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1. 下列各组图形中，一个图形经过平移能得到另一个图形的是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】要解决这道题，首先需要牢记平移的核心性质：图形经过平移后，形状、大小、方向都不会发生改变，仅位置发生变化。解题时我们只需逐个核查每个选项的图形是否符合该性质即可：先排除不符合要求的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】解：根据平移的性质：图形平移后，形状、大小、方向均保持不变，仅位置发生改变，对各选项逐一判断：
选项A：图中两个三角形方向相反，平移不会改变图形方向，不符合平移特征，排除；
选项B：两个圆大小不相等，平移不会改变图形大小，不符合平移特征，排除；
选项C：两个正方形大小不相等，不符合平移不改变图形大小的性质，排除；
选项D：两个三角形形状、大小、方向完全一致，仅位置不同，可以通过平移得到，符合要求。
【答案】D
【知识点】平移的性质；平移的识别
【点评】本题属于基础类题目，核心是对平移概念的理解，抓住平移不改变图形形状、大小、方向的特征就能快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】解：根据平移的性质：图形平移后，形状、大小、方向均保持不变，仅位置发生改变，对各选项逐一判断：
选项A：图中两个三角形方向相反，平移不会改变图形方向，不符合平移特征，排除；
选项B：两个圆大小不相等，平移不会改变图形大小，不符合平移特征，排除；
选项C：两个正方形大小不相等，不符合平移不改变图形大小的性质，排除；
选项D：两个三角形形状、大小、方向完全一致，仅位置不同，可以通过平移得到，符合要求。
【答案】D
【知识点】平移的性质；平移的识别
【点评】本题属于基础类题目，核心是对平移概念的理解，抓住平移不改变图形形状、大小、方向的特征就能快速解题。
【难度系数】0.9
2. 下列四个图形中，$∠1=∠2$一定成立的是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
解题时先回忆各类角的性质，逐个分析四个选项中∠1和∠2的关系，判断哪种情况一定能推出两角相等：
1. 先回忆邻补角、对顶角的性质：邻补角和为180°，只有特殊情况相等，对顶角恒相等；
2. 再回忆三角形外角的性质：外角等于不相邻两个内角和，外角大于任意一个不相邻内角；
3. 最后回忆平行线的同位角性质：只有两直线平行的前提下同位角才相等，无平行条件则不一定成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：∠1和∠2是邻补角，满足∠1+∠2=180°，只有当∠1=∠2=90°时才相等，不是一定成立；
选项B：∠2是三角形的外角，根据三角形外角性质，∠2=∠1+三角形内与这两个角都不相邻的内角，因此∠2＞∠1，两角不相等；
选项C：∠1和∠2是两条直线被第三条所截形成的同位角，只有两条被截直线平行时，才有∠1=∠2，题目没有给出平行的条件，因此不一定成立；
选项D：∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，∠1=∠2一定成立。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的定义；平行线的性质
【点评】
本题考查基础的角的大小关系判断，解题的关键是熟记各类角的性质及成立的前提条件，避免忽略前提直接判定同位角相等的错误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆各类角的性质，逐个分析四个选项中∠1和∠2的关系，判断哪种情况一定能推出两角相等：
1. 先回忆邻补角、对顶角的性质：邻补角和为180°，只有特殊情况相等，对顶角恒相等；
2. 再回忆三角形外角的性质：外角等于不相邻两个内角和，外角大于任意一个不相邻内角；
3. 最后回忆平行线的同位角性质：只有两直线平行的前提下同位角才相等，无平行条件则不一定成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：∠1和∠2是邻补角，满足∠1+∠2=180°，只有当∠1=∠2=90°时才相等，不是一定成立；
选项B：∠2是三角形的外角，根据三角形外角性质，∠2=∠1+三角形内与这两个角都不相邻的内角，因此∠2＞∠1，两角不相等；
选项C：∠1和∠2是两条直线被第三条所截形成的同位角，只有两条被截直线平行时，才有∠1=∠2，题目没有给出平行的条件，因此不一定成立；
选项D：∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，∠1=∠2一定成立。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的定义；平行线的性质
【点评】
本题考查基础的角的大小关系判断，解题的关键是熟记各类角的性质及成立的前提条件，避免忽略前提直接判定同位角相等的错误。
【难度系数】
0.9
3.设$a=\sqrt{7}+2$，则 （
A.$2＜a＜3$
B.$3＜a＜4$
C.$4＜a＜5$
D.$5＜a＜6$
C
）A.$2＜a＜3$
B.$3＜a＜4$
C.$4＜a＜5$
D.$5＜a＜6$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断a的取值范围，首先需要估算出无理数√7的大小，我们可以通过找到和7相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的大小比较规则确定√7的整数范围，再根据不等式的性质，给√7的范围同时加上2，即可得到a=√7+2的取值范围，进而匹配正确选项。
【解析】
首先找出与7相邻的两个完全平方数：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ 对三个数同时取算术平方根，不等号方向不变，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
给不等式三边同时加2，不等号方向不变：
$2+2＜\sqrt{7}+2＜3+2$
计算得$4＜a＜5$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 不等式的基本性质
