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18. 图1是一个长为$2a$,宽为$2b(a＞b)$的矩形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四个形状和大小完全相同的小矩形,然后按图2那样拼成一个正方形,求中间阴影部分的面积. 
答案
18. 根据题意,得拼成的正方形的面积减去原长方形的面积,即为中间阴影部分的面积,则$(a+b)^2-2a·2b=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可通过两种思路求解：一是用割补法，先求出拼接后大正方形的面积，再减去4个小矩形的总面积，即可得到阴影部分的面积；二是直接观察阴影部分的形状，先确定其边长再计算面积。首先分析各图形边长：原长2a、宽2b的矩形被分成4个完全相同的小矩形，可得每个小矩形的长为a、宽为b；拼接后大正方形的边长为小矩形的长与宽之和a+b，阴影小正方形的边长为小矩形的长与宽之差a-b，两种思路都可推导出阴影面积。
【解析】
方法1（割补法）：
拼接后大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
4个小矩形的总面积等于原矩形的面积，即$2a·2b=4ab$。
阴影部分面积=大正方形面积-4个小矩形的总面积，代入计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2-4ab\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=a^2-2ab+b^2\\&=(a-b)^2\end{aligned}$
方法2（直接求面积）：
观察可得阴影部分是正方形，边长为小矩形的长与宽的差$a-b$，因此阴影面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=(a-b)^2$
【答案】
$\boxed{(a-b)^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 割补法求面积
3. 矩形与正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将几何图形拼接和整式运算相结合，既考查了对图形边长、面积关系的分析能力，也考查了完全平方公式的运算能力，解题的关键是准确找到各图形之间的边长关联。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可通过两种思路求解：一是用割补法，先求出拼接后大正方形的面积，再减去4个小矩形的总面积，即可得到阴影部分的面积；二是直接观察阴影部分的形状，先确定其边长再计算面积。首先分析各图形边长：原长2a、宽2b的矩形被分成4个完全相同的小矩形，可得每个小矩形的长为a、宽为b；拼接后大正方形的边长为小矩形的长与宽之和a+b，阴影小正方形的边长为小矩形的长与宽之差a-b，两种思路都可推导出阴影面积。
【解析】
方法1（割补法）：
拼接后大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
4个小矩形的总面积等于原矩形的面积，即$2a·2b=4ab$。
阴影部分面积=大正方形面积-4个小矩形的总面积，代入计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2-4ab\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=a^2-2ab+b^2\\&=(a-b)^2\end{aligned}$
方法2（直接求面积）：
观察可得阴影部分是正方形，边长为小矩形的长与宽的差$a-b$，因此阴影面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=(a-b)^2$
【答案】
$\boxed{(a-b)^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 割补法求面积
3. 矩形与正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将几何图形拼接和整式运算相结合，既考查了对图形边长、面积关系的分析能力，也考查了完全平方公式的运算能力，解题的关键是准确找到各图形之间的边长关联。
【难度系数】
0.7
19. 某初中要调查全校学生(总数1000人)双休日的课外阅读情况,随机调查了一部分学生,调查得到的数据分别制成频数直方图(如图1所示)和扇形统计图(如图2所示).
(1) 请补全上述统计图(直接填在图中).
(2) 试确定这个样本的中位数和众数.
(3) 请估计该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数.
(1) 请补全上述统计图(直接填在图中).
(2) 试确定这个样本的中位数和众数.
(3) 请估计该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数.
答案
19. 解:(1) 总人数:$6÷12\%=50$(人),阅读3小时以上人数:$50-4-6-8-14-6=12$(人),阅读4小时以上人数的百分比为$14÷50=28\%$,阅读0小时人数的百分比为$4÷50=8\%$. 图如下所示：
(2) 中位数是3小时,众数是4小时. (3) $1000×(20÷50)=1000×40\%=400$(人).
