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六、解答题。(共30分)
1. 一种圆柱形的饮料罐,底面直径7厘米,高12厘米。将24罐这样的饮料放入一个长方体纸箱(如图)。
(1) 这个长方体纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米?(3分)
(2) 这个纸箱的容积至少是多少立方厘米?(3分)
(3) 做一个这样的纸箱,至少要用硬纸板多少平方厘米?(纸箱盖和箱底的重叠部分按2000平方厘米计算)(3分)
1. 一种圆柱形的饮料罐,底面直径7厘米,高12厘米。将24罐这样的饮料放入一个长方体纸箱(如图)。
(1) 这个长方体纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米?(3分)
(2) 这个纸箱的容积至少是多少立方厘米?(3分)
(3) 做一个这样的纸箱,至少要用硬纸板多少平方厘米?(纸箱盖和箱底的重叠部分按2000平方厘米计算)(3分)
答案
1.（1）长:$7×6=42$(厘米) 宽:$4×7=28$(厘
米) 高:12厘米 （2）$28×42×12=14112$(立方厘
米) （3）$42×28×2+42×12×2+28×12×2+2000=$
6032(平方厘米)
米) 高:12厘米 （2）$28×42×12=14112$(立方厘
米) （3）$42×28×2+42×12×2+28×12×2+2000=$
6032(平方厘米)
解析
【分析】
这是一道结合生活实际的长方体应用问题，首先我们先明确解题思路：首先观察24罐饮料的紧密摆放方式，从图中可知是按每行6罐、共4行排列，6×4刚好等于24，能让纸箱尺寸最小。第一问求纸箱长宽高：沿着长的方向并排摆6个饮料罐的底面直径，沿着宽的方向并排摆4个饮料罐的底面直径，饮料罐竖直放置，纸箱的高就等于饮料罐自身的高度。第二问求纸箱容积，直接套用长方体体积公式，用算出的长宽高相乘即可。第三问求硬纸板总面积，先算出长方体纸箱的完整表面积，再加上题目指定的箱盖箱底重叠部分的2000平方厘米，就能得到最终需要的硬纸板面积。
【解析】
(1) 确定纸箱的长宽高：
饮料罐底面直径为7厘米，沿长的方向摆放6罐：长 = 7×6 = 42（厘米）
沿宽的方向摆放4罐：宽 = 7×4 = 28（厘米）
饮料罐竖直放置，纸箱高等于饮料罐的高：高 = 12厘米
(2) 计算纸箱容积：
根据长方体容积公式V=长×宽×高，代入数值：
V = 42×28×12 = 14112（立方厘米）
(3) 计算所需硬纸板面积：
先计算长方体纸箱的表面积，公式为S表=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)：
S表 = 2×(42×28 + 42×12 + 28×12) = 2×(1176 + 504 + 336) = 4032（平方厘米）
加上重叠部分的2000平方厘米：
总硬纸板面积 = 4032 + 2000 = 6032（平方厘米）
【答案】
(1) 长至少是42厘米，宽至少是28厘米，高至少是12厘米；(2) 纸箱的容积至少是14112立方厘米；(3) 至少要用硬纸板6032平方厘米
【知识点】
长方体体积，长方体表面积，实际包装排列
【点评】
本题是生活中的包装优化应用题，核心是先通过总罐数确定紧密排列的行列数，再推导纸箱的最小长宽高，考察了长方体体积和表面积的实际应用，需要注意第三问不要遗漏题目给出的重叠部分面积，避免计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活实际的长方体应用问题，首先我们先明确解题思路：首先观察24罐饮料的紧密摆放方式，从图中可知是按每行6罐、共4行排列，6×4刚好等于24，能让纸箱尺寸最小。第一问求纸箱长宽高：沿着长的方向并排摆6个饮料罐的底面直径，沿着宽的方向并排摆4个饮料罐的底面直径，饮料罐竖直放置，纸箱的高就等于饮料罐自身的高度。第二问求纸箱容积，直接套用长方体体积公式，用算出的长宽高相乘即可。第三问求硬纸板总面积，先算出长方体纸箱的完整表面积，再加上题目指定的箱盖箱底重叠部分的2000平方厘米，就能得到最终需要的硬纸板面积。
【解析】
(1) 确定纸箱的长宽高：
饮料罐底面直径为7厘米，沿长的方向摆放6罐：长 = 7×6 = 42（厘米）
