3. 如图,AC是$\odot O$的直径,点B在$\odot O$上(不与点A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交$\odot O$于点E.若$∠AOB=3∠D$,则下列关系正确的是（ ）
A. $DE=EB$
B. $\sqrt{2}DE=EB$
C. $\sqrt{3}DE=DO$
D. $DE=OB$

D

4. 如图,将半径为5的$\odot O$折叠,折痕AB长为8,C为折叠后AB的中点,则OC的长为（ ）
A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. 1
D. $\sqrt{2}$

C

5. (2024·滨州)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,若四边形OABC是菱形,则$∠ D$的度数为______．

60°

6.【数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度 CD 为 1 寸，锯长 AB 为 10 寸，则圆材的半径为________寸.

13

7. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ A=60°$，$BC=4\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径是______．

4

8. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(-2,0)$、$(0,2)$、$(4,0)$，$E$是$△ ABC$外接圆上的一点，$BE$交线段$AC$于点$D$。若$∠ DBC=45°$，则点$D$的坐标为______。

$(\frac{2}{3},0)$

9. 如图,一座石桥的主桥拱是圆弧形,某时刻测得水面 AB 的宽度为 6 m,拱高 CD(弧的中点到水面的距离)为 1 m.
(1)求主桥拱所在圆的半径.
(2)若水面下降 1 m,求此时水面的宽度.

(1)
解：因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$DC\perp AB，$所以$AC = BC = \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6 = 3(m)，$DC经过圆心。设拱桥的桥拱$\overset{\frown}{ADB}$所在圆的圆心为O，连接OA、OC，设半径$OA = OD = R，$$OC = OD - DC = R - 1。$ 在$Rt\triangle ACO$中，由勾股定理得$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}，$即$R^{2}=(R - 1)^{2}+3^{2}，$ 展开得$R^{2}=R^{2}-2R + 1 + 9，$ 移项得$R^{2}-R^{2}+2R=1 + 9，$ 合并同类项得$2R = 10，$ 解得$R = 5，$即主桥拱所在圆的半径长为5m。 (2)
解：设OD与EF相交于点G，连接OF。因为$EF// AB，$$OD\perp AB，$所以$OD\perp EF，$$\angle OGF = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle OGF$中，$OG = 5 - 1 - 1 = 3(m)，$$OF = 5 m，$ 根据勾股定理$FG=\sqrt{OF^{2}-OG^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4(m)，$ 所以$EF = 2FG = 8 m，$即此时水面的宽度为8m。 ;