14. 如图,正方形ABCD的边长为2,点M是边CD上的一动点,连结BM交对角线AC于点G,作BM的中垂线EF交AC于点F,当EF=DM时,CM=.

14. $\dfrac{8-2\sqrt{7}}{3}$

【分析】
我们可以通过设未知数表示CM的长度，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题求解：先写出正方形各顶点坐标，求出BM的中点坐标及其中垂线的解析式，联立对角线AC的解析式得到交点F的坐标，再用两点间距离公式表示EF的长度，结合EF=DM的等量关系列方程，舍去不符合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设$CM=x$，则$DM=2-x$，由题意得$EF=DM=2-x$。
建立平面直角坐标系：令$B(0,0)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$，$A(0,2)$，则$M(2,x)$。
对角线$AC$的解析式为$y=-t+2$（$t$为横坐标），
$BM$的中点$E$坐标为$(1,\frac{x}{2})$，直线$BM$的斜率为$\frac{x}{2}$，故其中垂线$EF$的斜率为$-\frac{2}{x}$，
因此中垂线$EF$的解析式为：$y-\frac{x}{2}=-\frac{2}{x}(t-1)$。
联立$AC$与$EF$的解析式：
$\begin{cases}y=-t+2\\y-\frac{x}{2}=-\frac{2}{x}(t-1)\end{cases}$
解得$F$点坐标为$(\frac{2-x}{2},\frac{x+2}{2})$。
根据两点间距离公式：
$EF^2=(1-\frac{2-x}{2})^2+(\frac{x}{2}-\frac{x+2}{2})^2=(\frac{x}{2})^2+(-1)^2=\frac{x^2}{4}+1$
又$EF=2-x$，因此$\frac{x^2}{4}+1=(2-x)^2$，
整理得$3x^2-16x+12=0$，
解得$x=\frac{16\pm\sqrt{256-144}}{6}=\frac{8\pm2\sqrt{7}}{3}$。
因为$CM＜2$，$\frac{8+2\sqrt{7}}{3}＞2$不符合题意舍去，故$x=\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8-2\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，通过坐标系将几何中的位置关系转化为解析式求解，降低了思考难度，解题时需注意根据实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.3

15. 计算：$\sqrt{27} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{2} + \sqrt{(-4)^2}.$

15. 解:$\sqrt{27} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{2} + \sqrt{(-4)^2} =3\sqrt{3}-2\sqrt{3} +4=\sqrt{3} +4.$

【分析】
这是一道二次根式的混合运算题，解题时需遵循“先算开方、乘除，后算加减”的运算顺序。第一步先分别处理每一项：①将$\sqrt{27}$化为最简二次根式；②利用二次根式除法法则计算$\sqrt{24}÷\sqrt{2}$，再化简为最简形式；③根据二次根式的性质计算$\sqrt{(-4)^2}$；最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：先分别化简各项：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
$\sqrt{24}÷\sqrt{2}=\sqrt{24÷2}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\\&=\sqrt{3}+4\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+4$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是牢记二次根式的运算法则，严格遵守运算顺序，化简时要注意将二次根式化为最简形式，合并同类二次根式时避免计算错误。
【难度系数】
0.8