3. 算术平方根的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方，快速找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的取值范围，这类题型是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断a的取值范围，首先需要估算出无理数√7的大小，我们可以通过找到和7相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的大小比较规则确定√7的整数范围，再根据不等式的性质，给√7的范围同时加上2，即可得到a=√7+2的取值范围，进而匹配正确选项。
【解析】
首先找出与7相邻的两个完全平方数：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ 对三个数同时取算术平方根，不等号方向不变，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
给不等式三边同时加2，不等号方向不变：
$2+2＜\sqrt{7}+2＜3+2$
计算得$4＜a＜5$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 不等式的基本性质
3. 算术平方根的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方，快速找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的取值范围，这类题型是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系中，将点$ A(m,n) $先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点$ A' $，若点$ A' $位于第二象限，则$ m,n $的取值范围分别是（
A.$ m＜2,n＞3 $
B.$ m＜2,n＞-3 $
C.$ m＜-2,n＜-3 $
D.$ m＜-2,n＞-3 $
D
）A.$ m＜2,n＞3 $
B.$ m＜2,n＞-3 $
C.$ m＜-2,n＜-3 $
D.$ m＜-2,n＞-3 $
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，据此先写出平移后点A'的坐标。再明确第二象限内点的坐标符号特征为横坐标小于0、纵坐标大于0，根据这个特征列出关于m、n的不等式，解不等式即可得到m、n的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
第一步：求平移后点A'的坐标
点A(m,n)向右平移2个单位长度，横坐标加2，得到坐标为(m+2, n)；再向上平移3个单位长度，纵坐标加3，因此点A'的坐标为$(m+2, n+3)$。
第二步：根据第二象限坐标特征列不等式
第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此可得：
$\begin{cases}m+2 ＜ 0 \\n+3 ＞ 0\end{cases}$
第三步：解不等式
解$m+2 ＜ 0$，得$m ＜ -2$；
解$n+3 ＞ 0$，得$n ＞ -3$。
因此m、n的取值范围为$m ＜ -2$，$n ＞ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律，象限坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，综合考查点的平移规则和各象限点的坐标符号特点，解题的核心是熟练掌握相关基础规律，避免平移加减规则或象限符号记混。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，据此先写出平移后点A'的坐标。再明确第二象限内点的坐标符号特征为横坐标小于0、纵坐标大于0，根据这个特征列出关于m、n的不等式，解不等式即可得到m、n的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
第一步：求平移后点A'的坐标
点A(m,n)向右平移2个单位长度，横坐标加2，得到坐标为(m+2, n)；再向上平移3个单位长度，纵坐标加3，因此点A'的坐标为$(m+2, n+3)$。
第二步：根据第二象限坐标特征列不等式
第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此可得：
$\begin{cases}m+2 ＜ 0 \\n+3 ＞ 0\end{cases}$
第三步：解不等式
解$m+2 ＜ 0$，得$m ＜ -2$；
解$n+3 ＞ 0$，得$n ＞ -3$。
因此m、n的取值范围为$m ＜ -2$，$n ＞ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律，象限坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，综合考查点的平移规则和各象限点的坐标符号特点，解题的核心是熟练掌握相关基础规律，避免平移加减规则或象限符号记混。
【难度系数】
0.8
5.已知有含盐20%和8%的盐水，若需配制15%的盐水300千克，两种盐水应各取多少千克？若设20%的盐水取x千克，8%的盐水取y千克，则下列方程组中正确的是（
A.$\begin{cases} x+y=300, \\ 20\%x +8\%y=300 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=300, \\ 8\%x +20\%y=300×15\% \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=300, \\ 20\%x +8\%y=300×15\% \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=300, \\ 20\%x -8\%y=300×15\% \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x+y=300, \\ 20\%x +8\%y=300 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=300, \\ 8\%x +20\%y=300×15\% \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=300, \\ 20\%x +8\%y=300×15\% \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=300, \\ 20\%x -8\%y=300×15\% \end{cases}$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道溶液配制类的二元一次方程组应用题，解题时需抓住两个核心等量关系推导方程：①两种原料盐水的总质量等于配制后盐水的总质量；②混合前后盐（溶质）的总质量保持不变。先根据总质量列出第一个方程，再根据溶质总质量不变列出第二个方程，最后对应选项判断即可。
