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三、解答题
11. 计算下列各式：
(1) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2} ÷ (x^2 - 1) · \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 3x + 2}$；
(2) $\dfrac{3}{2x + 4} - \dfrac{6}{4 - x^2} + \dfrac{9}{2x - 4}$。
11. 计算下列各式：
(1) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2} ÷ (x^2 - 1) · \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 3x + 2}$；
(2) $\dfrac{3}{2x + 4} - \dfrac{6}{4 - x^2} + \dfrac{9}{2x - 4}$。
答案
11.(1)$\frac{1}{x^2 - 2x}$ (2)$\frac{6}{x - 2}$
解析
【分析】
（1）对于分式乘除混合运算，首先将除法运算统一转化为乘法运算，再对各分式的分子、分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式，最后将剩余部分相乘化简即可得到结果。
（2）对于分式加减混合运算，首先对各分式的分母因式分解，确定最简公分母，将各分式通分为同分母分式，再按照同分母分式加减法则（分母不变，分子相加减）计算，最后对分子化简、约分得到最简结果，运算过程中注意分母符号的处理。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对各多项式因式分解：
原式$=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2} × \dfrac{1}{x^2 - 1} × \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 3x + 2}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{x^2} × \dfrac{1}{(x-1)(x+1)} × \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x-2)}$
约去分子分母的公因式：
$=\dfrac{1}{x(x-2)}$
$=\dfrac{1}{x^2-2x}$
(2) 先对各分母因式分解，调整符号后找最简公分母通分：
原式$=\dfrac{3}{2(x+2)} + \dfrac{6}{(x+2)(x-2)} + \dfrac{9}{2(x-2)}$
最简公分母为$2(x+2)(x-2)$，通分得：
$=\dfrac{3(x-2)}{2(x+2)(x-2)} + \dfrac{12}{2(x+2)(x-2)} + \dfrac{9(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
分母不变，分子相加：
$=\dfrac{3x-6+12+9x+18}{2(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{12x+24}{2(x+2)(x-2)}$
约去公因式：
$=\dfrac{12(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{6}{x-2}$
【答案】
(1)$\frac{1}{x^2 - 2x}$ (2)$\frac{6}{x - 2}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题主要考查分式的混合运算，解题核心是熟练掌握因式分解的方法和分式运算的规则，运算时要注意符号的处理，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
（1）对于分式乘除混合运算，首先将除法运算统一转化为乘法运算，再对各分式的分子、分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式，最后将剩余部分相乘化简即可得到结果。
（2）对于分式加减混合运算，首先对各分式的分母因式分解，确定最简公分母，将各分式通分为同分母分式，再按照同分母分式加减法则（分母不变，分子相加减）计算，最后对分子化简、约分得到最简结果，运算过程中注意分母符号的处理。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对各多项式因式分解：
原式$=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2} × \dfrac{1}{x^2 - 1} × \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 3x + 2}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{x^2} × \dfrac{1}{(x-1)(x+1)} × \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x-2)}$
约去分子分母的公因式：
$=\dfrac{1}{x(x-2)}$
$=\dfrac{1}{x^2-2x}$
(2) 先对各分母因式分解，调整符号后找最简公分母通分：
原式$=\dfrac{3}{2(x+2)} + \dfrac{6}{(x+2)(x-2)} + \dfrac{9}{2(x-2)}$
最简公分母为$2(x+2)(x-2)$，通分得：
$=\dfrac{3(x-2)}{2(x+2)(x-2)} + \dfrac{12}{2(x+2)(x-2)} + \dfrac{9(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
分母不变，分子相加：
$=\dfrac{3x-6+12+9x+18}{2(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{12x+24}{2(x+2)(x-2)}$
约去公因式：
$=\dfrac{12(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{6}{x-2}$
【答案】
(1)$\frac{1}{x^2 - 2x}$ (2)$\frac{6}{x - 2}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题主要考查分式的混合运算，解题核心是熟练掌握因式分解的方法和分式运算的规则，运算时要注意符号的处理，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
12. 已知$|2x - y + 1| + (3x - 2y + 4)^2 = 0$，求代数式$1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$的值.
