【学以致用2】(多选)下列各组函数表示同一个函数的是 ()
A.$f(x)= x,g(x)= \sqrt [3]{x^{3}}$
B.$f(x)= x,g(x)= \sqrt {x^{2}}$
C.$f(x)= x-1(x≠-1),g(x)= \frac {x^{2}-1}{x+1}$
D.$f(x)= x+1,g(x)= x+x^{0}$

AC 对于 A,函数$g(x)=\sqrt [3]{x^{3}}=x$,则函数$f(x)$与$g(x)$的定义域与解析式完全相同,是同一个函数,故选项 A 正确;对于 B,函数$g(x)=\sqrt {x^{2}}=|x|$,则函数$f(x)$与$g(x)$的解析式不同,不是同一个函数,故选项 B错误;对于 C,函数$g(x)=\frac {x^{2}-1}{x+1}=x-1(x≠-1)$,则函数$f(x)$与$g(x)$的定义域与解析式完全相同,是同一个函数,故选项 C 正确;对于 D,$g(x)=x+x^{0}=x+1(x≠0)$,则函数$f(x)$与$g(x)$的定义域不同,不是同一个函数,故选项 D 错误.
【反思总结】判断是否为同一个函数,一看定义域,二看对应关系,两者完全一致才可以.

【学以致用3】已知函数$f(x)的定义域为[-3,0]$,则函数$f(2x+1)$的定义域为______.

$[-2,-\frac {1}{2}]$ ∵函数$f(x)$的定义域为$[-3,$0],∴令$-3≤2x+1≤0$,解得$-2≤x≤-\frac {1}{2},$$\therefore$函数$f(2x+1)$的定义域为$[-2,-\frac {1}{2}].$
【反思总结】一般地,对于一个复合函数$f(g(x))$,若给出外层函数$f(x)$的定义域,则这个定义域是内层函数$g(x)$的值域;若给出$f(g(x))$的定义域,则此时的定义域是其自变量x的取值范围,而非$g(x)$的值域.

【典例1】求下列函数的定义域:
(1)$f(x)= \sqrt {\frac {2-x}{x-3}}$;
(2)$f(x)= \sqrt {x-2}+\frac {1}{x^{2}-4}+(x-3)^{0}$;
(3)$y= \frac {\sqrt {x+1}}{\sqrt {4-2x}-1}.$

解题指导 根据偶次根式被开方数大于等于0、分母不为0、零次幂的底数不为0等列出不等式(组)求解,然后将定义域写成集合或区间的形式.
答案 解:(1)由题意,得$\frac {2-x}{x-3}≥0$,该不等式等价于$\left\{\begin{array}{l} (2-x)(x-3)≥0,\\ x-3≠0,\end{array}\right. 解得2≤x＜3$,所以函数的定义域为$[2,3).$
(2)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} x-2≥0,\\ x^{2}-4≠0,\\ x-3≠0,\end{array}\right. 解得x＞2且x≠3$,所以函数的定义域为$(2,3)\cup (3,+∞).$
(3)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} x+1≥0,\\ 4-2x≥0,\\ \sqrt {4-2x}-1≠0,\end{array}\right. 解得-1≤x≤2且x≠\frac {3}{2}$,所以函数的定义域为$[-1,\frac {3}{2})\cup (\frac {3}{2},2].$