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9. 已知1和2是关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根，关于x的方程$a(x+1)^2+b(x+1)+c=0$的根为(
A.0和1.
B.1和2.
C.2和3.
D.0和3.
A
)A.0和1.
B.1和2.
C.2和3.
D.0和3.
答案
9. A
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义结合整体代换的思路求解。首先明确：若某个数是一元二次方程的根，代入方程后等式成立。观察待求方程的结构，发现可将(x+1)看作整体，将待求方程转化为和已知方程结构完全相同的形式，再利用已知方程的根求出新方程的根。
【解析】
设$ t = x + 1 $，则方程$ a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0 $可变形为：
$ at^2 + bt + c = 0 $
∵1和2是方程$ ax^2 + bx + c = 0 $的两根
∴方程$ at^2 + bt + c = 0 $的两根为$ t_1=1 $，$ t_2=2 $
将$ t = x + 1 $代回，得：
$ x + 1 = 1 $ 或 $ x + 1 = 2 $
分别解得：$ x_1=0 $，$ x_2=1 $
即方程$ a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0 $的根为0和1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的典型应用，不需要计算方程的系数，通过整体代换就能快速得出结果，体现了转化思想在解方程中的应用，是这类考点的基础考法。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根的定义结合整体代换的思路求解。首先明确：若某个数是一元二次方程的根，代入方程后等式成立。观察待求方程的结构，发现可将(x+1)看作整体，将待求方程转化为和已知方程结构完全相同的形式，再利用已知方程的根求出新方程的根。
【解析】
设$ t = x + 1 $，则方程$ a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0 $可变形为：
$ at^2 + bt + c = 0 $
∵1和2是方程$ ax^2 + bx + c = 0 $的两根
∴方程$ at^2 + bt + c = 0 $的两根为$ t_1=1 $，$ t_2=2 $
将$ t = x + 1 $代回，得：
$ x + 1 = 1 $ 或 $ x + 1 = 2 $
分别解得：$ x_1=0 $，$ x_2=1 $
即方程$ a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0 $的根为0和1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的典型应用，不需要计算方程的系数，通过整体代换就能快速得出结果，体现了转化思想在解方程中的应用，是这类考点的基础考法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，顺次连结$□ ABCD$各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件，可以使这个新的四边形成为矩形，那么满足这样条件的个数是(
①$AC⊥ BD$；②$C_{△ ABO}=C_{△ CBO}$；③$∠ DAO=∠ CBO$；④$∠ DAO=∠ BAO$.
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)①$AC⊥ BD$；②$C_{△ ABO}=C_{△ CBO}$；③$∠ DAO=∠ CBO$；④$∠ DAO=∠ BAO$.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. C
解析
【分析】
首先明确中点四边形的性质：根据三角形中位线定理，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，若要这个平行四边形为矩形，需要原四边形的对角线互相垂直（因为中点四边形的邻边分别平行于原四边形的两条对角线，对角线垂直则邻边垂直，平行四边形就成为矩形）。因此本题核心是判断四个条件中哪些能推出平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD，逐一分析每个条件即可。
【解析】
1. 先明确中点四边形的判定规则：
顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，当原四边形对角线互相垂直时，该中点四边形为矩形，因此只需判断条件是否能推出$AC⊥BD$。
2. 逐个分析条件：
① 条件$AC⊥BD$：直接满足原四边形对角线垂直，因此中点四边形为矩形，符合要求；
② 条件$C_{△ABO}=C_{△CBO}$：
在$□ABCD$中，对角线互相平分，故$AO=CO$，又$BO$为两个三角形的公共边，由周长相等可得$AB+AO+BO=BC+CO+BO$，化简得$AB=BC$。邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直，即$AC⊥BD$，符合要求；
③ 条件$∠DAO=∠CBO$：
