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1. (2025·无锡期中)如图,数轴上有三个点A,B,C,表示的数分别是-8,-4,6.
(1)①点 B 和点 C 之间的距离是
②若使 C,B 两点的距离是 A,B 两点的距离的 2 倍,则需将点 C 向左移动
(2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 A 以每秒 m 个单位长度的速度向左运动,同时,点 B 和点 C 分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动,设运动时间为 t 秒.
①点 A,B 表示的数分别是
②若点 B 与点 C 之间的距离表示为 $d_1$,点 A 与点 B 之间的距离表示为 $d_2$,当 m 为何值时,$5d_1 - 3d_2$ 的值不会随着时间的变化而改变,并求此时 $5d_1 - 3d_2$ 的值.
(1)①点 B 和点 C 之间的距离是
10
个单位长度；②若使 C,B 两点的距离是 A,B 两点的距离的 2 倍,则需将点 C 向左移动
2或18
个单位长度.(2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 A 以每秒 m 个单位长度的速度向左运动,同时,点 B 和点 C 分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动,设运动时间为 t 秒.
①点 A,B 表示的数分别是
-8-mt
,-4+2t
(用含 m,t 的代数式表示)；②若点 B 与点 C 之间的距离表示为 $d_1$,点 A 与点 B 之间的距离表示为 $d_2$,当 m 为何值时,$5d_1 - 3d_2$ 的值不会随着时间的变化而改变,并求此时 $5d_1 - 3d_2$ 的值.
答案
(1) ①10
解析：因为点B和点C表示的数分别是-4,6,所以$BC=6-(-4)=10$,即点B和点C之间的距离是10个单位长度.
②2或18
解析：因为点A和点B表示的数分别是-8,-4,所以$AB=-4-(-8)=4$,又因为C,B两点的距离是A,B两点的距离的2倍,所以C,B两点的距离$=4×2=8$,因为点B表示的数是-4,所以点C表示的数为$-4-8=-12$或$-4+8=4$,即点C表示的数是4或-12,因为开始点C表示的数为6,所以点C向左移动2个单位长度或18个单位长度.
(2) ①$-8-mt$；$-4+2t$
解析：因为点A初始位置表示的数为-8,以每秒m个单位长度的速度向左运动,且运动时间为t秒,所以运动后点A表示的数为$-8-mt$;因为点B初始位置表示的数为-4,以每秒2个单位长度的速度向右运动,且运动时间为t秒,所以运动后点B表示的数为$-4+2t$.
②因为点C初始位置表示的数为6,以每秒5个单位长度的速度向右运动,且运动时间为t秒,所以运动后点C表示的数为$6+5t$,则$d_1=6+5t-(-4+2t)=3t+10$,$d_2=-4+2t-(-8-mt)=2t+mt+4$,则$5d_1-3d_2=5(3t+10)-3(2t+mt+4)=15t+50-6t-3mt-12=(9-3m)t+38$.因为$5d_1-3d_2$的值不会随着时间的变化而改变,所以$9-3m=0$,$m=3$,此时$5d_1-3d_2=38$,所以当$m=3$时,$5d_1-3d_2$的值不会随着时间的变化而改变,此时$5d_1-3d_2=38$.
解析：因为点B和点C表示的数分别是-4,6,所以$BC=6-(-4)=10$,即点B和点C之间的距离是10个单位长度.
②2或18
解析：因为点A和点B表示的数分别是-8,-4,所以$AB=-4-(-8)=4$,又因为C,B两点的距离是A,B两点的距离的2倍,所以C,B两点的距离$=4×2=8$,因为点B表示的数是-4,所以点C表示的数为$-4-8=-12$或$-4+8=4$,即点C表示的数是4或-12,因为开始点C表示的数为6,所以点C向左移动2个单位长度或18个单位长度.
(2) ①$-8-mt$；$-4+2t$
解析：因为点A初始位置表示的数为-8,以每秒m个单位长度的速度向左运动,且运动时间为t秒,所以运动后点A表示的数为$-8-mt$;因为点B初始位置表示的数为-4,以每秒2个单位长度的速度向右运动,且运动时间为t秒,所以运动后点B表示的数为$-4+2t$.
②因为点C初始位置表示的数为6,以每秒5个单位长度的速度向右运动,且运动时间为t秒,所以运动后点C表示的数为$6+5t$,则$d_1=6+5t-(-4+2t)=3t+10$,$d_2=-4+2t-(-8-mt)=2t+mt+4$,则$5d_1-3d_2=5(3t+10)-3(2t+mt+4)=15t+50-6t-3mt-12=(9-3m)t+38$.因为$5d_1-3d_2$的值不会随着时间的变化而改变,所以$9-3m=0$,$m=3$,此时$5d_1-3d_2=38$,所以当$m=3$时,$5d_1-3d_2$的值不会随着时间的变化而改变,此时$5d_1-3d_2=38$.
