1. (2025·镇江期末)如图①,在等腰三角形ABC中,AC=BC,动点P从点B出发,沿BC→CA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,若y关于x的函数图象如图②所示,则AB的值为
()


A.$\sqrt{10}$
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.3

1. A 解析:如图,过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D,
∴ ∠ADC = ∠ADB= 90°,由函数图象可知:AC = BC = 5, S△ABC = 7.5,
∴ S△ABC = $\frac{1}{2}BC×AD = 7.5$,
∴ $\frac{1}{2}×5×AD = 7.5$,
∴ AD=3.在直角三角形 ACD 中,由勾股定理得
CD= $\sqrt{AC^2-AD^2}$ = $\sqrt{5^2-3^2}$ = 4,
∴ BD = BC -
CD=5-4=1.在直角三角形 ABD 中,由勾股定
理得 AB = $\sqrt{AD^2+BD^2}$ = $\sqrt{3^2+1^2}$ = $\sqrt{10}$. 故
选 A.

2. 要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,A种规格是长、宽、高都为20 cm的正方体无盖木盒,B种规格是长、宽、高各为20 cm,20 cm,10 cm的长方体无盖木盒(如图①,单位:cm);现有200张规格为40 cm×40 cm的木板材,对该种木板材有甲、乙两种切割方式(如图②,单位:cm).切割、拼接等板材损耗忽略不计.
(1)设制作A种木盒x个,则制作B种木盒个;若使用甲种方式切割的木板材为y张,则使用乙种方式切割的木板材为张.
(2)若200张木板材恰好能做成200个A,B两种规格的无盖木盒,请分别求出A,B木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数.
(3)包括材质等成本在内,用甲种方式切割的木板材每张成本5元,用乙种方式切割的木板材每张成本8元.根据市场调研,A种木盒的销售单价定为a元,B种木盒的销售单价定为$(20-\dfrac{1}{2}a)$元,在(2)的条件下,请直接写出这批木盒的销售利润$w$元(用含$a$的式子表示).

2. (1) 答案：(200-x)、(200-y) 解析:
∵ 要制作 200 个 A,B 两种规格的顶部无盖木盒,制作 A 种木盒 x 个,故制作 B 种木盒(200-x)个.
∵ 有 200 张规格为 40 cm×40 cm 的木板材,使用甲种方式切割的木板材为 y 张,故使用乙种方式切割的木板材为(200-y)张.
(2) 使用甲种方式切割的木板材为 y 张,则可切割出 4y 块边长为 20 cm 的正方形木板材,使用乙种方式切割的木板材为(200-y)张,则可切割出 8(200-y)块长为 20 cm、宽为 10 cm 的木板材.
设制作 A 种木盒 x 个,则需要边长为 20 cm 的正方形木板材 5x 块,制作 B 种木盒(200-x)个,则需要边长为 20 cm 的正方形木板材(200-x)块,需要长为 20 cm、宽为 10 cm 的木板材 4(200-x)块.
根据题意,得$\begin{cases} 4y = 5x+200-x, \\ 8(200-y) = 4(200-x), \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=100, \\ y=150, \end{cases}$
故制作 A 种木盒 100 个,制作 B 种木盒 100 个,使用甲种方式切割的木板材为 150 张,使用乙种方式切割的木板材为 50 张.
(3)
∵ 用甲种方式切割的木板材每张成本 5 元,用乙种方式切割的木板材每张成本 8 元,且使用甲种方式切割的木板材为150 张,使用乙种方式切割的木板材为 50 张,
故总成本为 5×150+8×50=1 150(元).
设利润为 w 元,则 $w=100a+100(20-\dfrac{1}{2}a)-1 150$,
整理得 w=850+50a.