15 若$x=t$是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$的根，$M=(2at+b)^{2}$，则根的判别式$b^{2}-4ac$和$M$的大小关系是（）

A.$b^{2}-4ac=M$
B.$b^{2}-4ac ＞ M$
C.$b^{2}-4ac ＜ M$
D.无法确定

15. A 【解析】将$x=t$代入方程,得$at^{2}+bt+c=0$,$\therefore b^{2}-4ac-$$M=b^{2}-4ac-(2at+b)^{2}=b^{2}-4ac-4a^{2}t^{2}-4abt-b^{2}=$$-4a(at^{2}+bt+c)=0$,$\therefore b^{2}-4ac=M$.

16 [2024 凉山] 已知 $y^{2}-x=0,x^{2}-3y^{2}+x-3=0$, 则 $x$ 的值为.

16. 3 【解析】$\because y^{2}-x=0$,$\therefore y^{2}=x≥0$.$\because x^{2}-3y^{2}+x-3=0$,$\therefore x^{2}-3x+x-3=0$,即$x^{2}-2x-3=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=-1$(不合题意,舍去),$\therefore x$的值为3.

17 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于 $x$ 的方程 $x^2 - 10x + m = 0$ 的两个实数根,且其面积为 11,则该菱形的边长为.

17. $\sqrt{14}$ 【解析】设菱形的两条对角线的长分别为$a$,$b$,则$a+$$b=10$.根据菱形的面积公式,得$\dfrac{1}{2}ab=11$,即$ab=22$.$\therefore$菱形的边长为$\sqrt{(\dfrac{1}{2}a)^{2}+(\dfrac{1}{2}b)^{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=$$\dfrac{1}{2}\sqrt{10^{2}-2×22}=\sqrt{14}$.

18 如图所示为一块矩形菜地$ABCD$，$AB=a\ \mathrm{m}$，$AD=b\ \mathrm{m}$，面积为$s\ \mathrm{m}^2$，现将边$AB$的长增加$1\ \mathrm{m}$，边$AD$的长增加$2\ \mathrm{m}.$若有且只有一个$a$的值，使得到的新矩形菜地的面积为$2s\ \mathrm{m}^2$，则$s$的值为.

18. $6+4\sqrt{2}$ 【解析】根据题意,知$b=\dfrac{s}{a}$.$\because$边$AB$的长增加1 m,边$AD$的长增加2 m,得到的新矩形菜地的面积为$2s\ \mathrm{m}^{2}$,$\therefore (a+1)(b+2)=2s$,即$(a+1)(\dfrac{s}{a}+2)=2s$.整理,得$2a^{2}+(2-$$s)a+s=0$.$\because$有且只有一个$a$的值,使得到的新矩形菜地的面积为$2s\ \mathrm{m}^{2}$,$\therefore \Delta=(2-s)^{2}-8s=0$,解得$s_{1}=6-4\sqrt{2}$(不合题意,舍去),$s_{2}=6+4\sqrt{2}$,$\therefore s$的值为$6+4\sqrt{2}$.

19 已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2(m+1)x+m^2+5=0$ 的两个实数根.
（1）若 $(x_1-1)(x_2-1)=28$, 则 $m$ 的值为.
（2）已知等腰三角形 $ABC$ 的一边长为 7. 若 $x_1,x_2$ 恰好是 $△ ABC$ 的另外两边的长, 求这个三角形的周长.

19. (1) 6 【解析】$\because x_{1}$,$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-$$2(m+1)x+m^{2}+5=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1)$,$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$,$\therefore (x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=m^{2}+$$5-2(m+1)+1=28$,解得$m_{1}=-4$,$m_{2}=6$.又$\because b^{2}-4ac=$$[-2(m+1)]^{2}-4(m^{2}+5)=8m-16≥0$,即$m≥2$,$\therefore m=6$.
(2) ① 当7为底边长时,方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$有两个相等的实数根,$\therefore b^{2}-4ac=8m-16=0$,解得$m=2$,$\therefore$方程变为$x^{2}-6x+9=0$,解得$x_{1}=x_{2}=3$.$\because 3+3＜7$,$\therefore$不能构成三角形,$\therefore m=2$不符合题意.② 当7为腰长时,将$x=7$代入方程,得$49-$$14(m+1)+m^{2}+5=0$,解得$m_{1}=10$,$m_{2}=4$.当$m=10$时,方程变为$x^{2}-22x+105=0$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=15$.$\because 7+7＜15$,$\therefore$不能构成三角形,$\therefore m=10$不符合题意.当$m=4$时,方程变为$x^{2}-10x+21=0$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=3$,此时三角形的周长为$7+7+3=17$.综上所述,这个三角形的周长为17

20 新情境 生活实际 某汽车销售公司6月销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅销售1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多销售1辆，所有销售的汽车每辆的进价均降低0.1万元.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元；销售10辆以上，每辆返利1万元.
(1) 若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车，则每辆汽车的进价为万元；
(2) 若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)？

20. (1) 26.8 (2) 设需要销售$x$辆汽车.① 当销售10辆以内(含10辆)时,根据题意,得$[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12$,解得$x_{1}=-20$(不合题意,舍去),$x_{2}=6$.$\therefore$当销售6辆汽车时,当月可盈利12万元.② 当销售10辆以上时,根据题意,得$[28-27+0.1(x-$$1)]x+x=12$,解得$x_{1}=5$,$x_{2}=-24$,均不符合题意,舍去.综上所述,若每辆汽车的售价为28万元,该汽车销售公司计划当月盈利12万元,则需要销售6辆汽车