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5. (2026·江苏苏州期末)某超市销售普通毛巾和抗菌毛巾,进价分别为8元/条和20元/条.
(1) 计划每条抗菌毛巾的售价比普通毛巾贵16元,7条普通毛巾和3条抗菌毛巾总售价相同,求每条普通毛巾和抗菌毛巾的售价；
(2) 按(1)中售价销售一段时间后,发现普通毛巾每日销售量为120条,当每条售价每降价1元时,每日销售量增加20条.该超市秉承薄利多销的原则,对普通毛巾进行降价销售,且要求当天销售普通毛巾的利润恰为320元,求此时每条普通毛巾的售价；
(3) 该超市以原进价购进2万条抗菌毛巾,并向当地敬老院捐赠了$a$条($6\ 000≤ a≤7\ 000$)该款毛巾,剩余的对外销售.若这2万条抗菌毛巾的利润率为10%,则每条抗菌毛巾的售价为
(1) 计划每条抗菌毛巾的售价比普通毛巾贵16元,7条普通毛巾和3条抗菌毛巾总售价相同,求每条普通毛巾和抗菌毛巾的售价；
(2) 按(1)中售价销售一段时间后,发现普通毛巾每日销售量为120条,当每条售价每降价1元时,每日销售量增加20条.该超市秉承薄利多销的原则,对普通毛巾进行降价销售,且要求当天销售普通毛巾的利润恰为320元,求此时每条普通毛巾的售价；
(3) 该超市以原进价购进2万条抗菌毛巾,并向当地敬老院捐赠了$a$条($6\ 000≤ a≤7\ 000$)该款毛巾,剩余的对外销售.若这2万条抗菌毛巾的利润率为10%,则每条抗菌毛巾的售价为
32
元.(售价为整数元)答案
(1) 设每条普通毛巾的售价为 $x$ 元,抗菌毛巾的售价为 $y$ 元. 由题意,得$\begin{cases} y-x=16,\\7x=3y,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=12,\\y=28.\end{cases}$ 故每条普通毛巾的售价为 12 元,抗菌毛巾的售价为 28 元.
(2) 设此时每条普通毛巾的售价为 $m$ 元. 由题意,得$(m-8)[120+20(12-m)]=320$. 整理,得 $m^{2}-26m+160=0$, 解得 $m_{1}=10$,$m_{2}=16$(不合题意,舍去). 故此时每条普通毛巾的售价为 10 元.
(3) 32 解析: 设每条抗菌毛巾的售价为 $n$ 元. 由题意,得$(20\ 000-a)n=20×20\ 000×(1+10\%)$, 所以 $a=20\ 000-\dfrac{440\ 000}{n}$. 因为 $6\ 000≤ a≤7\ 000$, 所以 $6\ 000≤20\ 000-\dfrac{440\ 000}{n}≤7\ 000$, 解得 $31\dfrac{3}{7}≤ n≤33\dfrac{11}{13}$. 因为 $n$ 为整数, 所以 $n$ 可取 32,33. 当 $n=32$ 时,$a=6\ 250$; 当 $n=33$ 时,$a=6\ 666\dfrac{2}{3}$, 不合题意,舍去. 综上所述,每条抗菌毛巾的售价为 32 元.
(2) 设此时每条普通毛巾的售价为 $m$ 元. 由题意,得$(m-8)[120+20(12-m)]=320$. 整理,得 $m^{2}-26m+160=0$, 解得 $m_{1}=10$,$m_{2}=16$(不合题意,舍去). 故此时每条普通毛巾的售价为 10 元.
(3) 32 解析: 设每条抗菌毛巾的售价为 $n$ 元. 由题意,得$(20\ 000-a)n=20×20\ 000×(1+10\%)$, 所以 $a=20\ 000-\dfrac{440\ 000}{n}$. 因为 $6\ 000≤ a≤7\ 000$, 所以 $6\ 000≤20\ 000-\dfrac{440\ 000}{n}≤7\ 000$, 解得 $31\dfrac{3}{7}≤ n≤33\dfrac{11}{13}$. 因为 $n$ 为整数, 所以 $n$ 可取 32,33. 当 $n=32$ 时,$a=6\ 250$; 当 $n=33$ 时,$a=6\ 666\dfrac{2}{3}$, 不合题意,舍去. 综上所述,每条抗菌毛巾的售价为 32 元.
6. 新趋势 推导探究 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根. 若满足$|x_1-x_2|=1$,则此类方程称为“差根方程”. 根据“差根方程”的定义,解决下列问题:
(1) 通过计算,判断下列方程是否是“差根方程”:
① $x^2-4x-5=0$;
② $2x^2-2\sqrt{3}x+1=0$;
(2) 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx=0$是“差根方程”,求$m$的值;
(3) 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0(a＞0)$是“差根方程”,请探索$a$与$b$之间的数量关系.
(1) 通过计算,判断下列方程是否是“差根方程”:
① $x^2-4x-5=0$;
② $2x^2-2\sqrt{3}x+1=0$;
(2) 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx=0$是“差根方程”,求$m$的值;
(3) 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0(a＞0)$是“差根方程”,请探索$a$与$b$之间的数量关系.
答案
(1) ① 解方程 $x^{2}-4x-5=0$, 得 $x_{1}=5$,$x_{2}=-1$. 因为 $|x_{1}-x_{2}|=6$, 所以该方程不是“差根方程”.
② 解方程 $2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$, 得 $x_{1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$,$x_{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$. 因为 $|x_{1}-x_{2}|=1$, 所以该方程是“差根方程”.
(2) 解方程 $x^{2}+2mx=0$, 得 $x_{1}=0$,$x_{2}=-2m$. 因为该方程是“差根方程”, 所以 $|x_{1}-x_{2}|=1$, 所以 $|2m|=1$, 解得 $m=\pm\dfrac{1}{2}$. 故 $m$ 的值为 $\dfrac{1}{2}$ 或 $-\dfrac{1}{2}$.
(3) 设 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+1=0(a＞0)$ 的两个实数根, 则 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{a}$. 因为该方程是“差根方程”, 所以 $|x_{1}-x_{2}|=1$, 所以 $|x_{1}-x_{2}|^{2}=1$, 所以 $(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=1$, 所以 $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{4}{a}=1$, 所以 $b^{2}-4a=a^{2}$, 所以 $a$ 与 $b$ 之间的数量关系为 $b^{2}=a^{2}+4a$.
② 解方程 $2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$, 得 $x_{1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$,$x_{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$. 因为 $|x_{1}-x_{2}|=1$, 所以该方程是“差根方程”.
(2) 解方程 $x^{2}+2mx=0$, 得 $x_{1}=0$,$x_{2}=-2m$. 因为该方程是“差根方程”, 所以 $|x_{1}-x_{2}|=1$, 所以 $|2m|=1$, 解得 $m=\pm\dfrac{1}{2}$. 故 $m$ 的值为 $\dfrac{1}{2}$ 或 $-\dfrac{1}{2}$.
(3) 设 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+1=0(a＞0)$ 的两个实数根, 则 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{a}$. 因为该方程是“差根方程”, 所以 $|x_{1}-x_{2}|=1$, 所以 $|x_{1}-x_{2}|^{2}=1$, 所以 $(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=1$, 所以 $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{4}{a}=1$, 所以 $b^{2}-4a=a^{2}$, 所以 $a$ 与 $b$ 之间的数量关系为 $b^{2}=a^{2}+4a$.
