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6. 质检员随机抽取四家公司生产的相同数量的同种零件，经整理后得到如下数据(零件尺寸合格范围为$6.50\pm0.05\ \mathrm{mm}$)，零件生产精度更高的公司是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
6. A
解析
【分析】
要选出生产精度更高的公司，需分两步判断：第一步先确定零件的合格尺寸范围，筛选出平均尺寸在合格范围内的公司，平均尺寸超出合格范围的公司生产的零件不符合要求，直接排除；第二步，精度高意味着零件尺寸波动小，而方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定，生产精度越高，所以在合格的公司中选择方差最小的即可。
【解析】
首先计算零件合格尺寸范围：
合格下限：$6.50 - 0.05 = 6.45\ \mathrm{mm}$，合格上限：$6.50 + 0.05 = 6.55\ \mathrm{mm}$，即平均尺寸需满足$6.45\ \mathrm{mm} ≤ \mathrm{平均尺寸} ≤ 6.55\ \mathrm{mm}$才符合要求。
对比四家公司平均尺寸：丙公司平均尺寸为$6.56\ \mathrm{mm}$，大于合格上限$6.55\ \mathrm{mm}$，不符合要求，排除丙公司。
剩余甲、乙、丁公司平均尺寸均在合格范围内，对比三者方差：
方差越小，尺寸波动越小，生产精度越高。已知甲方差1.22，乙方差2.77，丁方差1.85，可得$1.22 ＜ 1.85 ＜ 2.77$，即甲公司的方差最小，尺寸最稳定，生产精度更高。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义，平均数的实际应用
【点评】
本题结合生产实际考查统计量的选择与应用，易错点是容易忽略合格范围的限制，直接选择方差最小的公司，解题时要先判断数据是否符合实际要求，再结合统计量的意义分析。
【难度系数】
0.6
要选出生产精度更高的公司，需分两步判断：第一步先确定零件的合格尺寸范围，筛选出平均尺寸在合格范围内的公司，平均尺寸超出合格范围的公司生产的零件不符合要求，直接排除；第二步，精度高意味着零件尺寸波动小，而方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定，生产精度越高，所以在合格的公司中选择方差最小的即可。
【解析】
首先计算零件合格尺寸范围：
合格下限：$6.50 - 0.05 = 6.45\ \mathrm{mm}$，合格上限：$6.50 + 0.05 = 6.55\ \mathrm{mm}$，即平均尺寸需满足$6.45\ \mathrm{mm} ≤ \mathrm{平均尺寸} ≤ 6.55\ \mathrm{mm}$才符合要求。
对比四家公司平均尺寸：丙公司平均尺寸为$6.56\ \mathrm{mm}$，大于合格上限$6.55\ \mathrm{mm}$，不符合要求，排除丙公司。
剩余甲、乙、丁公司平均尺寸均在合格范围内，对比三者方差：
方差越小，尺寸波动越小，生产精度越高。已知甲方差1.22，乙方差2.77，丁方差1.85，可得$1.22 ＜ 1.85 ＜ 2.77$，即甲公司的方差最小，尺寸最稳定，生产精度更高。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义，平均数的实际应用
【点评】
本题结合生产实际考查统计量的选择与应用，易错点是容易忽略合格范围的限制，直接选择方差最小的公司，解题时要先判断数据是否符合实际要求，再结合统计量的意义分析。
【难度系数】
0.6
7. 如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于(
A.$\dfrac{24}{5}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.5
D.4
A
)A.$\dfrac{24}{5}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.5
D.4
答案
7. A
解析
【分析】
解题首先回忆菱形的相关性质：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积既可以用对角线乘积的一半计算，也可以用底乘对应高计算。第一步先根据对角线长度，结合勾股定理求出菱形的边长；第二步用两种方法表示菱形面积，根据面积相等列等式，即可求出高DH的长度。
【解析】
解：设菱形对角线AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
菱形ABCD的面积有两种计算方式：
①$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
②$S=AB×DH$
联立两式可得：$5DH=24$，解得$DH=\frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等面积法计算
【点评】
本题是菱形计算的典型题型，解题核心是熟练运用菱形面积的两种计算方法，通过等面积法建立方程求解高，需牢记菱形对角线与面积、边长的关系。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆菱形的相关性质：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积既可以用对角线乘积的一半计算，也可以用底乘对应高计算。第一步先根据对角线长度，结合勾股定理求出菱形的边长；第二步用两种方法表示菱形面积，根据面积相等列等式，即可求出高DH的长度。
【解析】
解：设菱形对角线AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
菱形ABCD的面积有两种计算方式：
①$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
②$S=AB×DH$
联立两式可得：$5DH=24$，解得$DH=\frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等面积法计算
【点评】
本题是菱形计算的典型题型，解题核心是熟练运用菱形面积的两种计算方法，通过等面积法建立方程求解高，需牢记菱形对角线与面积、边长的关系。
【难度系数】
0.7
8. 若α, β是方程$x^2 + 2x - 2007 = 0$的两个实数根,则$α^2 + 3α + β$的值是(
A.2007
B.2005
C.−2007
D.4010
B
)A.2007
B.2005
C.−2007
D.4010
答案
8. B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先观察所求代数式$α^2+3α+β$的结构，可拆分为$(α^2+2α)+(α+β)$两部分；2. 因为α是方程的根，将α代入原方程即可求出$α^2+2α$的值；3. 再根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$α+β$的值；4. 最后把两个结果代入拆分后的代数式计算即可得到答案，无需直接解出α、β的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵α是方程$x^2 + 2x - 2007 = 0$的实数根
∴将$x=α$代入方程得：$α^2 + 2α - 2007 = 0$，即$α^2 + 2α = 2007$
又
∵α、β是方程$x^2 + 2x - 2007 = 0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$
对所求代数式变形：
$α^2 + 3α + β = (α^2 + 2α) + (α + β)$
将$α^2 + 2α=2007$，$α+β=-2$代入得：
原式$=2007 + (-2) = 2005$
故选B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型考题，解题核心是通过拆分所求代数式，结合根的定义和韦达定理整体代入计算，避免了求解方程根的复杂运算，考察学生的代数式变形能力和对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先观察所求代数式$α^2+3α+β$的结构，可拆分为$(α^2+2α)+(α+β)$两部分；2. 因为α是方程的根，将α代入原方程即可求出$α^2+2α$的值；3. 再根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$α+β$的值；4. 最后把两个结果代入拆分后的代数式计算即可得到答案，无需直接解出α、β的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵α是方程$x^2 + 2x - 2007 = 0$的实数根
∴将$x=α$代入方程得：$α^2 + 2α - 2007 = 0$，即$α^2 + 2α = 2007$
又
∵α、β是方程$x^2 + 2x - 2007 = 0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$
对所求代数式变形：
$α^2 + 3α + β = (α^2 + 2α) + (α + β)$
将$α^2 + 2α=2007$，$α+β=-2$代入得：
原式$=2007 + (-2) = 2005$
故选B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式变形
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型考题，解题核心是通过拆分所求代数式，结合根的定义和韦达定理整体代入计算，避免了求解方程根的复杂运算，考察学生的代数式变形能力和对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