沿宽的方向摆放4罐：宽 = 7×4 = 28（厘米）
饮料罐竖直放置，纸箱高等于饮料罐的高：高 = 12厘米
(2) 计算纸箱容积：
根据长方体容积公式V=长×宽×高，代入数值：
V = 42×28×12 = 14112（立方厘米）
(3) 计算所需硬纸板面积：
先计算长方体纸箱的表面积，公式为S表=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)：
S表 = 2×(42×28 + 42×12 + 28×12) = 2×(1176 + 504 + 336) = 4032（平方厘米）
加上重叠部分的2000平方厘米：
总硬纸板面积 = 4032 + 2000 = 6032（平方厘米）
【答案】
(1) 长至少是42厘米，宽至少是28厘米，高至少是12厘米；(2) 纸箱的容积至少是14112立方厘米；(3) 至少要用硬纸板6032平方厘米
【知识点】
长方体体积，长方体表面积，实际包装排列
【点评】
本题是生活中的包装优化应用题，核心是先通过总罐数确定紧密排列的行列数，再推导纸箱的最小长宽高，考察了长方体体积和表面积的实际应用，需要注意第三问不要遗漏题目给出的重叠部分面积，避免计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
2. 午餐时间到了,科技餐厅的套餐收费如图所示,师生一共49人,一共消费475元,选A套餐的有多少人?(5分)
答案
2. 设选A套餐的有$x$人,则选B套
餐的有$(49-x)$人。 $8.5x+10(49-x)=475$ $x=$
10
餐的有$(49-x)$人。 $8.5x+10(49-x)=475$ $x=$
10
解析
【分析】
这是典型的鸡兔同笼类实际应用题，我们可以用一元一次方程的思路解题：第一步先设选A套餐的人数为未知数x，根据总人数是49人，就能表示出选B套餐的人数为(49-x)人；第二步根据“A套餐总消费+B套餐总消费=总消费475元”的等量关系列出方程；第三步解这个一元一次方程就能得到选A套餐的人数，也可以用假设法验证结果。
【解析】
解：设选A套餐的有$x$人，则选B套餐的人数为$(49-x)$人。
根据总消费的等量关系列方程：
$8.5x + 10×(49-x) = 475$
展开并整理方程：
$8.5x + 490 -10x = 475$
$-1.5x = 475 - 490$
$-1.5x = -15$
两边同时除以$-1.5$得：
$x=10$
答：选A套餐的有10人。
【答案】10人
【知识点】一元一次方程应用，鸡兔同笼问题
【点评】本题是基础的实际应用题型，核心是找准总人数、总消费两个等量关系，通过设未知数建立方程即可求解，也可以用假设法快速算出结果，适合巩固一元一次方程的实际应用能力。
【难度系数】0.7
这是典型的鸡兔同笼类实际应用题，我们可以用一元一次方程的思路解题：第一步先设选A套餐的人数为未知数x，根据总人数是49人，就能表示出选B套餐的人数为(49-x)人；第二步根据“A套餐总消费+B套餐总消费=总消费475元”的等量关系列出方程；第三步解这个一元一次方程就能得到选A套餐的人数，也可以用假设法验证结果。
【解析】
解：设选A套餐的有$x$人，则选B套餐的人数为$(49-x)$人。
根据总消费的等量关系列方程：
$8.5x + 10×(49-x) = 475$
展开并整理方程：
$8.5x + 490 -10x = 475$
$-1.5x = 475 - 490$
$-1.5x = -15$
两边同时除以$-1.5$得：
$x=10$
答：选A套餐的有10人。
【答案】10人
【知识点】一元一次方程应用，鸡兔同笼问题
【点评】本题是基础的实际应用题型，核心是找准总人数、总消费两个等量关系，通过设未知数建立方程即可求解，也可以用假设法快速算出结果，适合巩固一元一次方程的实际应用能力。
【难度系数】0.7
3. 马山粮库要往外地调运一批粮食,已经运走了$\frac{3}{5}$,还剩48吨。这批粮食一共有多少吨?(5分)
答案
3. $48÷(1-\frac{3}{5})=120$(吨)
解析
【分析】
