20. 如图，DE是$△ ABC$的中位线，点M为射线ED上的一个动点(不与点E重合)，作$MF// AC$交AB边于点F，连结EF.
(1) 如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形CEFM是平行四边形.
(2) 如图2，$∠ B＝45°$，$BC＝4$，点M在线段ED上运动，当四边形CEFM是菱形时，$BF＝2AF$，求菱形CEFM的面积.

20. (1) 如图1,$\because DE$是中位线,$\therefore AF// ED,AE=EC$,$\because MF// AC$,$\therefore$四边形MFAE是平行四边形,$\therefore AE=MF=EC$,$\therefore$四边形CEFM是平行四边形.
(2) 如右图,连结CF,$\because$四边形CEFM是菱形,$\therefore CF⊥ DE$,
$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BFC$是等腰直角三角形,
$\because BC=4$,$\therefore BF=FC=2\sqrt{2}$,$\because BF=2AF$,$\therefore AF=\sqrt{2}$
易证四边形FAEM是平行四边形,$\therefore ME=\sqrt{2}$,
$\therefore$菱形CEFM的面积为$\dfrac{\sqrt{2} × 2\sqrt{2}}{2}=2$.

【分析】
(1) 要证四边形CEFM是平行四边形，已知MF//AC，只需证MF=EC即可。首先利用三角形中位线性质可得DE//AB、AE=EC，结合MF//AC可判定四边形MFAE是平行四边形，得到MF=AE，等量代换得MF=EC，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可完成证明。
(2) 求菱形CEFM的面积，先连接对角线CF，根据菱形对角线互相垂直的性质得CF⊥DE，再结合中位线DE//AB推出CF⊥AB，结合∠B=45°可判定△BFC是等腰直角三角形，由BC=4求出BF、CF的长，再根据BF=2AF求出AF的长，接着证明四边形FAEM是平行四边形得到ME的长度，最后利用菱形面积等于对角线乘积的一半计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，E是AC中点，即AE=EC，
当点M与点D重合时，
∵MF//AC，
∴四边形MFAE两组对边分别平行，是平行四边形，
∴MF=AE，
∴MF=EC，
又
∵MF//EC，
∴四边形CEFM是平行四边形。
(2) 解：连接CF，
∵四边形CEFM是菱形，
∴CF⊥DE，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴CF⊥AB，
在△BFC中，∠BFC=90°，∠B=45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，BF=CF，
由勾股定理得$BF^2+CF^2=BC^2$，
∵BC=4，
∴$2BF^2=16$，解得$BF=CF=2\sqrt{2}$，
∵BF=2AF，
∴$AF=\sqrt{2}$，
∵MF//AC，EM//AB，
∴四边形FAEM是平行四边形，
∴$ME=AF=\sqrt{2}$，
∴菱形CEFM的面积为$\frac{1}{2}×ME×CF=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，第一问侧重基础判定的考查，第二问需要结合特殊直角三角形的性质、平行四边形的判定以及菱形的面积公式求解，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6