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10. 为了确保通信安全，信息需要加密传输。现规定加密规则：明文$(m, n)$加密成密文后是$(3m+1, mn)$。按照这样的加密规则，明文$(2, 5)$加密后是（______，________），密文$(10, 21)$的明文是（______，________）。
答案
10. $(7,10)$ $(3,7)$
解析
【分析】
本题是加密规则的应用问题，分为两小问：第一小问已知明文求密文，直接将明文的m、n代入加密公式计算即可；第二小问已知密文求明文，需根据加密规则列出方程，先求解m，再计算n。
【解析】
1. 计算明文$(2,5)$对应的密文：
根据加密规则，密文的第一个数为$3m+1$，第二个数为$mn$。
当$m=2$，$n=5$时，
第一个数：$3×2 +1 =7$，
第二个数：$2×5=10$，
因此密文为$(7,10)$。
2. 计算密文$(10,21)$对应的明文：
设明文为$(m,n)$，根据加密规则列方程组：
$\begin{cases}3m +1 =10 \\ mn=21 \end{cases}$
解第一个方程：$3m=10-1=9$，得$m=3$；
将$m=3$代入第二个方程：$3n=21$，得$n=7$，
因此明文为$(3,7)$。
【答案】
$(7,10)$ $(3,7)$
【知识点】
代数式求值，二元一次方程组应用
【点评】
本题考查对加密规则的理解和代数运算能力，步骤清晰，属于基础应用题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
本题是加密规则的应用问题，分为两小问：第一小问已知明文求密文，直接将明文的m、n代入加密公式计算即可；第二小问已知密文求明文，需根据加密规则列出方程，先求解m，再计算n。
【解析】
1. 计算明文$(2,5)$对应的密文：
根据加密规则，密文的第一个数为$3m+1$，第二个数为$mn$。
当$m=2$，$n=5$时，
第一个数：$3×2 +1 =7$，
第二个数：$2×5=10$，
因此密文为$(7,10)$。
2. 计算密文$(10,21)$对应的明文：
设明文为$(m,n)$，根据加密规则列方程组：
$\begin{cases}3m +1 =10 \\ mn=21 \end{cases}$
解第一个方程：$3m=10-1=9$，得$m=3$；
将$m=3$代入第二个方程：$3n=21$，得$n=7$，
因此明文为$(3,7)$。
【答案】
$(7,10)$ $(3,7)$
【知识点】
代数式求值，二元一次方程组应用
【点评】
本题考查对加密规则的理解和代数运算能力，步骤清晰，属于基础应用题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
1. 下列节日都在同一季度的是（
A.劳动节和儿童节
B.建军节和劳动节
C.植树节和国庆节
D.教师节和儿童节
A
）。A.劳动节和儿童节
B.建军节和劳动节
C.植树节和国庆节
D.教师节和儿童节
答案
1. A
解析
【分析】首先明确一年分为四个季度：1-3月为第一季度，4-6月为第二季度，7-9月为第三季度，10-12月为第四季度。接着确定每个选项中两个节日的月份，判断是否属于同一季度：A选项中劳动节（5月）、儿童节（6月）都在第二季度；B选项建军节（8月，第三季度）和劳动节（5月，第二季度）不在同一季度；C选项植树节（3月，第一季度）和国庆节（10月，第四季度）不在同一季度；D选项教师节（9月，第三季度）和儿童节（6月，第二季度）不在同一季度，据此选出正确答案。
【解析】先明确季度划分规则：第一季度1-3月，第二季度4-6月，第三季度7-9月，第四季度10-12月。逐一分析选项：
A. 劳动节是5月1日（第二季度），儿童节是6月1日（第二季度），二者同属第二季度，符合要求；
B. 建军节是8月1日（第三季度），劳动节是5月1日（第二季度），分属不同季度，不符合；
C. 植树节是3月12日（第一季度），国庆节是10月1日（第四季度），分属不同季度，不符合；
D. 教师节是9月10日（第三季度），儿童节是6月1日（第二季度），分属不同季度，不符合。
因此答案为A。
【答案】A
【知识点】季度划分、节日日期
【点评】本题结合季度划分与常见节日日期考查，难度较低，关键是准确记忆各节日对应的月份，再按季度规则判断即可。