这是典型的分数除法应用题，解题时首先要找准单位“1”：我们把这批粮食的总吨数看作单位“1”，也就是题目要求的未知总量。已知已经运走了总吨数的$\frac{3}{5}$，那么剩余粮食对应的分率就是整体1减去运走的占比，即$1-\frac{3}{5}$。已知剩余粮食的具体重量是48吨，也就是已知单位“1”的几分之几对应的具体数值，求单位“1”的总量，直接用对应部分量除以它的对应分率就可以算出最终结果。
【解析】
解：
1. 计算剩余粮食占总吨数的分率：
将这批粮食总吨数看作单位“1”，剩余粮食的占比为：
$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
2. 已知剩余粮食为48吨，对应总吨数的$\frac{2}{5}$，求总吨数用除法计算：
总吨数 = 剩余吨数 ÷ 剩余部分对应分率
代入数值计算得：$48÷\frac{2}{5}=48×\frac{5}{2}=120$（吨）
列综合算式为：$48÷(1-\frac{3}{5})=120$（吨）
【答案】
120吨
【知识点】
分数除法应用，单位“1”判定，量率对应
【点评】
本题是分数除法的基础题型，核心考点是量率对应关系，既可以用算术法直接计算，也可以通过设总吨数为x，列方程$x-\frac{3}{5}x=48$求解，两种方法可以互相验证，要注意避免出现用48直接乘$\frac{3}{5}$的逻辑错误，明确已知部分量求整体时用除法的规则。
【难度系数】
0.8
这是典型的分数除法应用题，解题时首先要找准单位“1”：我们把这批粮食的总吨数看作单位“1”，也就是题目要求的未知总量。已知已经运走了总吨数的$\frac{3}{5}$，那么剩余粮食对应的分率就是整体1减去运走的占比，即$1-\frac{3}{5}$。已知剩余粮食的具体重量是48吨，也就是已知单位“1”的几分之几对应的具体数值，求单位“1”的总量，直接用对应部分量除以它的对应分率就可以算出最终结果。
【解析】
解：
1. 计算剩余粮食占总吨数的分率：
将这批粮食总吨数看作单位“1”，剩余粮食的占比为：
$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
2. 已知剩余粮食为48吨，对应总吨数的$\frac{2}{5}$，求总吨数用除法计算：
总吨数 = 剩余吨数 ÷ 剩余部分对应分率
代入数值计算得：$48÷\frac{2}{5}=48×\frac{5}{2}=120$（吨）
列综合算式为：$48÷(1-\frac{3}{5})=120$（吨）
【答案】
120吨
【知识点】
分数除法应用，单位“1”判定，量率对应
【点评】
本题是分数除法的基础题型，核心考点是量率对应关系，既可以用算术法直接计算，也可以通过设总吨数为x，列方程$x-\frac{3}{5}x=48$求解，两种方法可以互相验证，要注意避免出现用48直接乘$\frac{3}{5}$的逻辑错误，明确已知部分量求整体时用除法的规则。
【难度系数】
0.8
4. 下面的图像表示某地地图上的图上距离和实际距离的关系。
(1) 图上距离和和实际距离成(
(2) 在这幅地图上,量得中心公园到市博物馆的距离是8厘米,明明一家驾车从中心公园到市博物馆,如果平均每小时行40千米,那么需要多少小时?(3分)
(1) 图上距离和和实际距离成(
正
)比例。这幅地图的比例尺是($1:300000$
)。(2分)(2) 在这幅地图上,量得中心公园到市博物馆的距离是8厘米,明明一家驾车从中心公园到市博物馆,如果平均每小时行40千米,那么需要多少小时?(3分)
答案
4.（1）正 $1:$
300000 （2）$8÷\frac{1}{300000}=2400000$(厘米) 2400000厘
米=24千米 $24÷40=0.6$(时)
300000 （2）$8÷\frac{1}{300000}=2400000$(厘米) 2400000厘
米=24千米 $24÷40=0.6$(时)
解析
【分析】
首先解决第一问：先回忆正比例的判定规则，两个相关联的量，比值固定不变就成正比例，观察图像是过原点的直线，说明图上距离和实际距离的比值始终相等，因此可以直接判断比例类型。接下来求比例尺，比例尺的定义是图上距离比实际距离，从图像中选取一组对应数值，比如图上1cm对应实际3km，统一单位后就能算出比例尺。第二问的解题思路很清晰：先根据已知的图上距离和比例尺算出两地的实际距离，把实际距离的单位转换成千米后，再利用行程问题的公式“时间=路程÷速度”，代入车速40千米/小时就能算出所需时间。
【解析】
