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3. (随州中考题)某通信公司提供了两种移动电话收费方式:方式1,收月基本费20元,再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费;方式2,收月基本费20元,送80分钟通话时间,超过80分钟的部分,以每分钟0.15元的价格计费.下列结论:
①如图描述的是方式1的收费方法;
②若月通话时间少于240分钟,选择方式2省钱;
③若月通信费为50元,则方式1比方式2的通话时间多;
④若方式1比方式2的通信费多10元,则方式1比方式2的通话时间多100分钟.
其中正确的是 (
A.只有①②
B.只有③④
C.只有①②③
D.①②③④
①如图描述的是方式1的收费方法;
②若月通话时间少于240分钟,选择方式2省钱;
③若月通信费为50元,则方式1比方式2的通话时间多;
④若方式1比方式2的通信费多10元,则方式1比方式2的通话时间多100分钟.
其中正确的是 (
C
)A.只有①②
B.只有③④
C.只有①②③
D.①②③④
答案
3. C
解析
【分析】
首先分别写出两种收费方式的收费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式，再结合函数图象性质，逐一验证4个结论是否正确：
1. 先推导两个函数解析式：方式1是匀速计费，无赠送时长，解析式为$y_1=0.1x+20$（$x≥0$）；方式2分两段计费，$x≤80$时$y_2=20$，$x＞80$时$y_2=0.15x+8$。
2. 逐个验证结论：先判断图象对应哪个解析式，再计算两种方式收费相等的临界时间判断省钱区间，再代入费用求通话时间比较，最后验证费用差10元时的通话时间差是否恒为100分钟。
【解析】
先建立两种收费方式的函数关系式：
方式1：$y_1=0.1x+20$（$x≥0$，$x$为通话时间，单位：分钟）
方式2：当$0≤ x≤80$时，$y_2=20$；当$x＞80$时，$y_2=20+0.15(x-80)=0.15x+8$
逐一判断结论：
① 把$x=80$代入方式1的解析式，得$y_1=0.1×80+20=28$，与图象过点$(0,20)$、$(80,28)$的特征一致；方式2在$x=80$时$y=20$，不符合图象，故①正确。
② 求两种方式收费相等的通话时间：$x＞80$时令$y_1=y_2$，即$0.1x+20=0.15x+8$，解得$x=240$。即$x=240$时两种方式费用相同，当$x＜240$时，代入$x=100$验证：$y_1=30$，$y_2=23$，方式2费用更低，故②正确。
③ 费用为50元时：
方式1：$0.1x+20=50$，解得$x=300$分钟
方式2：显然$x＞80$，代入$0.15x+8=50$，解得$x=280$分钟
$300＞280$，方式1通话时间更长，故③正确。
④ 举反例：若方式2通话时间为80分钟，$y_2=20$，则方式1费用为30元，此时方式1通话时间$x=(30-20)÷0.1=100$分钟，通话时间差为20分钟，不是100分钟，故④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、分段函数、一元一次方程求解
【点评】
本题结合实际收费场景考查一次函数的应用，解题关键是正确建立两种收费方式的函数解析式，结合临界点和特殊值验证结论，注意分段函数要分区间讨论。
【难度系数】
0.6
首先分别写出两种收费方式的收费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式，再结合函数图象性质，逐一验证4个结论是否正确：
1. 先推导两个函数解析式：方式1是匀速计费，无赠送时长，解析式为$y_1=0.1x+20$（$x≥0$）；方式2分两段计费，$x≤80$时$y_2=20$，$x＞80$时$y_2=0.15x+8$。
2. 逐个验证结论：先判断图象对应哪个解析式，再计算两种方式收费相等的临界时间判断省钱区间，再代入费用求通话时间比较，最后验证费用差10元时的通话时间差是否恒为100分钟。
【解析】
先建立两种收费方式的函数关系式：
方式1：$y_1=0.1x+20$（$x≥0$，$x$为通话时间，单位：分钟）
方式2：当$0≤ x≤80$时，$y_2=20$；当$x＞80$时，$y_2=20+0.15(x-80)=0.15x+8$
逐一判断结论：
① 把$x=80$代入方式1的解析式，得$y_1=0.1×80+20=28$，与图象过点$(0,20)$、$(80,28)$的特征一致；方式2在$x=80$时$y=20$，不符合图象，故①正确。
② 求两种方式收费相等的通话时间：$x＞80$时令$y_1=y_2$，即$0.1x+20=0.15x+8$，解得$x=240$。即$x=240$时两种方式费用相同，当$x＜240$时，代入$x=100$验证：$y_1=30$，$y_2=23$，方式2费用更低，故②正确。
③ 费用为50元时：
方式1：$0.1x+20=50$，解得$x=300$分钟
方式2：显然$x＞80$，代入$0.15x+8=50$，解得$x=280$分钟
$300＞280$，方式1通话时间更长，故③正确。