答案
12.$\frac{15}{7}$
解析
【分析】
首先，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加和为0，则这两个非负数各自为0，据此列出关于x、y的二元一次方程组，解出x和y的值；其次，对所求的代数式按照分式混合运算的规则进行化简，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后化简为最简形式；最后将x、y的值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
解：
∵ $|2x - y + 1| ≥ 0$，$(3x - 2y + 4)^2 ≥ 0$，且两者的和为0
∴ 可得方程组 $\begin{cases}2x - y + 1 = 0 \\ 3x - 2y + 4 = 0 \end{cases}$
由第一个方程变形得：$y = 2x + 1$，将其代入第二个方程：
$3x - 2(2x + 1) + 4 = 0$
$3x - 4x - 2 + 4 = 0$
解得 $x = 2$
把$x=2$代入$y=2x+1$，得$y=2×2+1=5$
接下来化简代数式：
$1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$
$= 1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} × \dfrac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x^2 - y^2}$（分式除法法则：除以分式等于乘它的倒数）
$= 1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} × \dfrac{(x - 2y)^2}{(x - y)(x + y)}$（因式分解：完全平方公式、平方差公式）
$= 1 - \dfrac{x - 2y}{x + y}$（约去公因式$(x-y)$、$(x-2y)$）
$= \dfrac{x + y - (x - 2y)}{x + y}$（通分计算）
$= \dfrac{3y}{x + y}$
将$x=2$，$y=5$代入化简后的式子：
原式$= \dfrac{3×5}{2 + 5} = \dfrac{15}{7}$
【答案】
$\dfrac{15}{7}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 分式的混合运算
3. 因式分解
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，再严格遵循分式运算规则化简，计算时要注意约分的正确性和符号处理，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
首先，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加和为0，则这两个非负数各自为0，据此列出关于x、y的二元一次方程组，解出x和y的值；其次，对所求的代数式按照分式混合运算的规则进行化简，先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后化简为最简形式；最后将x、y的值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
解：
∵ $|2x - y + 1| ≥ 0$，$(3x - 2y + 4)^2 ≥ 0$，且两者的和为0
∴ 可得方程组 $\begin{cases}2x - y + 1 = 0 \\ 3x - 2y + 4 = 0 \end{cases}$
由第一个方程变形得：$y = 2x + 1$，将其代入第二个方程：
$3x - 2(2x + 1) + 4 = 0$
$3x - 4x - 2 + 4 = 0$
解得 $x = 2$
把$x=2$代入$y=2x+1$，得$y=2×2+1=5$
接下来化简代数式：
$1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$
$= 1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} × \dfrac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x^2 - y^2}$（分式除法法则：除以分式等于乘它的倒数）
$= 1 - \dfrac{x - y}{x - 2y} × \dfrac{(x - 2y)^2}{(x - y)(x + y)}$（因式分解：完全平方公式、平方差公式）
$= 1 - \dfrac{x - 2y}{x + y}$（约去公因式$(x-y)$、$(x-2y)$）
$= \dfrac{x + y - (x - 2y)}{x + y}$（通分计算）
$= \dfrac{3y}{x + y}$
将$x=2$，$y=5$代入化简后的式子：
原式$= \dfrac{3×5}{2 + 5} = \dfrac{15}{7}$
【答案】
$\dfrac{15}{7}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 分式的混合运算
3. 因式分解
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，再严格遵循分式运算规则化简，计算时要注意约分的正确性和符号处理，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
13. 在修建中的某段高速公路要招标.现有甲、乙两个工程队,若甲、乙两队合做,24天可以完成,需费用120万元.若甲单独做20天后,剩下的工程由乙队做,还需40天才能完成,这样需费用110万元.问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程,各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程,各需费用多少万元？
(1)甲、乙两队单独完成此项工程,各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程,各需费用多少万元？
答案
13.解:(1)设甲、乙两队单独完成此项工程各需x天、y天,则$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{24}, \\ \dfrac{20}{x} + \dfrac{40}{y} = 1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 30, \\ y = 120. \end{cases}$
故甲、乙两队单独完成此项工程分别需要30天、120天.
(2)设甲、乙两队单独完成此项工程各需m万元、n万元.
$\begin{cases} (\dfrac{m}{30} + \dfrac{n}{120}) × 24 = 120, \\ \dfrac{m}{30} × 20 + \dfrac{n}{120} × 40 = 110. \end{cases}$
得$m = 135,n = 60$. 故甲队单独完成工程需要用135万元,乙队单独完成工程需要用60万元.
故甲、乙两队单独完成此项工程分别需要30天、120天.
(2)设甲、乙两队单独完成此项工程各需m万元、n万元.
$\begin{cases} (\dfrac{m}{30} + \dfrac{n}{120}) × 24 = 120, \\ \dfrac{m}{30} × 20 + \dfrac{n}{120} × 40 = 110. \end{cases}$
得$m = 135,n = 60$. 故甲队单独完成工程需要用135万元,乙队单独完成工程需要用60万元.