【解析】
已知设20%的盐水取x千克，8%的盐水取y千克：
1. 配制得到的盐水总质量为300千克，因此两种原料盐水的质量和为300，可得第一个方程：$x+y=300$；
2. 混合前后盐的总质量不变：20%的盐水中含盐质量为$20\%x$，8%的盐水中含盐质量为$8\%y$，配制的300千克15%盐水中含盐质量为$300×15\%$，因此可得第二个方程：$20\%x + 8\%y = 300×15\%$。
联立两个方程所得的方程组与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，溶液浓度问题，等量关系分析
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确抓住混合前后溶液总质量、溶质总质量均不变的规律，掌握该规律就能快速列出正确方程组。
【难度系数】
0.8
这是一道溶液配制类的二元一次方程组应用题，解题时需抓住两个核心等量关系推导方程：①两种原料盐水的总质量等于配制后盐水的总质量；②混合前后盐（溶质）的总质量保持不变。先根据总质量列出第一个方程，再根据溶质总质量不变列出第二个方程，最后对应选项判断即可。
【解析】
已知设20%的盐水取x千克，8%的盐水取y千克：
1. 配制得到的盐水总质量为300千克，因此两种原料盐水的质量和为300，可得第一个方程：$x+y=300$；
2. 混合前后盐的总质量不变：20%的盐水中含盐质量为$20\%x$，8%的盐水中含盐质量为$8\%y$，配制的300千克15%盐水中含盐质量为$300×15\%$，因此可得第二个方程：$20\%x + 8\%y = 300×15\%$。
联立两个方程所得的方程组与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，溶液浓度问题，等量关系分析
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确抓住混合前后溶液总质量、溶质总质量均不变的规律，掌握该规律就能快速列出正确方程组。
【难度系数】
0.8
0.9的平方根是
±3
.答案
6.±3
解析
【分析】
首先回忆平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$（$a≥0$），即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时只需要找到平方后等于9的数即可。
【解析】
根据平方根的定义进行计算：
因为$(\pm3)^2 = 9$，符合平方根的定义要求，所以9的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题是平方根的基础考题，解题时要注意正数的平方根有两个，且互为相反数，不要漏写负的平方根，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$（$a≥0$），即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时只需要找到平方后等于9的数即可。
【解析】
根据平方根的定义进行计算：
因为$(\pm3)^2 = 9$，符合平方根的定义要求，所以9的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题是平方根的基础考题，解题时要注意正数的平方根有两个，且互为相反数，不要漏写负的平方根，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
7.如图，直线$l_1$，$l_2$被直线$l_3$所截，$l_1// l_2$，已知$∠ 1=80°$，则$∠ 2=$
80°
。答案
7.80°
解析
【分析】
首先观察图形，可知∠1和∠2是直线l₁、l₂被直线l₃所截形成的内错角，题目已知l₁//l₂，我们可以联想到平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由此可推出∠2和∠1的大小相等，代入已知∠1的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 直线l₁//l₂，l₃是截线，∠1与∠2是一组内错角，
∴ 根据两直线平行，内错角相等，可得∠2=∠1，
又
∵ ∠1=80°，
∴ ∠2=80°。
【答案】
80°
【知识点】
1.平行线的性质
2.内错角的识别
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，核心是准确识别两条平行线被截后形成的内错角，结合平行线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，可知∠1和∠2是直线l₁、l₂被直线l₃所截形成的内错角，题目已知l₁//l₂，我们可以联想到平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由此可推出∠2和∠1的大小相等，代入已知∠1的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 直线l₁//l₂，l₃是截线，∠1与∠2是一组内错角，
∴ 根据两直线平行，内错角相等，可得∠2=∠1，
又
∵ ∠1=80°，
∴ ∠2=80°。
【答案】
80°
【知识点】
1.平行线的性质
2.内错角的识别
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，核心是准确识别两条平行线被截后形成的内错角，结合平行线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=2, \\ A=0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=3,\end{cases}$则含$x,y$的多项式$A$可以是 ______ （写出一个即可）。
答案
