18. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠A$与$∠B$的度数比为$1:2$,周长是$48\ \mathrm{cm}$.
(1)求两条对角线的长度.
(2)求菱形的面积.

18. (1)$BD=12\ \mathrm{cm},AC=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}.$
(2)$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=72\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$

19. 如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果点P,Q同时出发,用t s表示移动的时间(0＜t＜6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论.

19. (1)$t=2.$
(2)面积为 $36\ \mathrm{cm}^2.$(结论略)

20. 如图，$△ ABC$ 为锐角三角形，$AD$ 平分 $∠ BAC$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 $AD$ 的垂直平分线，分别交 $AB$，$AC$ 于点 $E$，$F$，连接 $DE$，$DF$.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在(1)的条件下，求证：四边形 $AEDF$ 是菱形.

20. (1)如图,直线 $EF$ 即为所求.
(2)$\because EF$ 垂直平分线段 $AD$,
$\therefore EA=ED,FA=FD.$
$\therefore ∠ EAD=∠ EDA,∠ FAD=∠ FDA.$
又 $AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD.$
$\therefore ∠ EDA=∠ FAD,∠ EAD=∠ FDA.$
$\therefore DE// AF,DF// AE.$
$\therefore$ 四边形 $AEDF$ 为平行四边形.
$\because EA=ED,$
$\therefore$ 四边形 $AEDF$ 为菱形.