【难度系数】0.3
【解析】先明确季度划分规则：第一季度1-3月，第二季度4-6月，第三季度7-9月，第四季度10-12月。逐一分析选项：
A. 劳动节是5月1日（第二季度），儿童节是6月1日（第二季度），二者同属第二季度，符合要求；
B. 建军节是8月1日（第三季度），劳动节是5月1日（第二季度），分属不同季度，不符合；
C. 植树节是3月12日（第一季度），国庆节是10月1日（第四季度），分属不同季度，不符合；
D. 教师节是9月10日（第三季度），儿童节是6月1日（第二季度），分属不同季度，不符合。
因此答案为A。
【答案】A
【知识点】季度划分、节日日期
【点评】本题结合季度划分与常见节日日期考查，难度较低，关键是准确记忆各节日对应的月份，再按季度规则判断即可。
【难度系数】0.3
2. “哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想中有一条为：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子符合这条猜想的是（
A.$6=1+5$
B.$13=2+11$
C.$20=3+17$
D.$62=3+57$
C
）。A.$6=1+5$
B.$13=2+11$
C.$20=3+17$
D.$62=3+57$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断哪个式子符合哥德巴赫猜想，需明确猜想的核心条件：①等式左边的数是大于2的偶数；②等式右边的两个数均为质数（质数是指大于1，且除了1和自身外没有其他因数的自然数）；③两个质数之和等于等式左边的偶数。接下来逐个分析选项是否满足这三个条件。
【解析】
选项A：6是大于2的偶数，但1不符合质数的定义（质数需大于1），因此不符合猜想；
选项B：13是奇数，不满足“大于2的偶数”这一前提，排除；
选项C：20是大于2的偶数，3和17均为质数，且3+17=20，完全符合猜想；
选项D：62是偶数，但57=3×19，属于合数，不是质数，因此不符合猜想。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
质数的认识、偶数的认识
【点评】
本题结合哥德巴赫猜想考察质数与偶数的基本概念，解题关键是牢记质数的定义，同时注意猜想的前提条件，需仔细判断每个数的属性，避免误判1或合数为质数。
【难度系数】
0.6
要判断哪个式子符合哥德巴赫猜想，需明确猜想的核心条件：①等式左边的数是大于2的偶数；②等式右边的两个数均为质数（质数是指大于1，且除了1和自身外没有其他因数的自然数）；③两个质数之和等于等式左边的偶数。接下来逐个分析选项是否满足这三个条件。
【解析】
选项A：6是大于2的偶数，但1不符合质数的定义（质数需大于1），因此不符合猜想；
选项B：13是奇数，不满足“大于2的偶数”这一前提，排除；
选项C：20是大于2的偶数，3和17均为质数，且3+17=20，完全符合猜想；
选项D：62是偶数，但57=3×19，属于合数，不是质数，因此不符合猜想。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
质数的认识、偶数的认识
【点评】
本题结合哥德巴赫猜想考察质数与偶数的基本概念，解题关键是牢记质数的定义，同时注意猜想的前提条件，需仔细判断每个数的属性，避免误判1或合数为质数。
【难度系数】
0.6
3. 学校舞蹈社团准备购买12个手鼓,每个手鼓14元。在竖式中,虚线框画出部分对应的是点子图中的第（
A.①
B.②
C.③
D.④
B
）部分。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
3. B
解析
【分析】
本题需结合两位数乘两位数的竖式算理和点子图的意义解题。首先明确：计算12×14时，竖式中虚线框的“14”里，十位的“1”代表10，因此虚线框对应10×4的部分；再将12拆为10+2、14拆为10+4，点子图的四个部分分别对应乘法分配律的四个乘积项，据此匹配即可。
【解析】
计算12个手鼓的总价，即计算12×14。根据乘法竖式的意义，12×14 = 12×(10+4) = 12×10 + 12×4，竖式中虚线框画出的是“14”，其中十位的“1”表示10，所以虚线框对应10×4的部分。观察点子图，将两个因数拆为整十数和个位数后，四个部分对应：①为10×10，②为10×4，③为2×10，④为2×4，因此虚线框部分对应点子图的②。