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 补全统计图：首先找到两个统计图中都已知的量（1小时对应的频数6人，占比12%），先计算样本总人数，再根据总人数计算缺失的3小时的频数、0小时和4小时的占比，补全两个统计图。
2. 求中位数和众数：中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（偶数个数据取中间两个的平均数），先累加各时间段人数确定第25、26个数据所在的时间段即可得中位数；众数是出现次数最多的数，找频数最高的时间段即可。
3. 估计全校人数：先算出样本中课外阅读时间不少于4小时的人数占比，再用全校总人数乘这个占比，即可得到估计的人数。
【解析】
(1) 首先计算样本总人数：已知阅读1小时的有6人，对应扇形图占比12%，因此总人数为 $6÷12\%=50$（人）。
计算阅读3小时的人数：总人数减去其余时间段人数，即 $50-4-6-8-14-6=12$（人）。
计算各缺失占比：
阅读0小时的占比：$4÷50=8\%$；
阅读4小时的占比：$14÷50=28\%$。
即可补全两个统计图。
(2) 求中位数：样本共50个数据，将数据按阅读时长从小到大排列，中位数为第25、26个数据的平均数。
累加各时间段人数：0小时共4人，累计4人；1小时共6人，累计10人；2小时共8人，累计18人；3小时共12人，累计30人。因此第25、26个数据都落在“3小时”这一时间段，故中位数是3小时。
求众数：阅读4小时的人数最多，为14人，因此众数是4小时。
(3) 样本中课外阅读时间不少于4小时的人数为$14+6=20$人，占样本的比例为$20÷50=40\%$，因此估计全校1000人中符合条件的人数为$1000×40\%=400$人。
【答案】
(1) 总人数:$6÷12\%=50$(人),阅读3小时以上人数:$50-4-6-8-14-6=12$(人),阅读4小时以上人数的百分比为$14÷50=28\%$,阅读0小时人数的百分比为$4÷50=8\%$. 图如下所示：
(2) 中位数是3小时,众数是4小时。
(3) $1000×(20÷50)=1000×40\%=400$(人)。
【知识点】
统计图的应用，中位数与众数，用样本估计总体
【点评】
本题综合考查条形统计图、扇形统计图的识别与应用，以及统计相关核心概念，解题的关键是结合两种统计图的信息先求出样本总人数，再逐步推导其余未知量，兼顾了对计算能力和统计思想的考察，与生活实际结合紧密。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 补全统计图：首先找到两个统计图中都已知的量（1小时对应的频数6人，占比12%），先计算样本总人数，再根据总人数计算缺失的3小时的频数、0小时和4小时的占比，补全两个统计图。
2. 求中位数和众数：中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（偶数个数据取中间两个的平均数），先累加各时间段人数确定第25、26个数据所在的时间段即可得中位数；众数是出现次数最多的数，找频数最高的时间段即可。
3. 估计全校人数：先算出样本中课外阅读时间不少于4小时的人数占比，再用全校总人数乘这个占比，即可得到估计的人数。
【解析】
(1) 首先计算样本总人数：已知阅读1小时的有6人，对应扇形图占比12%，因此总人数为 $6÷12\%=50$（人）。
计算阅读3小时的人数：总人数减去其余时间段人数，即 $50-4-6-8-14-6=12$（人）。
计算各缺失占比：
阅读0小时的占比：$4÷50=8\%$；
阅读4小时的占比：$14÷50=28\%$。
即可补全两个统计图。
(2) 求中位数：样本共50个数据，将数据按阅读时长从小到大排列，中位数为第25、26个数据的平均数。
累加各时间段人数：0小时共4人，累计4人；1小时共6人，累计10人；2小时共8人，累计18人；3小时共12人，累计30人。因此第25、26个数据都落在“3小时”这一时间段，故中位数是3小时。
求众数：阅读4小时的人数最多，为14人，因此众数是4小时。
(3) 样本中课外阅读时间不少于4小时的人数为$14+6=20$人，占样本的比例为$20÷50=40\%$，因此估计全校1000人中符合条件的人数为$1000×40\%=400$人。
【答案】
(1) 总人数:$6÷12\%=50$(人),阅读3小时以上人数:$50-4-6-8-14-6=12$(人),阅读4小时以上人数的百分比为$14÷50=28\%$,阅读0小时人数的百分比为$4÷50=8\%$. 图如下所示：
(2) 中位数是3小时,众数是4小时。
(3) $1000×(20÷50)=1000×40\%=400$(人)。
【知识点】
统计图的应用，中位数与众数，用样本估计总体
【点评】
本题综合考查条形统计图、扇形统计图的识别与应用，以及统计相关核心概念，解题的关键是结合两种统计图的信息先求出样本总人数，再逐步推导其余未知量，兼顾了对计算能力和统计思想的考察，与生活实际结合紧密。
【难度系数】
0.7
