$\angle ADB = 45^{\circ}。$ 因为$\angle DFE=\angle AFE = 90^{\circ}，$所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形，所以$DE=\sqrt{2}EF。$ 因为$AC = 2，$$AD = 1，$所以$\angle ACD = 30^{\circ}，$$\angle CAD = 60^{\circ}，$所以$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}AE，$$AE=\frac{2\sqrt{3}}{3}EF，$ 所以$\frac{DE}{AE}=\frac{\sqrt{2}EF}{\frac{2\sqrt{3}}{3}EF}=\frac{\sqrt{6}}{2}。$ ;

1. (2024·泸州)如图，EA、ED是$\odot O$的切线，切点为A、D，点B、C在$\odot O$上.若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E$的度数为 （ ）
A. $56°$
B. $60°$
C. $68°$
D. $70°$

C

2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(-4,-3)$,$\odot A$的半径为$1$,$P$为$x$轴上一动点,$PQ$切$\odot A$于点$Q$,则当$PQ$的长最小时,点$P$的坐标为 （ ）
A. $(-4,0)$
B. $(-5,0)$
C. $(-4,0)$或$(-5,0)$
D. $(-3,0)$

A

3.【数学文化】(2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是我国魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB$、$BC$、$CA$的长分别为$c$、$a$、$b$，则可以用含$c$、$a$、$b$的式子表示出$△ ABC$的内切圆直径$d$.下列表达式错误的是（ ）
A. $d=a+b-c$
B. $d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$
C. $d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$
D. $d=|(a-b)(c-b)|$

D