(1) 图上距离和实际距离是相关联的量，图上距离随实际距离增大而增大，且二者的比值始终保持固定，符合正比例的特征，因此成正比例。
从图像可得：图上距离1cm对应实际距离3km，单位换算：3km = 300000cm，
比例尺 = 图上距离:实际距离 = 1cm:300000cm = 1:300000。
(2) 第一步计算实际距离：
实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 = $8÷\frac{1}{300000}=2400000$ 厘米
单位转换：2400000厘米 = 24千米
第二步计算行驶时间：
时间 = 路程 ÷ 速度 = $24÷40=0.6$ 小时
【答案】
(1) 正；$1:300000$ (2) 0.6小时
【知识点】
正比例判定，比例尺计算，基础行程问题
【点评】
本题结合图像综合考察正比例、比例尺和行程问题的基础知识点，整体难度不高，解题的易错点是厘米和千米的单位换算，需要牢记1千米=100000厘米，避免单位转换出错。
【难度系数】
0.7
首先解决第一问：先回忆正比例的判定规则，两个相关联的量，比值固定不变就成正比例，观察图像是过原点的直线，说明图上距离和实际距离的比值始终相等，因此可以直接判断比例类型。接下来求比例尺，比例尺的定义是图上距离比实际距离，从图像中选取一组对应数值，比如图上1cm对应实际3km，统一单位后就能算出比例尺。第二问的解题思路很清晰：先根据已知的图上距离和比例尺算出两地的实际距离，把实际距离的单位转换成千米后，再利用行程问题的公式“时间=路程÷速度”，代入车速40千米/小时就能算出所需时间。
【解析】
(1) 图上距离和实际距离是相关联的量，图上距离随实际距离增大而增大，且二者的比值始终保持固定，符合正比例的特征，因此成正比例。
从图像可得：图上距离1cm对应实际距离3km，单位换算：3km = 300000cm，
比例尺 = 图上距离:实际距离 = 1cm:300000cm = 1:300000。
(2) 第一步计算实际距离：
实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 = $8÷\frac{1}{300000}=2400000$ 厘米
单位转换：2400000厘米 = 24千米
第二步计算行驶时间：
时间 = 路程 ÷ 速度 = $24÷40=0.6$ 小时
【答案】
(1) 正；$1:300000$ (2) 0.6小时
【知识点】
正比例判定，比例尺计算，基础行程问题
【点评】
本题结合图像综合考察正比例、比例尺和行程问题的基础知识点，整体难度不高，解题的易错点是厘米和千米的单位换算，需要牢记1千米=100000厘米，避免单位转换出错。
【难度系数】
0.7
5. 联合国规定每年的6月5日是“世界环境日”,实验小学课外活动小组对全校师生开展了以“爱护环境,从我做起”为主题的问卷调查活动,对垃圾的处理有这样四类情况(如下表)。调查结果分析整理后,制成了如下两个统计图:
(1) 计算并完成上面的两个统计图。(3分)
(2) 如果共有师生2300人,那么随手乱扔垃圾的约有多少人?(3分)
(1) 计算并完成上面的两个统计图。(3分)
(2) 如果共有师生2300人,那么随手乱扔垃圾的约有多少人?(3分)
答案
(1) 补全统计图计算过程：
解：首先计算调查总人数：
$150÷50\%=300$（人）
B类占比：$30÷300×100\%=10\%$
D类占比：$30÷300×100\%=10\%$
C类占比：$1-50\%-10\%-10\%=30\%$
C类人数：$300×30\%=90$（人）
补全结果：
- 条形统计图：C类对应人数画到90人的刻度处；
- 扇形统计图：C括号填$\boxed{30}$，D旁边的括号填$\boxed{10}$，B占比为10%。
(2) 计算随手乱扔垃圾的人数：
解：随手乱扔垃圾为D类，占比10%
$2300×10\%=230$（人）
答：随手乱扔垃圾的约有230人。
解：首先计算调查总人数：
$150÷50\%=300$（人）
B类占比：$30÷300×100\%=10\%$
D类占比：$30÷300×100\%=10\%$
C类占比：$1-50\%-10\%-10\%=30\%$
C类人数：$300×30\%=90$（人）
补全结果：
- 条形统计图：C类对应人数画到90人的刻度处；