8.$x+\frac{1}{3}y$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解的核心性质：方程组的解会满足组内的每一个方程。本题给出的解$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$必然满足$A=0$，也就是把$x=-1$、$y=3$代入多项式$A$后，计算结果为0。我们只需要构造一个含$x$、$y$的多项式，代入上述$x$、$y$的值后结果等于0即可，答案不唯一。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x+y=2 \\ A=0\end{cases}$的解，
∴ 将$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$代入$A=0$时等式成立，即当$x=-1$、$y=3$时，多项式$A$的取值为0。
我们可以构造一次多项式，设$A=ax+by$（$a$、$b$为常数，且不同时为0），代入$x=-1$、$y=3$可得：
$-a + 3b = 0$，即$a=3b$。
取$b=\frac{1}{3}$，则$a=1$，此时$A=x+\frac{1}{3}y$，代入验证：
当$x=-1$、$y=3$时，$x+\frac{1}{3}y=-1+\frac{1}{3}×3=0$，符合要求。
（也可构造其他符合要求的多项式，如$3x+y$、$x-y+4$等）
【答案】
$x+\frac{1}{3}y$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代数式求值；多项式的概念
【点评】
本题属于开放性试题，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，解题关键是抓住“方程组的解满足组内所有方程”的性质，灵活构造符合要求的代数式，解题思路多样，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程组的解的核心性质：方程组的解会满足组内的每一个方程。本题给出的解$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$必然满足$A=0$，也就是把$x=-1$、$y=3$代入多项式$A$后，计算结果为0。我们只需要构造一个含$x$、$y$的多项式，代入上述$x$、$y$的值后结果等于0即可，答案不唯一。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x+y=2 \\ A=0\end{cases}$的解，
∴ 将$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$代入$A=0$时等式成立，即当$x=-1$、$y=3$时，多项式$A$的取值为0。
我们可以构造一次多项式，设$A=ax+by$（$a$、$b$为常数，且不同时为0），代入$x=-1$、$y=3$可得：
$-a + 3b = 0$，即$a=3b$。
取$b=\frac{1}{3}$，则$a=1$，此时$A=x+\frac{1}{3}y$，代入验证：
当$x=-1$、$y=3$时，$x+\frac{1}{3}y=-1+\frac{1}{3}×3=0$，符合要求。
（也可构造其他符合要求的多项式，如$3x+y$、$x-y+4$等）
【答案】
$x+\frac{1}{3}y$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代数式求值；多项式的概念
【点评】
本题属于开放性试题，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，解题关键是抓住“方程组的解满足组内所有方程”的性质，灵活构造符合要求的代数式，解题思路多样，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
9.已知在平面直角坐标系中有点$A(3,y)$($y$是任意实数),则点$B(-2,-3)$与点$A$的距离最短时,$y=$
-3
.答案
9.-3
解析
【分析】
首先分析点A的坐标特征：点A的横坐标固定为3，说明点A始终在垂直于x轴的直线x=3上运动。要求点B到点A的最短距离，可结合“垂线段最短”的性质思考：过点B作直线x=3的垂线，垂足就是距离最短的点A。由于直线x=3是竖直直线，它的垂线是水平方向的，水平方向线段上的所有点纵坐标相等，因此点A的纵坐标和点B的纵坐标一致，即可求出y的值。
【解析】
∵ 点A的坐标为(3,y)，横坐标恒为3，
∴ 点A在垂直于x轴的直线x=3上运动。
根据垂线段最短的性质，当线段AB垂直于直线x=3时，点B与点A的距离最短。
∵ 直线x=3是竖直方向，垂直于它的线段AB为水平方向，水平方向的线段上所有点的纵坐标相等，
∴ y = -3。
【答案】
-3
【知识点】
垂线段最短；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标性质和几何最值规律结合考查，解题的突破口是判断出动点A的运动轨迹，再结合垂线段最短的性质快速找到最值对应的位置，属于基础的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
首先分析点A的坐标特征：点A的横坐标固定为3，说明点A始终在垂直于x轴的直线x=3上运动。要求点B到点A的最短距离，可结合“垂线段最短”的性质思考：过点B作直线x=3的垂线，垂足就是距离最短的点A。由于直线x=3是竖直直线，它的垂线是水平方向的，水平方向线段上的所有点纵坐标相等，因此点A的纵坐标和点B的纵坐标一致，即可求出y的值。
【解析】
∵ 点A的坐标为(3,y)，横坐标恒为3，
∴ 点A在垂直于x轴的直线x=3上运动。
根据垂线段最短的性质，当线段AB垂直于直线x=3时，点B与点A的距离最短。
∵ 直线x=3是竖直方向，垂直于它的线段AB为水平方向，水平方向的线段上所有点的纵坐标相等，
∴ y = -3。
【答案】
-3
【知识点】
垂线段最短；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标性质和几何最值规律结合考查，解题的突破口是判断出动点A的运动轨迹，再结合垂线段最短的性质快速找到最值对应的位置，属于基础的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
10.若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x-1＞0, \\ 2x-a＜0\end{cases}$有2个整数解，则$a$的取值范围是 ______ .