在$□ABCD$中$AD//BC$，故$∠DAO=∠BCO$，结合已知得$∠BCO=∠CBO$，因此$OB=OC$，可得$AC=2OC=2OB=BD$，即平行四边形对角线相等，此时$□ABCD$是矩形，对角线不一定垂直，中点四边形为菱形，不符合要求；
④ 条件$∠DAO=∠BAO$：
即AC平分$∠BAD$，在$□ABCD$中$AB//CD$，故$∠BAO=∠DCO$，结合已知得$∠DAO=∠DCO$，因此$AD=CD$，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直，即$AC⊥BD$，符合要求。
综上，符合要求的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，特殊四边形的判定与性质
【点评】
本题是中点四边形与特殊平行四边形判定的综合题，解题的关键是掌握中点四边形的形状由原四边形的对角线决定：对角线垂直时中点四边形为矩形，对角线相等时中点四边形为菱形，再结合平行四边形的性质逐一判断条件即可。
【难度系数】
0.6
首先明确中点四边形的性质：根据三角形中位线定理，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，若要这个平行四边形为矩形，需要原四边形的对角线互相垂直（因为中点四边形的邻边分别平行于原四边形的两条对角线，对角线垂直则邻边垂直，平行四边形就成为矩形）。因此本题核心是判断四个条件中哪些能推出平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD，逐一分析每个条件即可。
【解析】
1. 先明确中点四边形的判定规则：
顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，当原四边形对角线互相垂直时，该中点四边形为矩形，因此只需判断条件是否能推出$AC⊥BD$。
2. 逐个分析条件：
① 条件$AC⊥BD$：直接满足原四边形对角线垂直，因此中点四边形为矩形，符合要求；
② 条件$C_{△ABO}=C_{△CBO}$：
在$□ABCD$中，对角线互相平分，故$AO=CO$，又$BO$为两个三角形的公共边，由周长相等可得$AB+AO+BO=BC+CO+BO$，化简得$AB=BC$。邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直，即$AC⊥BD$，符合要求；
③ 条件$∠DAO=∠CBO$：
在$□ABCD$中$AD//BC$，故$∠DAO=∠BCO$，结合已知得$∠BCO=∠CBO$，因此$OB=OC$，可得$AC=2OC=2OB=BD$，即平行四边形对角线相等，此时$□ABCD$是矩形，对角线不一定垂直，中点四边形为菱形，不符合要求；
④ 条件$∠DAO=∠BAO$：
即AC平分$∠BAD$，在$□ABCD$中$AB//CD$，故$∠BAO=∠DCO$，结合已知得$∠DAO=∠DCO$，因此$AD=CD$，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直，即$AC⊥BD$，符合要求。
综上，符合要求的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，特殊四边形的判定与性质
【点评】
本题是中点四边形与特殊平行四边形判定的综合题，解题的关键是掌握中点四边形的形状由原四边形的对角线决定：对角线垂直时中点四边形为矩形，对角线相等时中点四边形为菱形，再结合平行四边形的性质逐一判断条件即可。
【难度系数】
0.6
11. 若$x≤ 2$,化简$\sqrt{(x-2)^2}=$
$2-x$
.答案
11. $2-x$
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，这是解决此类根式化简题的第一步。接下来我们需要结合题目给出的$x≤2$的取值范围，判断绝对值内的代数式$x-2$的正负性，最后根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，就能得到最终的化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$
已知$x≤2$，因此$x-2≤0$。
根据绝对值的性质：当$a≤0$时，$|a|=-a$，可得：
$|x-2|=-(x-2)=2-x$
【答案】
$2-x$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记二次根式开方后结果为非负数，需先转化为绝对值形式再结合取值范围化简，避免直接忽略取值范围错误得出$x-2$的结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，这是解决此类根式化简题的第一步。接下来我们需要结合题目给出的$x≤2$的取值范围，判断绝对值内的代数式$x-2$的正负性，最后根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，就能得到最终的化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$
已知$x≤2$，因此$x-2≤0$。
根据绝对值的性质：当$a≤0$时，$|a|=-a$，可得：
$|x-2|=-(x-2)=2-x$
【答案】
$2-x$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记二次根式开方后结果为非负数，需先转化为绝对值形式再结合取值范围化简，避免直接忽略取值范围错误得出$x-2$的结果。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于$x$的方程$x^2 + 2x - (m - 2) = 0$没有实数根，则$m$的取值范围是
