登录
1. 欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》中记载了关于$x$的方程$x^{2}+4nx - 9m^{2}=0$的根的图形解法: 如图, 在$\odot O$中, $CD$ 为直径, $\odot O$ 的切线与 $CD$ 的延长线交于点 $B$, 切点为 $A$, 连接$AC$,使$AB = 3m$,$CD = 4n$,则该方程的一个正根是（
A.$BD$ 的长
B.$BO$ 的长
C.$BC$ 的长
D.$AC$ 的长
A
）A.$BD$ 的长
B.$BO$ 的长
C.$BC$ 的长
D.$AC$ 的长
答案
解析:解方程 $x^{2}+4nx-9m^{2}=0$,得 $x=-2n\pm\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}$, 所以该方程的一个正根是 $x=\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}-2n$.连接 $OA$. 因为直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$, 所以 $OA ⊥ AB$, 所以 $∠ OAB = 90°$. 因为$CD=4n$,所以 $OA=OD=\dfrac{1}{2}CD=2n$. 因为 $AB=3m$,所以 $OB=\sqrt{AB^{2}+OA^{2}}=\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}$, 所以 $BD = OB - OD=\sqrt{9m^{2}+4n^{2}}-2n$. 故方程 $x^{2}+4nx-9m^{2}=0$ 的一个正根是 $BD$ 的长.
2. 新素养 抽象能力 已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx=c\ (ac ≠ 0)$的一个实数根为2026，则关于$x$的一元二次方程$cx^{2}+bx=a$一定有实数根（
A.2026
B.$\dfrac{1}{2\ 026}$
C.$-2\ 026$
D.$-\dfrac{1}{2\ 026}$
D
）A.2026
B.$\dfrac{1}{2\ 026}$
C.$-2\ 026$
D.$-\dfrac{1}{2\ 026}$
答案
解析: 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx=c$ 的一个实数根为 2026, 所以 $2\ 026^{2}a + 2\ 026b = c$, 所以$a+\dfrac{1}{2\ 026}b=(\dfrac{1}{2\ 026})^{2}c$, 所以$(-\dfrac{1}{2\ 026})^{2}c+(-\dfrac{1}{2\ 026})b=a$, 所以关于 $x$ 的一元二次方程 $cx^{2}+bx=a$ 一定有实数根$-\dfrac{1}{2\ 026}$.
3. (2026·江苏南京期末)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(n+2)x-2n^2=0$ 的两个根分别为 $a_n$，$b_n$($n≥ 2$ 且 $n$ 为自然数)，则代数式 $\dfrac{1}{(a_2-2)(b_2-2)}+\dfrac{1}{(a_3-2)(b_3-2)}+\dots+\dfrac{1}{(a_{2026}-2)(b_{2026}-2)}$ 的值为
$-\dfrac{2\ 025}{8\ 108}$
.答案
解析: 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(n+2)x-2n^{2}=0$ 的两个根分别为 $a_{n},b_{n}$, 则 $a_{n}+b_{n}=n+2$,$a_{n}b_{n}=-2n^{2}$, 所以 $(a_{n}-2)(b_{n}-2)=a_{n}b_{n}-2(a_{n}+b_{n})+4=-2n^{2}-2(n+2)+4=-2n^{2}-2n$, 所以$\dfrac{1}{(a_{n}-2)(b_{n}-2)}=\dfrac{1}{-2n(n+1)}=-\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$, 所以原式$=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})-\dots-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2026}-\dfrac{1}{2027})=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2026}-\dfrac{1}{2027})=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2027})=-\dfrac{2\ 025}{8\ 108}$.
4.【阅读材料】
解方程:$x^{2}+|x|-2=0.$
解:因为$x^{2}=|x|^{2}$,所以原方程即为$|x|^{2}+|x|-2=0$.设$|x|=t$,则原方程可化为$t^{2}+t-2=0$,解得$t_{1}=1$,$t_{2}=-2$.当$t=1$时,$|x|=1$,所以$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$;当$t=-2$时,$|x|=-2$,无解.综上所述,原方程的解是$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$.
以上解方程的过程中,将$|x|$作为一个整体设成一个新未知数$t$,从而将原方程化为关于$t$的一元二次方程,像这样解决问题的方法叫作“换元法”.
【解决问题】
(1) 已知方程$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2x-\dfrac{2}{x}-1=0$.若设$x+\dfrac{1}{x}=m$,则利用“换元法”可将原方程化为关于$m$的方程是
(2) 仿照上述方法,解方程:$\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-5=0$.
解方程:$x^{2}+|x|-2=0.$
解:因为$x^{2}=|x|^{2}$,所以原方程即为$|x|^{2}+|x|-2=0$.设$|x|=t$,则原方程可化为$t^{2}+t-2=0$,解得$t_{1}=1$,$t_{2}=-2$.当$t=1$时,$|x|=1$,所以$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$;当$t=-2$时,$|x|=-2$,无解.综上所述,原方程的解是$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$.
以上解方程的过程中,将$|x|$作为一个整体设成一个新未知数$t$,从而将原方程化为关于$t$的一元二次方程,像这样解决问题的方法叫作“换元法”.
【解决问题】
(1) 已知方程$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2x-\dfrac{2}{x}-1=0$.若设$x+\dfrac{1}{x}=m$,则利用“换元法”可将原方程化为关于$m$的方程是
$m^2-2m-3=0$
;(2) 仿照上述方法,解方程:$\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-5=0$.
答案
(1) $m^2-2m-3=0$
(2) 方程 $\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-5=0$ 即为 $(\dfrac{1}{x}+1)-\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-6=0$. 设 $\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}=n$, 则原方程可化为$n^{2}-n-6=0$, 解得 $n_{1}=3$,$n_{2}=-2$. 当 $n=3$ 时,$\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}=3$, 所以 $x=\dfrac{1}{8}$; 当 $n=-2$ 时,$\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}=-2$, 无解. 综上所述, 原方程的解是 $x=\dfrac{1}{8}$.
(2) 方程 $\dfrac{1}{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-5=0$ 即为 $(\dfrac{1}{x}+1)-\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}-6=0$. 设 $\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}=n$, 则原方程可化为$n^{2}-n-6=0$, 解得 $n_{1}=3$,$n_{2}=-2$. 当 $n=3$ 时,$\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}=3$, 所以 $x=\dfrac{1}{8}$; 当 $n=-2$ 时,$\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}=-2$, 无解. 综上所述, 原方程的解是 $x=\dfrac{1}{8}$.