2. （2025·扬州校级期中）我们曾探究过，如果数轴上点 A 表示数 $ a $，点 B 表示数 $ b $，线段 AB 的长表示为 $ AB $。当点 C 为线段 AB 中点时，即 $ AC=BC $ 时，点 C 表示的数为 $ \frac{a+b}{2} $。请同学们借助以上结论，解决下面问题：
如图，在数轴上的点 A 表示数 -2，点 B 表示数 5。若在原点 O 处放一挡板，一动点 P 从点 A 处以 2 个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一个动点 Q 从点 B 处以 3 个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点 B 后，两动点均停止运动，运动结束。假设运动的时间为 $ t $ 秒。
(1) 动点 P 表示的数为 ______；当 $ 0＜ t≤ \frac{5}{3} $ 时，动点 Q 表示的数为 ______；当 $ \frac{5}{3}＜ t≤ \frac{10}{3} $ 时，动点 Q 表示的数为 ______。（用含 $ t $ 的代数式表示）
(2) 当 O 是线段 PQ 中点时，求时间 $ t $ 的值。
(3) 分别取 OB 和 AQ 的中点 E，F。
①当 $ EF=2 $ 时，求时间 $ t $ 的值；
②试判断是否存在常数 $ m $，使得 $ AB - OQ + mEF $ 的值是定值，若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，说明理由。
如图，在数轴上的点 A 表示数 -2，点 B 表示数 5。若在原点 O 处放一挡板，一动点 P 从点 A 处以 2 个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一个动点 Q 从点 B 处以 3 个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点 B 后，两动点均停止运动，运动结束。假设运动的时间为 $ t $ 秒。
(1) 动点 P 表示的数为 ______；当 $ 0＜ t≤ \frac{5}{3} $ 时，动点 Q 表示的数为 ______；当 $ \frac{5}{3}＜ t≤ \frac{10}{3} $ 时，动点 Q 表示的数为 ______。（用含 $ t $ 的代数式表示）
(2) 当 O 是线段 PQ 中点时，求时间 $ t $ 的值。
(3) 分别取 OB 和 AQ 的中点 E，F。
①当 $ EF=2 $ 时，求时间 $ t $ 的值；
②试判断是否存在常数 $ m $，使得 $ AB - OQ + mEF $ 的值是定值，若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，说明理由。
答案
(1) $-2-2t$；$5-3t$；$3t-5$
解析：由题意,点P表示的数为$-2-2t$,当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,动点Q表示的数为$5-3t$,当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,动点Q表示的数为$3(t-\frac{5}{3})=3t-5$.
(2) ①当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,$\frac{-2-2t+5-3t}{2}=0$,即$t=\frac{3}{5}$(满足条件);②当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,$\frac{-2-2t+3t-5}{2}=0$,即$t=7$(不满足条件,舍去).综上,$t=\frac{3}{5}$.
(3) ①由题意,点E表示的数为$\frac{5}{2}$,当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,点F表示的数为$\frac{-2+5-3t}{2}=\frac{3-3t}{2}$,则$\left|\frac{3-3t}{2}-\frac{5}{2}\right|=2$,$t=\frac{2}{3}$或$t=-2$(舍去);当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,点F表示的数为$\frac{-2+3t-5}{2}=\frac{3t-7}{2}$,则$\left|\frac{3t-7}{2}-\frac{5}{2}\right|=2$,$t=\frac{8}{3}$或$t=\frac{16}{3}$(舍去).综上,$t=\frac{2}{3}$或$t=\frac{8}{3}$.
②存在.由题意,得$AB=5-(-2)=7$,当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,$OQ=5-3t$,$EF=\left|\frac{3-3t}{2}-\frac{5}{2}\right|=\left|\frac{-3t-2}{2}\right|=\frac{3t+2}{2}$,$AB-OQ+mEF=7+3t-5+m·\frac{3t+2}{2}$,当$m=-2$时,$AB-OQ+mEF=7+3t-5-3t-2=0$为定值;当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,$OQ=3t-5$,$EF=\left|\frac{3t-7}{2}-\frac{5}{2}\right|=\left|\frac{3t-12}{2}\right|=\frac{12-3t}{2}$,$AB-OQ+mEF=7+5-3t+m·\frac{12-3t}{2}$,当$m=-2$时,$AB-OQ+mEF=7+5-3t+3t-12=0$为定值,且$0=0$.综上,当$m=-2$时,$AB-OQ+mEF$的值是定值.
解析：由题意,点P表示的数为$-2-2t$,当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,动点Q表示的数为$5-3t$,当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,动点Q表示的数为$3(t-\frac{5}{3})=3t-5$.
(2) ①当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,$\frac{-2-2t+5-3t}{2}=0$,即$t=\frac{3}{5}$(满足条件);②当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,$\frac{-2-2t+3t-5}{2}=0$,即$t=7$(不满足条件,舍去).综上,$t=\frac{3}{5}$.
(3) ①由题意,点E表示的数为$\frac{5}{2}$,当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,点F表示的数为$\frac{-2+5-3t}{2}=\frac{3-3t}{2}$,则$\left|\frac{3-3t}{2}-\frac{5}{2}\right|=2$,$t=\frac{2}{3}$或$t=-2$(舍去);当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,点F表示的数为$\frac{-2+3t-5}{2}=\frac{3t-7}{2}$,则$\left|\frac{3t-7}{2}-\frac{5}{2}\right|=2$,$t=\frac{8}{3}$或$t=\frac{16}{3}$(舍去).综上,$t=\frac{2}{3}$或$t=\frac{8}{3}$.
②存在.由题意,得$AB=5-(-2)=7$,当$0＜t≤\frac{5}{3}$时,$OQ=5-3t$,$EF=\left|\frac{3-3t}{2}-\frac{5}{2}\right|=\left|\frac{-3t-2}{2}\right|=\frac{3t+2}{2}$,$AB-OQ+mEF=7+3t-5+m·\frac{3t+2}{2}$,当$m=-2$时,$AB-OQ+mEF=7+3t-5-3t-2=0$为定值;当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时,$OQ=3t-5$,$EF=\left|\frac{3t-7}{2}-\frac{5}{2}\right|=\left|\frac{3t-12}{2}\right|=\frac{12-3t}{2}$,$AB-OQ+mEF=7+5-3t+m·\frac{12-3t}{2}$,当$m=-2$时,$AB-OQ+mEF=7+5-3t+3t-12=0$为定值,且$0=0$.综上,当$m=-2$时,$AB-OQ+mEF$的值是定值.