$m＜1$
.答案
12. $m＜1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们先确定题中方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式小于0的条件列出关于$m$的不等式，再解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
在方程$x^2 + 2x - (m - 2) = 0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-(m-2)$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，代入得：
$2^2 - 4×1×[-(m-2)] ＜ 0$
化简计算：
$4 + 4(m-2) ＜ 0$
$4 + 4m - 8 ＜ 0$
$4m - 4 ＜ 0$
$4m ＜ 4$
解得：$m ＜ 1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，解题时要注意常数项的符号，解不等式时运算要准确。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们先确定题中方程对应的$a、b、c$的值，代入判别式小于0的条件列出关于$m$的不等式，再解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
在方程$x^2 + 2x - (m - 2) = 0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-(m-2)$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，代入得：
$2^2 - 4×1×[-(m-2)] ＜ 0$
化简计算：
$4 + 4(m-2) ＜ 0$
$4 + 4m - 8 ＜ 0$
$4m - 4 ＜ 0$
$4m ＜ 4$
解得：$m ＜ 1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，解题时要注意常数项的符号，解不等式时运算要准确。
【难度系数】
0.8
13. 某网店经销一种果品,如果每千克盈利10元,则每天可售出600 kg. 通过分析销售数据发现:在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20 kg. 要保证每天7500元的盈利,同时又可使顾客得到实惠,每千克可涨价
$5$
元.答案
13. 5
解析
【分析】
这是一道销售利润类应用题，解题核心是抓住“总盈利=每千克盈利×日销售量”这一等量关系。首先设每千克涨价x元，先分别表示出涨价后的单千克盈利、涨价后的日销售量，再根据总盈利7500元列方程求解，最后结合“使顾客得到实惠”的条件，选择涨幅更小的解即可。
【解析】
设每千克应涨价x元。
涨价后每千克盈利为：$(10+x)$元
涨价后日销售量为：$(600-20x)$kg
根据总盈利为7500元，列方程得：
$(10+x)(600-20x)=7500$
展开并整理方程：
$6000 + 400x - 20x^2 = 7500$
$20x^2 - 400x + 1500 = 0$
两边同时除以20得：
$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-15)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=15$
因为要使顾客得到实惠，所以应选择涨价更少的数值，故舍去$x=15$，取$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算
【点评】
本题属于销售类典型应用题，解题关键是准确找到总利润的等量关系列方程，解题时需注意题目附加的限制条件，对求出的解进行合理性筛选，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类应用题，解题核心是抓住“总盈利=每千克盈利×日销售量”这一等量关系。首先设每千克涨价x元，先分别表示出涨价后的单千克盈利、涨价后的日销售量，再根据总盈利7500元列方程求解，最后结合“使顾客得到实惠”的条件，选择涨幅更小的解即可。
【解析】
设每千克应涨价x元。
涨价后每千克盈利为：$(10+x)$元
涨价后日销售量为：$(600-20x)$kg
根据总盈利为7500元，列方程得：
$(10+x)(600-20x)=7500$
展开并整理方程：
$6000 + 400x - 20x^2 = 7500$
$20x^2 - 400x + 1500 = 0$
两边同时除以20得：
$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-15)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=15$
因为要使顾客得到实惠，所以应选择涨价更少的数值，故舍去$x=15$，取$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算
【点评】
本题属于销售类典型应用题，解题关键是准确找到总利润的等量关系列方程，解题时需注意题目附加的限制条件，对求出的解进行合理性筛选，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.7
