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16. 解方程：$x^2 - 2x - 2 = 0$
答案
16. 解:$x^2-2x=2,x^2-2x+1=3,(x-1)^2=3,x-1=\pm\sqrt{3}$,所以$x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解问题，观察方程可知二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法解题。解题思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步利用直接开平方法将二次方程降为一次方程，进而求出方程的解。
【解析】
解：移项，得$x^2-2x=2$，
配方，两边同时加1，得$x^2-2x+1=3$，
整理得$(x-1)^2=3$，
开平方得$x-1=\pm\sqrt{3}$，
解得$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题方法灵活，除配方法外也可使用公式法求解，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，同时配方法也是后续学习二次函数等代数知识的重要基础，需要熟练运用。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程求解问题，观察方程可知二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法解题。解题思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步利用直接开平方法将二次方程降为一次方程，进而求出方程的解。
【解析】
解：移项，得$x^2-2x=2$，
配方，两边同时加1，得$x^2-2x+1=3$，
整理得$(x-1)^2=3$，
开平方得$x-1=\pm\sqrt{3}$，
解得$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题方法灵活，除配方法外也可使用公式法求解，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，同时配方法也是后续学习二次函数等代数知识的重要基础，需要熟练运用。
【难度系数】
0.8
17. 若实数$a,b,c$满足$|a - \sqrt{2}| + \sqrt{b - 2} = \sqrt{c - 3} + \sqrt{3 - c}$.
（1）求$a,b,c$.
（2）若满足上式的$a,c$为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长.
（1）求$a,b,c$.
（2）若满足上式的$a,c$为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长.
答案
17. 解:(1) 由题意可得$c-3≥0,3-c≥0$,解得$c=3$,$\therefore |a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$,$\therefore a=\sqrt{2},b=2$. (2) 当a是腰长,c是底边长时,$\because \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＜3$,$\therefore$不能组成三角形,此种情况不存在;当c是腰长,a是底边长时,周长为$\sqrt{2}+3+3=\sqrt{2}+6$.综上,这个等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+6$.
解析
【分析】
（1）解题时先观察等式右侧的两个二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可列出关于c的不等式组，求解得到c的值；将c代入原等式后，左侧是绝对值与算术平方根的和，二者均为非负数，若两个非负数的和为0，则每一项都为0，据此可分别求出a和b的值。
（2）已知a、c为等腰三角形的两边长，未明确腰和底，因此要分两种情况讨论：①a为腰长，c为底边长；②c为腰长，a为底边长。每种情况都要先用三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，再对符合条件的情况计算周长。
【解析】
（1）要使$\sqrt{c-3}$和$\sqrt{3-c}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}c-3≥0 \\3-c≥0\end{cases}$
解得$c=3$，
将$c=3$代入原等式，得$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$，
∵$|a-\sqrt{2}|≥0$，$\sqrt{b-2}≥0$，
∴$a-\sqrt{2}=0$，$b-2=0$，
解得$a=\sqrt{2}$，$b=2$。
（2）分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①当$a=\sqrt{2}$为腰长，$c=3$为底边长时，三角形三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、$3$，
∵$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＜3$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴此种情况无法构成三角形，舍去；
②当$c=3$为腰长，$a=\sqrt{2}$为底边长时，三角形三边长为$3$、$3$、$\sqrt{2}$，
∵$3+3＞\sqrt{2}$，$3+\sqrt{2}＞3$，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为$3+3+\sqrt{2}=6+\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$a=\sqrt{2}$，$b=2$，$c=3$；
（2）这个等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+6$。
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 非负数的性质
3. 等腰三角形性质与三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时要注意挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，涉及等腰三角形边长的问题需主动分类讨论，同时必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.7
（1）解题时先观察等式右侧的两个二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可列出关于c的不等式组，求解得到c的值；将c代入原等式后，左侧是绝对值与算术平方根的和，二者均为非负数，若两个非负数的和为0，则每一项都为0，据此可分别求出a和b的值。
（2）已知a、c为等腰三角形的两边长，未明确腰和底，因此要分两种情况讨论：①a为腰长，c为底边长；②c为腰长，a为底边长。每种情况都要先用三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，再对符合条件的情况计算周长。
【解析】
（1）要使$\sqrt{c-3}$和$\sqrt{3-c}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}c-3≥0 \\3-c≥0\end{cases}$
解得$c=3$，
将$c=3$代入原等式，得$|a-\sqrt{2}|+\sqrt{b-2}=0$，
∵$|a-\sqrt{2}|≥0$，$\sqrt{b-2}≥0$，
∴$a-\sqrt{2}=0$，$b-2=0$，
解得$a=\sqrt{2}$，$b=2$。
（2）分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①当$a=\sqrt{2}$为腰长，$c=3$为底边长时，三角形三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、$3$，
∵$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＜3$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴此种情况无法构成三角形，舍去；
②当$c=3$为腰长，$a=\sqrt{2}$为底边长时，三角形三边长为$3$、$3$、$\sqrt{2}$，
∵$3+3＞\sqrt{2}$，$3+\sqrt{2}＞3$，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为$3+3+\sqrt{2}=6+\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$a=\sqrt{2}$，$b=2$，$c=3$；
（2）这个等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+6$。
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 非负数的性质
3. 等腰三角形性质与三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时要注意挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，涉及等腰三角形边长的问题需主动分类讨论，同时必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.7
