1. (2026·江苏扬州期末)如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,反比例函数 $y=\dfrac{a}{x}(a＜0),y=\dfrac{b}{x}$ $(b＞0)$ 的图象分别经过正方形 DEOF、正方形 ACOB 的顶点 D,A(点 B,C,E,F 都在坐标轴上),连接 EF,AE,AF,则 $△ AEF$ 的面积可表示为（）

A.$-\dfrac{1}{2}a$
B.$\dfrac{1}{2}b$
C.$\dfrac{1}{2}(a+b)$
D.$\dfrac{1}{2}(b-a)$

1. A 解析:连接 OA. 由题意,得 $EF // OA$,所以$S_{△ AEF}=S_{△ OEF}=\frac{1}{2}S_{正方形DEOF}=-\frac{1}{2}a$. 故$△ AEF$的面积可表示为$-\frac{1}{2}a$.

2. 亮点原创 如图，$△ PMN$ 的三个顶点的坐标分别为 $P(a,b),M(c,b),N(c,d)$，其中 $a＜c,b＜d$. 若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 在第一象限内的图象与 $△ PMN$ 有交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A.$a ≤ k ≤ d$
B.$ab ≤ k ≤ bc$
C.$ab ≤ k ≤ cd$
D.$bc ≤ k ≤ cd$

2. C 解析:观察题图可知:当反比例函数的图象经过点P 时,k 的值最小;当反比例函数的图象经过点 N 时,k 的值最大. 把点$P(a,b)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$b=\frac{k}{a}$,解得$k=ab$;把点$N(c,d)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$d=\frac{k}{c}$,解得$k=cd$. 故 k 的取值范围是$ab≤ k≤ cd$.

3. 亮点原创 在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点$P(m,n)$,我们把点$Q(mk,\dfrac{k}{n})$称为点$P$的“$k$倍给力点”.如图,$O$是原点,矩形$OABC$的顶点$A$的坐标为$(4,0)$,顶点$C$在$y$轴上,反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象与$BC$交于点$M$.若点$N$是点$M$的“$4$倍给力点”,且点$N$在矩形$OABC$的边上,则$△ OAN$的面积为.

3. 4 解析:因为点 M 在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,所以可设$M(m,\frac{2}{m})(m＞0)$. 因为点 N 是点 M的“4 倍给力点”,所以$N(4m,2m)$. 因为点 N 在矩形OABC 的一边上,所以分类讨论如下:① 当点 N 在边AB 上时,因为$A(4,0)$,所以$4m=4$,解得$m=1$,则$2m=2$,所以$N(4,2)$,所以$S_{△ OAN}=\frac{1}{2}×4×2=4$;② 当点 N 在边 BC 上时,$\frac{2}{m}=2m$,解得$m=1$(负值舍去),则同理可得$S_{△ OAN}=4$. 综上所述,$△ OAN$的面积为4.

4. 如图,已知点$A(5,2),B(5,4),C(8,1)$,直线$l ⊥ x$轴,垂足为$M(m,0)$,其中$m＜\dfrac{5}{2}$.若$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于直线$l$对称,且$△ A'B'C'$有两个顶点在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,则$k$的值为.

4. $-6$或$-4$ 解析:因为$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于直线l对称,所以$A'(2m-5,2),B'(2m-5,4),C'(2m-8,1)$. 因为点$A'(2m-5,2)$与点$B'(2m-5,4)$的横坐标相同,所以点$A'$与点$B'$中只能有一点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上. 分类讨论如下:① 当点$A'(2m-5,2),C'(2m-8,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上时,$k=2(2m-5)=2m-8$,解得$m=1,k=-6$;② 当点$B'(2m-5,4),C'(2m-8,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上时,$k=4(2m-5)=2m-8$,解得$m=2,k=-4$. 综上所述,k 的值为-6或-4.