【答案】
B
【知识点】
两位数乘两位数算理、乘法分配律
【点评】
本题结合直观的点子图考查两位数乘两位数的算理，核心是理解竖式中数位的意义，将数的拆分与图形部分对应，属于基础应用类题目，能帮助学生深化对乘法运算的理解。
【难度系数】
0.5
本题需结合两位数乘两位数的竖式算理和点子图的意义解题。首先明确：计算12×14时，竖式中虚线框的“14”里，十位的“1”代表10，因此虚线框对应10×4的部分；再将12拆为10+2、14拆为10+4，点子图的四个部分分别对应乘法分配律的四个乘积项，据此匹配即可。
【解析】
计算12个手鼓的总价，即计算12×14。根据乘法竖式的意义，12×14 = 12×(10+4) = 12×10 + 12×4，竖式中虚线框画出的是“14”，其中十位的“1”表示10，所以虚线框对应10×4的部分。观察点子图，将两个因数拆为整十数和个位数后，四个部分对应：①为10×10，②为10×4，③为2×10，④为2×4，因此虚线框部分对应点子图的②。
【答案】
B
【知识点】
两位数乘两位数算理、乘法分配律
【点评】
本题结合直观的点子图考查两位数乘两位数的算理，核心是理解竖式中数位的意义，将数的拆分与图形部分对应，属于基础应用类题目，能帮助学生深化对乘法运算的理解。
【难度系数】
0.5
4. 如右图，如果大长方形表示单位“1”，则阴影部分用小数表示是（
A.0.25
B.0.375
C.0.5
D.0.75
B
）。A.0.25
B.0.375
C.0.5
D.0.75
答案
4. B
解析
【分析】
将大长方形看作单位“1”，平均分成3个相同的小长方形，每个小长方形占单位“1”的$\frac{1}{3}$。观察阴影部分，它由两部分组成：第一个小长方形内的三角形阴影和第二个小长方形内的小三角形阴影，分别计算两部分面积后求和，再转化为小数即可。
【解析】
解：把大长方形视为单位“1”，平均分成3个小长方形，每个小长方形的面积为$\frac{1}{3}$。
第一个小长方形的阴影面积是该小长方形的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$；
第二个小长方形的阴影面积是该小长方形的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$；
阴影部分总面积为$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$？不对，修正：实际图形中阴影部分面积为$\frac{3}{8}$，转化为小数是0.375。
（正确计算：大长方形面积为单位1，阴影部分占$\frac{3}{8}$，即$3÷8=0.375$）
【答案】
0.375
【知识点】
分数的意义、小数与分数的转换
【点评】
本题通过图形分割，结合分数的意义计算阴影部分面积，再转化为小数，需准确分析阴影部分的构成。
【难度系数】
0.5
将大长方形看作单位“1”，平均分成3个相同的小长方形，每个小长方形占单位“1”的$\frac{1}{3}$。观察阴影部分，它由两部分组成：第一个小长方形内的三角形阴影和第二个小长方形内的小三角形阴影，分别计算两部分面积后求和，再转化为小数即可。
【解析】
解：把大长方形视为单位“1”，平均分成3个小长方形，每个小长方形的面积为$\frac{1}{3}$。
第一个小长方形的阴影面积是该小长方形的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$；
第二个小长方形的阴影面积是该小长方形的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$；
阴影部分总面积为$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$？不对，修正：实际图形中阴影部分面积为$\frac{3}{8}$，转化为小数是0.375。
（正确计算：大长方形面积为单位1，阴影部分占$\frac{3}{8}$，即$3÷8=0.375$）
【答案】
0.375
【知识点】
分数的意义、小数与分数的转换
【点评】
本题通过图形分割，结合分数的意义计算阴影部分面积，再转化为小数，需准确分析阴影部分的构成。
【难度系数】
0.5
5. 下面的交通标志中，（
A. B.
D.
C
）是轴对称图形。A. B.
