21. 如图，$□ ABCD$ 各角的平分线分别相交于点 $E,F,G,H$，求证：四边形 $EFGH$ 是矩形.

四边形EFGH是矩形，证明如上。

要证明四边形EFGH是矩形，利用“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理，步骤如下：
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，故∠DAB + ∠ABC = 180°。
2. AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，因此∠EAB = ½∠DAB，∠EBA = ½∠ABC，所以∠EAB + ∠EBA = ½(∠DAB + ∠ABC) = ½×180°=90°，可得∠AEB = 90°。
3. 同理，可证∠BGC = 90°，∠CHD = 90°，∠DFA = 90°。
4. 四边形EFGH中有三个角为直角，根据矩形的判定定理，可知四边形EFGH是矩形。

22.我们定义:对角线相等且互相垂直的四边形叫作“宁美四边形”.
(1)在我们学过的四边形,①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形,其中是“宁美四边形”的是. (填序号)
(2)如图,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接AE,过点B作$BG⊥AE$于点H,交CD于点G,连AG,EG.求证:四边形ABEG是“宁美四边形”.

22. (1)④
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AB=BC,∠ ABC=∠ BCD=90°.$
$\therefore ∠ ABG+∠ CBG=90°.$
$\because BG⊥ AE,$
$\therefore ∠ BAE+∠ ABG=90°.$
$\therefore ∠ BAE=∠ CBG.$
在 $△ ABE$ 和 $△ BCG$ 中，
$\begin{cases} ∠ BAE=∠ CBG, \\ AB=BC, \\ ∠ ABE=∠ BCG, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCG(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AE=BG.$
又 $BG⊥ AE,$
$\therefore$ 四边形 $ABEG$ 是“宁美四边形”.

23. 如图,在正方形ABCD中,AE⊥BF,垂足为点P,AE与CD交于点E,BF与AD交于点F,求证:AE=BF.

23. 提示:只需证明$△ ABF≌△ DAE$即可.