三、解答题
12. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD:∠BOE=7:1，求∠AOF的度数.

12. 解:
∵∠AOD:∠BOE=7:1,OE平分∠BOD，
∴∠AOD:∠BOD=7:2，
又∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=140°,∠BOD=40°,∠BOE=20°=∠ODE，
∴∠COE=180°-20°=160°，
又OF平分∠COE，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE=80°.
∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=80°-20°=60°,
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-60°=120°.

【分析】
解题时我们从已知条件逐步推导：首先由OE平分∠BOD可知∠BOD=2∠BOE，结合∠AOD:∠BOE=7:1，可得到∠AOD和∠BOD的比例关系；再利用∠AOD和∠BOD是邻补角、和为180°，计算出∠AOD、∠BOD、∠BOE的具体度数；接着根据平角为180°求出∠COE的度数，结合OF平分∠COE算出∠EOF的度数；最后通过角度和差关系先求∠BOF，再利用邻补角的性质求出∠AOF即可。
【解析】
解：
∵∠AOD:∠BOE=7:1，OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE，即∠AOD:∠BOD=7:2，
又
∵∠AOD和∠BOD互为邻补角，∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=$180°×\frac{7}{7+2}=140°$，∠BOD=180°-140°=40°，
∴∠BOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=20°，
∵CD是直线，∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-20°=160°，
又
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠COE=$\frac{1}{2}×160°=80°$，
∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=80°-20°=60°，
∵AB是直线，∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
角平分线的定义；邻补角的性质；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规综合题，解题核心是理清图中角的位置关系，结合角平分线、邻补角的性质从已知条件逐步推导未知角的度数，计算时需注意不要混淆角的和差关系。
【难度系数】
0.7

13. 在平面上有两点$A(-2,3),B(2,1)$.
(1)画出符合条件的平面直角坐标系和点$A,B$的位置；
(2)在坐标平面内画出点$P(2,0),Q(0,2),G(-2,0),H(0,-2)$；
(3)顺次连接(2)中各点得到的四边形是怎样的四边形？
(4)判断直线$AB$是否经过点$Q$.

13. 解:(1)如图；(2)如图；
(3)连接如图，得到的四边形为正方形；
(4)由A(-2,3),B(2,1)可得，直线AB的解析式为
$y=-\frac{1}{2}x+2$,将Q(0,2)代入得$-\frac{1}{2}×0+2=2$,
∴直线AB经过点Q。

【分析】
1. 第(1)(2)问为坐标系基础描点操作：根据点的坐标规则，横坐标对应x轴数值，纵坐标对应y轴数值，在对应象限或坐标轴上找到位置描点即可。
2. 第(3)问判断四边形形状：先观察四个点的位置，P、G在x轴，Q、H在y轴，可通过分析两条对角线的长度、位置关系判断四边形类型：若对角线相等、互相垂直且互相平分，即可判定为正方形。
3. 第(4)问判断直线是否过点：先用待定系数法求出直线AB的一次函数解析式，再将点Q的坐标代入解析式验证，若等式成立则说明点在直线上，即直线经过该点。
【解析】
(1) 建立平面直角坐标系，x轴向右为正方向、y轴向上为正方向，A点横坐标为-2、纵坐标为3，在第二象限找到对应位置描点；B点横坐标为2、纵坐标为1，在第一象限找到对应位置描点，如图所示。
(2) x轴上数值2的位置描点P(2,0)、数值-2的位置描点G(-2,0)，y轴上数值2的位置描点Q(0,2)、数值-2的位置描点H(0,-2)，如图所示。
(3) 顺次连接G、Q、P、H四点：
对角线GP长度为$2-(-2)=4$，QH长度为$2-(-2)=4$，两条对角线长度相等；
GP在x轴、QH在y轴，坐标轴互相垂直，且交点O是两条对角线的中点（$OG=OP=2$，$OQ=OH=2$），即对角线互相垂直平分。
根据正方形的判定规则，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，因此得到的四边形为正方形。
(4) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(-2,3)$、$B(2,1)$代入解析式可得方程组：
$\begin{cases}3=-2k+b\\1=2k+b\end{cases}$
两式相加得$4=2b$，解得$b=2$；将$b=2$代入$1=2k+b$，得$2k=-1$，解得$k=-\frac{1}{2}$，因此直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
将$Q(0,2)$的横坐标$x=0$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×0+2=2$，与Q点纵坐标相等，说明Q点在直线AB上，即直线AB经过点Q。
【答案】
(1)(2)如图；
(3)得到的四边形为正方形；
(4)直线AB经过点Q。

【知识点】
坐标描点，正方形判定，一次函数图象性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平面直角坐标系基础操作、特殊四边形判定和一次函数的应用，侧重对基础知识点的理解和运用，解题时注意坐标运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8

14.某区的数学爱好者申请了一项省级课题——《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》,为了了解学生对数学美的了解情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型,课题组绘制了如下两幅不完整的统计图,请根据统计图中提供的信息,回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,“理解”所占扇形的圆心角是多少度?
(3)该区七年级大约有8000名学生,请估计“理解”和“了解”两个类型共有多少名学生?

14. 解:(1)20÷5%=400(名)，
400-120-160-20=100(名),补全图形如图；
(2)120÷400×360°=108°；
(3)(120+160)÷400×8000=5600(名)。

【分析】
解题思路如下：1. 解决第(1)问：首先观察两幅统计图，“不知道”的人数在条形图中是20名，在扇形图中占总人数的5%，根据“总量=对应量÷对应占比”可求出调查总人数；再用总人数减去“理解、了解、不知道”的人数，得到“不太了解”的人数，即可补全条形统计图。2. 解决第(2)问：扇形圆心角的度数=该类人数占总人数的比例×360°，先计算“理解”人数占总人数的比例，再乘360°即可得到结果。3. 解决第(3)问：属于用样本估计总体的问题，先算出样本中“理解”和“了解”的人数占总样本的比例，再乘该区七年级总人数即可得到估计值。
【解析】
(1) 已知“不知道”的人数为20名，占总调查人数的5%，因此总调查人数为：
$20÷5\%=400$（名）
“不太了解”的人数为总人数减去其余三类人数：
$400-120-160-20=100$（名）
补全条形统计图。
(2) “理解”的人数为120名，占总人数的比例为$\frac{120}{400}$，因此对应扇形的圆心角为：
$\frac{120}{400}×360°=108°$
(3) 样本中“理解”和“了解”的总人数为$120+160=280$名，占样本的比例为$\frac{280}{400}$，因此估计该区8000名七年级学生中这两类的总人数为：
$\frac{120+160}{400}×8000=5600$（名）
【答案】
(1) 本次调查共抽取了400名学生，补全图形如图；
(2) “理解”所占扇形的圆心角是$108°$；
(3) 估计“理解”和“了解”两个类型共有5600名学生。
【知识点】
条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，需要学生结合条形统计图和扇形统计图提取有效信息，利用分量、总量、占比三者的关系进行计算，同时掌握用样本特征估计总体特征的统计思想，是统计模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8