3. 某商店购买 60 件 A 种商品和 30 件 B 种商品共用了 1 080 元,购买 50 件 A 种商品和 20 件 B 种商品共用了 880 元.
(1)A,B 两种商品的单价分别是多少元?
(2)已知该商店购买 A,B 两种商品共 30 件,要求购买 B 种商品的数量不高于 A 种商品数量的2 倍,且该商店购买的 A,B 两种商品的总费用不超过 276 元,那么该商店有几种购买方案?
(3)该商店第二次准备再购进 A,B 两种商品共 30 件,其中购买 A 种商品 m 件$(10≤m≤13)$,实际购买时 A 种商品下降了$a(a＞0)$元,B 种商品上涨了 3a 元,此时购买这两种商品所需的最少费用为 340 元,直接写出 a 的值.
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3.(1)设A种商品的单价为x元,B种商品的单价为y元,依题意得$\begin{cases} 60x+30y=1\ 080, \\ 50x+20y=880, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=16, \\ y=4. \end{cases}$答:A种商品的单价为16元,B种商品的单价为4元.
(2)设购买A种商品p件,则购买B种商品(30-p)件,依题意得$\begin{cases} 30-p≤ 2p, \\ 16p+4(30-p)≤ 276, \end{cases}$解得10≤p≤13,
∵p是整数,
∴p=10,11,12或13,故有如下四种方案:方案①p=10,30-p=20,即购买A种商品10件,购买B种商品20件;方案②p=11,30-p=19,即购买A种商品11件,购买B种商品19件;方案③p=12,30-p=18,即购买A种商品12件,购买B种商品18件;方案④p=13,30-p=17,即购买A种商品13件,购买B种商品17件.
(3)a=2.
解析:设购买这两种商品所需的费用为w元,由题意可得w=m(16-a)+(30-m)(4+3a),化简,得w=(-4a+12)m+90a+120,
∵10≤m≤13且m是整数,
∴当-4a+12＞0,即a＜3时,此时w随m的增大而增大,
∴当m=10时取得最小值340,则(-4a+12)×10+90a+120=340,解得a=2;当-4a+12=0时,得a=3,w≠340,舍去;当3＜a＜16时,此时w随m的增大而减小,
∴当m=13时取最小值340,13×(12-4a)+120+90a=340,解得$a=\dfrac{32}{19}$(不合题意,舍去).
∴a的值为2.