答案
10.$6＜a≤8$
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个关于x的取值范围；第二步合并两个范围，得到不等式组的解集；第三步根据“有2个整数解”的条件，先确定这两个整数的具体值，再根据解集的边界限制列出关于参数a的不等式，最终求出a的取值范围，过程中要特别注意边界值是否能取等号。
【解析】
解：先分别解两个不等式：
1. 解不等式 $x - 1 ＞ 0$，移项得：$x ＞ 1$
2. 解不等式 $2x - a ＜ 0$，移项得 $2x ＜ a$，系数化为1得：$x ＜ \frac{a}{2}$
因此该不等式组的解集为 $1 ＜ x ＜ \frac{a}{2}$。
已知不等式组有2个整数解，大于1的最小两个整数为2、3，要保证整数解只有2和3，则需满足：
$3 ＜ \frac{a}{2} ≤ 4$
（说明：若$\frac{a}{2} ≤ 3$，则x取不到3，仅1个整数解；若$\frac{a}{2} ＞ 4$，则x可取到4，共3个整数解，均不符合要求）
对上述不等式两边同时乘2，得：$6 ＜ a ≤ 8$
【答案】
$6 ＜ a ≤ 8$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组整数解应用
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，核心是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数反向推导参数的取值范围，解题时需要格外注意边界的等号是否成立，避免出现范围多取或者漏取的错误。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个关于x的取值范围；第二步合并两个范围，得到不等式组的解集；第三步根据“有2个整数解”的条件，先确定这两个整数的具体值，再根据解集的边界限制列出关于参数a的不等式，最终求出a的取值范围，过程中要特别注意边界值是否能取等号。
【解析】
解：先分别解两个不等式：
1. 解不等式 $x - 1 ＞ 0$，移项得：$x ＞ 1$
2. 解不等式 $2x - a ＜ 0$，移项得 $2x ＜ a$，系数化为1得：$x ＜ \frac{a}{2}$
因此该不等式组的解集为 $1 ＜ x ＜ \frac{a}{2}$。
已知不等式组有2个整数解，大于1的最小两个整数为2、3，要保证整数解只有2和3，则需满足：
$3 ＜ \frac{a}{2} ≤ 4$
（说明：若$\frac{a}{2} ≤ 3$，则x取不到3，仅1个整数解；若$\frac{a}{2} ＞ 4$，则x可取到4，共3个整数解，均不符合要求）
对上述不等式两边同时乘2，得：$6 ＜ a ≤ 8$
【答案】
$6 ＜ a ≤ 8$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组整数解应用
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，核心是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数反向推导参数的取值范围，解题时需要格外注意边界的等号是否成立，避免出现范围多取或者漏取的错误。
【难度系数】
0.6
11. 若方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1, \\ a_2x + y = c_2 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$则方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1 - a_1, \\ a_2x + y = c_2 - a_2 \end{cases}$的解是________。
答案
11.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
首先，二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此我们可以先将已知的第一个方程组的解代入原方程组，得到系数$a_1$与$c_1$、$a_2$与$c_2$的数量关系；再将该关系代入待求解的第二个方程组中，消去$c_1$和$c_2$，结合原方程组有唯一解的隐含条件（$a_1≠ a_2$），即可求出第二个方程组的解。也可以通过对待求解的方程组变形，构造出和原方程组结构完全一致的形式，用整体代换的思想快速求解。
【解析】
方法1：代入消元法
∵ 方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1, \\ a_2x + y = c_2 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$
∴ 将$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases} a_1 × 1 + 2 = c_1 \\ a_2 × 1 + 2 = c_2 \end{cases}$，即$\begin{cases} c_1 = a_1 + 2 \\ c_2 = a_2 + 2 \end{cases}$
把$\begin{cases} c_1 = a_1 + 2 \\ c_2 = a_2 + 2 \end{cases}$代入待解方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1 - a_1, \\ a_2x + y = c_2 - a_2 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} a_1x + y = (a_1 + 2) - a_1 \\ a_2x + y = (a_2 + 2) - a_2 \end{cases}$