④ 举反例：若方式2通话时间为80分钟，$y_2=20$，则方式1费用为30元，此时方式1通话时间$x=(30-20)÷0.1=100$分钟，通话时间差为20分钟，不是100分钟，故④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、分段函数、一元一次方程求解
【点评】
本题结合实际收费场景考查一次函数的应用，解题关键是正确建立两种收费方式的函数解析式，结合临界点和特殊值验证结论，注意分段函数要分区间讨论。
【难度系数】
0.6
4.（辽阳中考题）如图，函数$y=2x$和$y=ax+5$的图象交于点$A(m,3)$，则不等式$2x＜ax+5$的解集是（
A.$x＜\frac{3}{2}$
B.$x＜3$
C.$x＞\frac{3}{2}$
D.$x＞3$
A
）A.$x＜\frac{3}{2}$
B.$x＜3$
C.$x＞\frac{3}{2}$
D.$x＞3$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先利用交点坐标的性质：交点同时在两个一次函数的图像上，先将点A的纵坐标代入y=2x求出横坐标m，得到交点的具体位置；再结合一次函数与不等式的关系，不等式2x＜ax+5的解集对应y=2x的图像在y=ax+5图像下方时x的取值范围，观察图像位置即可得到解集。
【解析】
1. 求点A的横坐标：
已知点$A(m,3)$在函数$y=2x$的图像上，将$y=3$代入$y=2x$得：
$3=2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，即点A的坐标为$(\frac{3}{2},3)$。
2. 结合图像求不等式解集：
不等式$2x＜ax+5$的含义是函数$y=2x$的函数值小于$y=ax+5$的函数值，对应图像上为$y=2x$的图像位于$y=ax+5$图像下方的部分。
观察图像可知，在交点A的左侧满足该条件，对应的x取值范围是$x＜\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数图像性质，待定系数法求点坐标
【点评】
本题是一次函数的基础应用型题目，核心考查数形结合思想，需要学生理解函数图像的位置关系和不等式解集的对应关系，解题的关键是先求出交点坐标，再结合图像判断解集范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用交点坐标的性质：交点同时在两个一次函数的图像上，先将点A的纵坐标代入y=2x求出横坐标m，得到交点的具体位置；再结合一次函数与不等式的关系，不等式2x＜ax+5的解集对应y=2x的图像在y=ax+5图像下方时x的取值范围，观察图像位置即可得到解集。
【解析】
1. 求点A的横坐标：
已知点$A(m,3)$在函数$y=2x$的图像上，将$y=3$代入$y=2x$得：
$3=2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，即点A的坐标为$(\frac{3}{2},3)$。
2. 结合图像求不等式解集：
不等式$2x＜ax+5$的含义是函数$y=2x$的函数值小于$y=ax+5$的函数值，对应图像上为$y=2x$的图像位于$y=ax+5$图像下方的部分。
观察图像可知，在交点A的左侧满足该条件，对应的x取值范围是$x＜\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数图像性质，待定系数法求点坐标
【点评】
本题是一次函数的基础应用型题目，核心考查数形结合思想，需要学生理解函数图像的位置关系和不等式解集的对应关系，解题的关键是先求出交点坐标，再结合图像判断解集范围。
【难度系数】
0.7
5.（绥化中考题）在一条笔直的公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A，B两村出发，甲骑摩托车、乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村。设甲、乙两人到C村的距离$y_1,y_2$(km)与行驶时间$x$(h)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：
(1)A，C两村间的距离为
(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)乙在行驶过程中，何时距甲10 km？
(1)A，C两村间的距离为
120
km，$a=$2
；(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)乙在行驶过程中，何时距甲10 km？
答案
5. 解:(1)
∵x=0时,$y_1=120$,
∴A,C 两村间的距离为 120 km.
令$y_1=kx+b(0≤ x≤ a)$,
$\begin{cases}0.5k+b=90,\\b=120,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-60,\\b=120,\end{cases}$
∴$y_1=-60x+120(0≤ x≤ a)$.
∵点(a,0)在直线$y_1$上,
∴$-60a+120=0$,解得$a=2$；
(2)同法可求$y_2$的解析式为$y_2=-30x+90$.