解析
【分析】
本题是工程类二元一次方程组的典型应用题，解题思路如下：
(1)求单独完成的天数：将总工作量设为单位1，工作效率=1÷单独完成天数，根据两个核心等量关系列方程组：①甲乙合作24天完成，即甲乙效率和×24=总工作量1；②甲20天的工作量+乙40天的工作量=总工作量1，解方程组即可得两队单独完成的天数。
(2)求单独完成的总费用：先表示出两队单日费用（总费用÷单独完成天数），再根据费用的两个等量关系列方程组：①甲乙合作24天总费用为120万元；②甲工作20天的费用+乙工作40天的费用=110万元，解方程组即可得单独完成的总费用。
【解析】
(1)设甲、乙两队单独完成此项工程各需x天、y天，把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{y}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{24} \quad ① \\ \dfrac{20}{x} + \dfrac{40}{y} = 1 \quad ② \end{cases}$
令$a=\frac{1}{x}$，$b=\frac{1}{y}$，方程组转化为$\begin{cases} a + b = \frac{1}{24} \\ 20a + 40b = 1 \end{cases}$，将第一个方程两边乘20得$20a + 20b = \frac{5}{6}$ ③，用②-③得$20b=\frac{1}{6}$，解得$b=\frac{1}{120}$，即$y=120$，将$b=\frac{1}{120}$代入①得$a=\frac{1}{30}$，即$x=30$。
(2)设甲、乙两队单独完成此项工程各需m万元、n万元，则甲单日费用为$\frac{m}{30}$万元，乙单日费用为$\frac{n}{120}$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} (\dfrac{m}{30} + \dfrac{n}{120}) × 24 = 120 \quad ④ \\ \dfrac{m}{30} × 20 + \dfrac{n}{120} × 40 = 110 \quad ⑤ \end{cases}$
化简④：两边除以24后再乘120得$4m + n = 600$ ⑥；化简⑤：通分后两边乘3得$2m + n = 330$ ⑦，用⑥-⑦得$2m=270$，解得$m=135$，将$m=135$代入⑦得$n=60$。
【答案】
(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成需120天；
(2)甲队单独完成此项工程需费用135万元，乙队单独完成需费用60万元。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.工程问题计算
3.费用类应用题求解
【点评】
本题是工程与费用结合的经典应用题，核心考查根据等量关系列二元一次方程组解决实际问题的能力，解题时通常将总工作量设为单位1，找准效率、工作量、时间的对应关系以及费用的计算逻辑即可顺利求解，计算前可先化简方程降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
本题是工程类二元一次方程组的典型应用题，解题思路如下：
(1)求单独完成的天数：将总工作量设为单位1，工作效率=1÷单独完成天数，根据两个核心等量关系列方程组：①甲乙合作24天完成，即甲乙效率和×24=总工作量1；②甲20天的工作量+乙40天的工作量=总工作量1，解方程组即可得两队单独完成的天数。
(2)求单独完成的总费用：先表示出两队单日费用（总费用÷单独完成天数），再根据费用的两个等量关系列方程组：①甲乙合作24天总费用为120万元；②甲工作20天的费用+乙工作40天的费用=110万元，解方程组即可得单独完成的总费用。
【解析】
(1)设甲、乙两队单独完成此项工程各需x天、y天，把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{y}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{24} \quad ① \\ \dfrac{20}{x} + \dfrac{40}{y} = 1 \quad ② \end{cases}$
令$a=\frac{1}{x}$，$b=\frac{1}{y}$，方程组转化为$\begin{cases} a + b = \frac{1}{24} \\ 20a + 40b = 1 \end{cases}$，将第一个方程两边乘20得$20a + 20b = \frac{5}{6}$ ③，用②-③得$20b=\frac{1}{6}$，解得$b=\frac{1}{120}$，即$y=120$，将$b=\frac{1}{120}$代入①得$a=\frac{1}{30}$，即$x=30$。
(2)设甲、乙两队单独完成此项工程各需m万元、n万元，则甲单日费用为$\frac{m}{30}$万元，乙单日费用为$\frac{n}{120}$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} (\dfrac{m}{30} + \dfrac{n}{120}) × 24 = 120 \quad ④ \\ \dfrac{m}{30} × 20 + \dfrac{n}{120} × 40 = 110 \quad ⑤ \end{cases}$
化简④：两边除以24后再乘120得$4m + n = 600$ ⑥；化简⑤：通分后两边乘3得$2m + n = 330$ ⑦，用⑥-⑦得$2m=270$，解得$m=135$，将$m=135$代入⑦得$n=60$。
【答案】
(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成需120天；
(2)甲队单独完成此项工程需费用135万元，乙队单独完成需费用60万元。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.工程问题计算
3.费用类应用题求解
【点评】
本题是工程与费用结合的经典应用题，核心考查根据等量关系列二元一次方程组解决实际问题的能力，解题时通常将总工作量设为单位1，找准效率、工作量、时间的对应关系以及费用的计算逻辑即可顺利求解，计算前可先化简方程降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