化简后得：$\begin{cases} a_1x + y = 2 \quad ① \\ a_2x + y = 2 \quad ② \end{cases}$
用① - ②，得：$(a_1 - a_2)x = 0$
∵ 原方程组有唯一解，
∴ $a_1 ≠ a_2$，即$a_1 - a_2 ≠ 0$，因此$x = 0$
把$x = 0$代入①，得：$0 + y = 2$，即$y = 2$
∴ 待解方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
方法2：整体代换法
将待解方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1 - a_1, \\ a_2x + y = c_2 - a_2 \end{cases}$变形，把含$a_1$、$a_2$的项移到左边，得：
$\begin{cases} a_1(x + 1) + y = c_1 \\ a_2(x + 1) + y = c_2 \end{cases}$
观察发现该方程组和原方程组$\begin{cases} a_1X + y = c_1 \\ a_2X + y = c_2 \end{cases}$结构完全相同，已知原方程组的解为$\begin{cases} X=1 \\ y=2 \end{cases}$，因此可得：
$X = x + 1 = 1$，解得$x = 0$，且$y = 2$
即待解方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；整体代入思想
【点评】
本题核心是利用二元一次方程组解的性质解题，不需要求解未知系数$a_1,a_2,c_1,c_2$的具体值，通过代入消元或者整体代换的方法就能快速得出结果，解题时注意观察方程组的结构特征，能减少计算量。
【难度系数】
0.7
首先，二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此我们可以先将已知的第一个方程组的解代入原方程组，得到系数$a_1$与$c_1$、$a_2$与$c_2$的数量关系；再将该关系代入待求解的第二个方程组中，消去$c_1$和$c_2$，结合原方程组有唯一解的隐含条件（$a_1≠ a_2$），即可求出第二个方程组的解。也可以通过对待求解的方程组变形，构造出和原方程组结构完全一致的形式，用整体代换的思想快速求解。
【解析】
方法1：代入消元法
∵ 方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1, \\ a_2x + y = c_2 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$
∴ 将$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases} a_1 × 1 + 2 = c_1 \\ a_2 × 1 + 2 = c_2 \end{cases}$，即$\begin{cases} c_1 = a_1 + 2 \\ c_2 = a_2 + 2 \end{cases}$
把$\begin{cases} c_1 = a_1 + 2 \\ c_2 = a_2 + 2 \end{cases}$代入待解方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1 - a_1, \\ a_2x + y = c_2 - a_2 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} a_1x + y = (a_1 + 2) - a_1 \\ a_2x + y = (a_2 + 2) - a_2 \end{cases}$
化简后得：$\begin{cases} a_1x + y = 2 \quad ① \\ a_2x + y = 2 \quad ② \end{cases}$
用① - ②，得：$(a_1 - a_2)x = 0$
∵ 原方程组有唯一解，
∴ $a_1 ≠ a_2$，即$a_1 - a_2 ≠ 0$，因此$x = 0$
把$x = 0$代入①，得：$0 + y = 2$，即$y = 2$
∴ 待解方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
方法2：整体代换法
将待解方程组$\begin{cases} a_1x + y = c_1 - a_1, \\ a_2x + y = c_2 - a_2 \end{cases}$变形，把含$a_1$、$a_2$的项移到左边，得：
$\begin{cases} a_1(x + 1) + y = c_1 \\ a_2(x + 1) + y = c_2 \end{cases}$
观察发现该方程组和原方程组$\begin{cases} a_1X + y = c_1 \\ a_2X + y = c_2 \end{cases}$结构完全相同，已知原方程组的解为$\begin{cases} X=1 \\ y=2 \end{cases}$，因此可得：
$X = x + 1 = 1$，解得$x = 0$，且$y = 2$
即待解方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；整体代入思想
【点评】
本题核心是利用二元一次方程组解的性质解题，不需要求解未知系数$a_1,a_2,c_1,c_2$的具体值，通过代入消元或者整体代换的方法就能快速得出结果，解题时注意观察方程组的结构特征，能减少计算量。
【难度系数】
0.7