$y_1=y_2$时,则有$-60x+120=-30x+90$,解得$x=1$,$y_1=y_2=60$,
∴$P(1,60)$.
∵A,B,C 依次在一条直线上,甲、乙两人分别从 A,B 两村匀速向 C 村行驶,
∴点 P(1,60)坐标的实际意义是:两人经过 1 小时相遇,且距离 C 村为 60 km；
(3)乙在行驶过程中与甲相距 10 km,分如下两种情况：
①当$0≤ x≤ 2$时,则有$|y_1-y_2|=10$,即$|(-60x+120)-(-30x+90)|=10$,
整理,得$30x-30=\pm10$,分别解得$x=\dfrac{2}{3}$或$x=\dfrac{4}{3}$；
②当$2＜x≤ 3$时,$y_2-y_1=10$,即$y_2-0=-30x+90=10$,解得$x=\dfrac{8}{3}$.
综上,乙在行驶$\dfrac{2}{3}\mathrm{h}$或$\dfrac{4}{3}\mathrm{h}$或$\dfrac{8}{3}\mathrm{h}$时与甲相距 10 km.
∵x=0时,$y_1=120$,
∴A,C 两村间的距离为 120 km.
令$y_1=kx+b(0≤ x≤ a)$,
$\begin{cases}0.5k+b=90,\\b=120,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-60,\\b=120,\end{cases}$
∴$y_1=-60x+120(0≤ x≤ a)$.
∵点(a,0)在直线$y_1$上,
∴$-60a+120=0$,解得$a=2$；
(2)同法可求$y_2$的解析式为$y_2=-30x+90$.
$y_1=y_2$时,则有$-60x+120=-30x+90$,解得$x=1$,$y_1=y_2=60$,
∴$P(1,60)$.
∵A,B,C 依次在一条直线上,甲、乙两人分别从 A,B 两村匀速向 C 村行驶,
∴点 P(1,60)坐标的实际意义是:两人经过 1 小时相遇,且距离 C 村为 60 km；
(3)乙在行驶过程中与甲相距 10 km,分如下两种情况：
①当$0≤ x≤ 2$时,则有$|y_1-y_2|=10$,即$|(-60x+120)-(-30x+90)|=10$,
整理,得$30x-30=\pm10$,分别解得$x=\dfrac{2}{3}$或$x=\dfrac{4}{3}$；
②当$2＜x≤ 3$时,$y_2-y_1=10$,即$y_2-0=-30x+90=10$,解得$x=\dfrac{8}{3}$.
综上,乙在行驶$\dfrac{2}{3}\mathrm{h}$或$\dfrac{4}{3}\mathrm{h}$或$\dfrac{8}{3}\mathrm{h}$时与甲相距 10 km.
解析
【分析】
解题时先从函数图像提取关键信息逐步推导：
1. 第(1)问：x=0时甲到C村的距离$y_1=120\mathrm{km}$，对应A、C两村的距离；再利用甲的函数图像经过的$(0,120)$和$(0.5,90)$两个点，用待定系数法求出$y_1$的解析式，令$y_1=0$即可求出$a$的值，$a$是甲到达C村的时间。
2. 第(2)问：先利用乙的图像经过的$(0,90)$和$(3,0)$两个点，求出$y_2$的解析式，联立$y_1$和$y_2$的解析式，解出的$x,y$就是交点$P$的坐标，结合行驶过程解释坐标意义即可。
3. 第(3)问：两人相距10km分两种情况讨论：①甲未到达C村（$0\le x\le2$）时，两人到C村的距离差的绝对值为10，列绝对值方程求解；②甲到达C村后（$2＜x\le3$），甲已经停在C村，此时乙到C村的距离为10km时两人相距10km，列方程求解，最后综合两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 当$x=0$时，$y_1=120$，因此A、C两村间的距离为$120\mathrm{km}$。
设甲的函数解析式为$y_1=kx+b$（$0\le x\le a$），将$(0,120)$、$(0.5,90)$代入得：
$\begin{cases}b=120\\0.5k + b = 90\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-60\\b=120\end{cases}$
因此$y_1=-60x+120$（$0\le x\le a$）。
将$(a,0)$代入解析式得：$-60a + 120 = 0$，解得$a=2$。
(2) 设乙的函数解析式为$y_2=mx+n$，将$(0,90)$、$(3,0)$代入得：
$\begin{cases}n=90\\3m + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-30\\n=90\end{cases}$
因此$y_2=-30x+90$。
当$y_1=y_2$时，$-60x+120=-30x+90$，解得$x=1$，代入得$y_1=y_2=60$，因此$P(1,60)$。
实际意义：行驶1小时后，甲、乙两人相遇，此时两人距离C村均为$60\mathrm{km}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$0\le x\le2$时，甲未到达C村，两人距离差为$10\mathrm{km}$，则$|y_1 - y_2|=10$，即$|(-60x+120)-(-30x+90)|=10$，整理得$|30 - 30x|=10$，即$30x - 30 = \pm10$，解得$x=\frac{2}{3}$或$x=\frac{4}{3}$，均符合取值范围。