- 扇形统计图：C括号填$\boxed{30}$，D旁边的括号填$\boxed{10}$，B占比为10%。
(2) 计算随手乱扔垃圾的人数：
解：随手乱扔垃圾为D类，占比10%
$2300×10\%=230$（人）
答：随手乱扔垃圾的约有230人。
解析
【分析】
这是一道条形统计图和扇形统计图结合的统计计算题，解题的核心突破口是找到两个统计图共有的已知条件：A类人数为150人，对应扇形图的占比为50%。首先通过部分量除以对应占比，求出本次调查的总人数；之后用B、D的人数分别除以总人数，算出两类的占比；再用整体1减去A、B、D三类的占比，得到C类的占比，最后用总人数乘C类占比得到C类的人数，即可补全两个统计图。第二问直接用全校师生总人数乘随手乱扔垃圾的D类对应的占比，就能算出对应人数。
【解析】
(1) 补全统计图计算过程：
① 计算调查总人数：已知A类人数150，占总调查人数的50%，可得总人数为：
$150÷50\%=300$（人）
② 计算B类占比：B类人数为30，可得占比为：
$30÷300×100\%=10\%$
③ 计算D类占比：D类人数为30，可得占比为：
$30÷300×100\%=10\%$
④ 计算C类占比：所有类别占比之和为1，可得C类占比为：
$1-50\%-10\%-10\%=30\%$
⑤ 计算C类人数：
$300×30\%=90$（人）
补全结果：条形统计图中C类对应高度画到纵轴90人的刻度处；扇形统计图中C位置括号填30，D旁的括号填10。
(2) 计算随手乱扔垃圾的人数：
随手乱扔垃圾对应D类，占比为10%，全校共2300名师生，因此对应人数为：
$2300×10\%=230$（人）
答：随手乱扔垃圾的约有230人。
【答案】
(1) 总调查人数为300人，C类人数为90人，扇形统计图中C占比30%，D占比10%，补全后条形统计图C类对应90人高度，扇形图对应位置填入30、10；(2) 随手乱扔垃圾的约有230人。
【知识点】
扇形统计图，条形统计图，百分数应用
【点评】
本题属于统计模块的常规综合题，考察学生对两类统计图表数据含义的理解，核心是利用双图的公共已知量求出总样本数，再推导其余未知量，题型基础步骤清晰，能够有效巩固学生对统计图表关联计算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
这是一道条形统计图和扇形统计图结合的统计计算题，解题的核心突破口是找到两个统计图共有的已知条件：A类人数为150人，对应扇形图的占比为50%。首先通过部分量除以对应占比，求出本次调查的总人数；之后用B、D的人数分别除以总人数，算出两类的占比；再用整体1减去A、B、D三类的占比，得到C类的占比，最后用总人数乘C类占比得到C类的人数，即可补全两个统计图。第二问直接用全校师生总人数乘随手乱扔垃圾的D类对应的占比，就能算出对应人数。
【解析】
(1) 补全统计图计算过程：
① 计算调查总人数：已知A类人数150，占总调查人数的50%，可得总人数为：
$150÷50\%=300$（人）
② 计算B类占比：B类人数为30，可得占比为：
$30÷300×100\%=10\%$
③ 计算D类占比：D类人数为30，可得占比为：
$30÷300×100\%=10\%$
④ 计算C类占比：所有类别占比之和为1，可得C类占比为：
$1-50\%-10\%-10\%=30\%$
⑤ 计算C类人数：
$300×30\%=90$（人）
补全结果：条形统计图中C类对应高度画到纵轴90人的刻度处；扇形统计图中C位置括号填30，D旁的括号填10。
(2) 计算随手乱扔垃圾的人数：
随手乱扔垃圾对应D类，占比为10%，全校共2300名师生，因此对应人数为：
$2300×10\%=230$（人）
答：随手乱扔垃圾的约有230人。
【答案】
(1) 总调查人数为300人，C类人数为90人，扇形统计图中C占比30%，D占比10%，补全后条形统计图C类对应90人高度，扇形图对应位置填入30、10；(2) 随手乱扔垃圾的约有230人。
【知识点】
扇形统计图，条形统计图，百分数应用
【点评】
本题属于统计模块的常规综合题，考察学生对两类统计图表数据含义的理解，核心是利用双图的公共已知量求出总样本数，再推导其余未知量，题型基础步骤清晰，能够有效巩固学生对统计图表关联计算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