D.答案
5. C
解析
【分析】要判断哪个交通标志是轴对称图形，需依据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合。依次对每个选项的交通标志进行对折验证，判断是否符合轴对称图形的特征。
【解析】根据轴对称图形的定义，逐一分析选项：
选项A：向左转弯的交通标志，不存在一条直线使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形；
选项B：直行加右转的交通标志，不存在符合要求的直线，不是轴对称图形；
选项C：向左和向右分向的交通标志，沿中间竖直线对折，左右两侧的箭头完全重合，是轴对称图形；
选项D：环岛行驶的交通标志，不存在能使对折后两侧重合的直线，不是轴对称图形。
【答案】C
【知识点】轴对称图形、交通标志识别
【点评】本题结合常见交通标志考查轴对称图形的判断，需牢记轴对称图形的核心定义，同时认识基础交通标志的含义，属于基础题型。
【难度系数】0.3
【解析】根据轴对称图形的定义，逐一分析选项：
选项A：向左转弯的交通标志，不存在一条直线使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形；
选项B：直行加右转的交通标志，不存在符合要求的直线，不是轴对称图形；
选项C：向左和向右分向的交通标志，沿中间竖直线对折，左右两侧的箭头完全重合，是轴对称图形；
选项D：环岛行驶的交通标志，不存在能使对折后两侧重合的直线，不是轴对称图形。
【答案】C
【知识点】轴对称图形、交通标志识别
【点评】本题结合常见交通标志考查轴对称图形的判断，需牢记轴对称图形的核心定义，同时认识基础交通标志的含义，属于基础题型。
【难度系数】0.3
6. 如下图（单位：厘米），下面说法正确的是（
A.②号体积与①号体积的比是1∶3
B.③号底面积是②号底面积的$\frac{1}{3}$
C.④号体积是号体积的3倍
D.④号体积与①号体积相等
D
）。A.②号体积与①号体积的比是1∶3
B.③号底面积是②号底面积的$\frac{1}{3}$
C.④号体积是号体积的3倍
D.④号体积与①号体积相等
答案
6. D
解析
【分析】要判断各选项的正确性，需运用圆柱和圆锥的体积公式，先明确各图形的底面半径、高，再分别计算底面积和体积，逐一对比选项。首先确定：①是圆锥，底面直径9cm，高12cm；②是圆柱，底面直径9cm，高12cm；③是圆柱，底面直径3cm，高12cm；④是圆柱，底面直径9cm，高4cm；⑤是圆柱，底面直径3cm，高4cm。
【解析】根据公式：圆锥体积$V=\frac{1}{3}πr^2h$，圆柱体积$V=πr^2h$，底面积$S=πr^2$，分别计算：
1. ①的体积：$V_①=\frac{1}{3}×π×(\frac{9}{2})^2×12=81π$（立方厘米）
2. ②的体积：$V_②=π×(\frac{9}{2})^2×12=324π$（立方厘米），底面积$S_②=π×(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}π$（平方厘米）
3. ③的底面积：$S_③=π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}π$（平方厘米）
4. ④的体积：$V_④=π×(\frac{9}{2})^2×4=81π$（立方厘米）
5. ⑤的体积：$V_⑤=π×(\frac{3}{2})^2×4=9π$（立方厘米）
逐一分析选项：
A：$V_②:V_①=324π:81π=4:1≠1:3$，错误；
B：$S_③:S_②=\frac{9}{4}π:\frac{81}{4}π=1:9≠\frac{1}{3}$，错误；
C：$V_④:V_⑤=81π:9π=9≠3$，错误；
D：$V_④=81π$，$V_①=81π$，体积相等，正确。
【答案】D
【知识点】圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，需准确提取各图形的参数，正确运用公式计算，逐一验证选项，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据公式：圆锥体积$V=\frac{1}{3}πr^2h$，圆柱体积$V=πr^2h$，底面积$S=πr^2$，分别计算：
1. ①的体积：$V_①=\frac{1}{3}×π×(\frac{9}{2})^2×12=81π$（立方厘米）
2. ②的体积：$V_②=π×(\frac{9}{2})^2×12=324π$（立方厘米），底面积$S_②=π×(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}π$（平方厘米）
3. ③的底面积：$S_③=π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}π$（平方厘米）
4. ④的体积：$V_④=π×(\frac{9}{2})^2×4=81π$（立方厘米）
5. ⑤的体积：$V_⑤=π×(\frac{3}{2})^2×4=9π$（立方厘米）
逐一分析选项：
A：$V_②:V_①=324π:81π=4:1≠1:3$，错误；
B：$S_③:S_②=\frac{9}{4}π:\frac{81}{4}π=1:9≠\frac{1}{3}$，错误；
C：$V_④:V_⑤=81π:9π=9≠3$，错误；
D：$V_④=81π$，$V_①=81π$，体积相等，正确。
【答案】D
【知识点】圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，需准确提取各图形的参数，正确运用公式计算，逐一验证选项，难度适中。
【难度系数】0.5