② 当$2＜x\le3$时，甲已经到达C村，$y_1=0$，此时两人相距$10\mathrm{km}$即$y_2=10$，因此$-30x + 90 = 10$，解得$x=\frac{8}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{P(1,60)}$，实际意义为行驶1小时后甲、乙两人相遇，此时两人距离C村$60\mathrm{km}$；
(3) 乙行驶$\boldsymbol{\frac{2}{3}\mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\frac{4}{3}\mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\frac{8}{3}\mathrm{h}}$时距甲$10\mathrm{km}$。
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、分类讨论思想
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，要求学生能从函数图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，求解距离问题时需注意分时间段讨论，避免漏解，兼顾了基础知识和逻辑思维能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时先从函数图像提取关键信息逐步推导：
1. 第(1)问：x=0时甲到C村的距离$y_1=120\mathrm{km}$，对应A、C两村的距离；再利用甲的函数图像经过的$(0,120)$和$(0.5,90)$两个点，用待定系数法求出$y_1$的解析式，令$y_1=0$即可求出$a$的值，$a$是甲到达C村的时间。
2. 第(2)问：先利用乙的图像经过的$(0,90)$和$(3,0)$两个点，求出$y_2$的解析式，联立$y_1$和$y_2$的解析式，解出的$x,y$就是交点$P$的坐标，结合行驶过程解释坐标意义即可。
3. 第(3)问：两人相距10km分两种情况讨论：①甲未到达C村（$0\le x\le2$）时，两人到C村的距离差的绝对值为10，列绝对值方程求解；②甲到达C村后（$2＜x\le3$），甲已经停在C村，此时乙到C村的距离为10km时两人相距10km，列方程求解，最后综合两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 当$x=0$时，$y_1=120$，因此A、C两村间的距离为$120\mathrm{km}$。
设甲的函数解析式为$y_1=kx+b$（$0\le x\le a$），将$(0,120)$、$(0.5,90)$代入得：
$\begin{cases}b=120\\0.5k + b = 90\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-60\\b=120\end{cases}$
因此$y_1=-60x+120$（$0\le x\le a$）。
将$(a,0)$代入解析式得：$-60a + 120 = 0$，解得$a=2$。
(2) 设乙的函数解析式为$y_2=mx+n$，将$(0,90)$、$(3,0)$代入得：
$\begin{cases}n=90\\3m + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-30\\n=90\end{cases}$
因此$y_2=-30x+90$。
当$y_1=y_2$时，$-60x+120=-30x+90$，解得$x=1$，代入得$y_1=y_2=60$，因此$P(1,60)$。
实际意义：行驶1小时后，甲、乙两人相遇，此时两人距离C村均为$60\mathrm{km}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$0\le x\le2$时，甲未到达C村，两人距离差为$10\mathrm{km}$，则$|y_1 - y_2|=10$，即$|(-60x+120)-(-30x+90)|=10$，整理得$|30 - 30x|=10$，即$30x - 30 = \pm10$，解得$x=\frac{2}{3}$或$x=\frac{4}{3}$，均符合取值范围。
② 当$2＜x\le3$时，甲已经到达C村，$y_1=0$，此时两人相距$10\mathrm{km}$即$y_2=10$，因此$-30x + 90 = 10$，解得$x=\frac{8}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{P(1,60)}$，实际意义为行驶1小时后甲、乙两人相遇，此时两人距离C村$60\mathrm{km}$；
(3) 乙行驶$\boldsymbol{\frac{2}{3}\mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\frac{4}{3}\mathrm{h}}$或$\boldsymbol{\frac{8}{3}\mathrm{h}}$时距甲$10\mathrm{km}$。
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、分类讨论思想
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，要求学生能从函数图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，求解距离问题时需注意分时间段讨论，避免漏解，兼顾了基础知识和逻辑思维能力的考查。
【难度系数】
0.6
