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【变式1】函数$f(x)= \frac {x-1}{\sqrt {3x+2}}+x^{0}$的定义域为 ()
A.$(-\frac {2}{3},+∞)$
B.$[-\frac {2}{3},0)\cup (0,+∞)$
C.$(-\frac {2}{3},0)\cup (0,+∞)$
D.$[-\frac {2}{3},+∞)$
A.$(-\frac {2}{3},+∞)$
B.$[-\frac {2}{3},0)\cup (0,+∞)$
C.$(-\frac {2}{3},0)\cup (0,+∞)$
D.$[-\frac {2}{3},+∞)$
答案
C 由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 3x+2＞0,\\ x≠0,\end{array}\right. $解得$x＞-\frac {2}{3}$且$x≠0,$即函数的定义域为$(-\frac {2}{3},0)\cup (0,+∞).$
【典例2】(1)已知函数$y= f(x)的定义域为[-2,2]$,则函数$y= f(2x+1)$的定义域为______;
答案
解题指导 遵循两个原则:①在同一个对应关系$f$下,括号中式子的范围相同;②$f(g(x))的定义域指的是其自变量x$的取值范围,而非$g(x)$的范围.
解析 (1)$\because函数y= f(x)的定义域为[-2,2]$,$\therefore在函数y= f(2x+1)$中,令$-2≤2x+1≤2$,解得$-\frac {3}{2}≤x≤\frac {1}{2}$,$\therefore函数y= f(2x+1)的定义域为[-\frac {3}{2},\frac {1}{2}].$
解析 (1)$\because函数y= f(x)的定义域为[-2,2]$,$\therefore在函数y= f(2x+1)$中,令$-2≤2x+1≤2$,解得$-\frac {3}{2}≤x≤\frac {1}{2}$,$\therefore函数y= f(2x+1)的定义域为[-\frac {3}{2},\frac {1}{2}].$
(2)已知函数$f(x+1)的定义域为[-2,2)$,则函数$f(x)$的定义域为______;
答案
(2)$\because函数f(x+1)的定义域为[-2,2)$,即$-2≤x＜2$,$\therefore -1≤x+1＜3$,$\therefore函数f(x)的定义域为[-1,3).$
(3)已知函数$f(x-1)的定义域为[-2,3]$,则函数$f(2x-1)$的定义域为______.
答案
(3)$\because函数f(x-1)的定义域为[-2,3]$,$\therefore -2≤x≤3$,$\therefore -3≤x-1≤2$,即函数$f(x)的定义域为[-3,2]$,$\therefore在函数f(2x-1)$中,令$-3≤2x-1≤2$,解得$-1≤x≤\frac {3}{2}$,$\therefore函数f(2x-1)的定义域为[-1,\frac {3}{2}].$
答案 (1)$[-\frac {3}{2},\frac {1}{2}]$(2)$[-1,3)$(3)$[-1,\frac {3}{2}]$
答案 (1)$[-\frac {3}{2},\frac {1}{2}]$(2)$[-1,3)$(3)$[-1,\frac {3}{2}]$
【变式2】(1)已知函数$f(2x-1)的定义域为(-1,9)$,则函数$f(3x+1)$的定义域为______;
答案
(1)$(-\frac {4}{3},\frac {16}{3})$(1)因为函数$f(2x-1)$的定义域为$(-1,9)$,即$-1\lt x＜9$,所以$-3＜2x-1＜17$,所以函数$f(x)$的定义域为$(-3,$17).令$-3＜3x+1＜17$,解得$-\frac {4}{3}\lt x＜\frac {16}{3}$,所以函数$f(3x+1)$的定义域为$(-\frac {4}{3},\frac {16}{3}).$
(2)已知函数$y= f(x)的定义域为[-8,1]$,则函数$g(x)= \frac {f(2x+1)}{x+2}$的定义域为______.
答案
(2)$[-\frac {9}{2},-2)\cup (-2,0]$(2)由题意,得$-8≤2x+1≤1$,解得$-\frac {9}{2}≤x≤0$.由题意,得$x+2≠0$,解得$x≠-2$,所以函数$g(x)$的定义域为$[-\frac {9}{2},-2)\cup (-2,0].$
1.下列叙述正确的是 ()
A.$\{ x|x＞1\}用区间可表示为[1,+∞)$
B.$\{ x|-3＜x≤2\}用区间可表示为(-3,2)$
C.$(-∞,3]用集合可表示为\{ x|x＜3\}$
D.$[2,4]用集合可表示为\{ x|2≤x≤4\}$
A.$\{ x|x＞1\}用区间可表示为[1,+∞)$
B.$\{ x|-3＜x≤2\}用区间可表示为(-3,2)$
C.$(-∞,3]用集合可表示为\{ x|x＜3\}$
D.$[2,4]用集合可表示为\{ x|2≤x≤4\}$
答案
D 对于 A,$\{ x|x＞1\} $用区间可表示为$(1,+∞)$,故 A 错误;对于 B,$\{ x|-3\lt x≤2\} $用区间可表示为$(-3,2]$,故 B错误;对于 C,$(-∞,3]$用集合可表示为$\{ x|x≤3\} $,故 C 错误;对于 D,$[2,4]$用集合可表示为$\{ x|2≤x≤4\} $,故 D 正确.
2.函数$f(x)= (x-2)^{0}+\sqrt {\frac {2}{3x+1}}$的定义域是 ()
A.$(-\frac {1}{3},+∞)$
B.$(-∞,-\frac {1}{3})$
C.$\mathbf{R}$
D.$(-\frac {1}{3},2)\cup (2,+∞)$
A.$(-\frac {1}{3},+∞)$
B.$(-∞,-\frac {1}{3})$
C.$\mathbf{R}$
D.$(-\frac {1}{3},2)\cup (2,+∞)$
答案
D 由题意,得$\left\{\begin{array}{l} x-2≠0,\\ \frac {2}{3x+1}≥0,\\ 3x+1≠0,\end{array}\right. $解得$x＞-\frac {1}{3}$且$x≠2$,所以函数$f(x)$的定义域是$(-\frac {1}{3},2)\cup (2,+∞).$
