德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”
如图①，将一条线段$AB$分割成长、短两条线段$AP,PB$. 若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即$\dfrac{PB}{AP}=\dfrac{AP}{AB}$，则可得出这一比值约等于$0.618$. 这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，$P$叫作线段$AB$的黄金分割点.

解：
设线段AB的长度为1，长线段$AP = x$，则短线段$PB = AB - AP = 1 - x$。
根据黄金分割的定义 $\dfrac{PB}{AP}=\dfrac{AP}{AB}$，代入得：
$\dfrac{1-x}{x} = \dfrac{x}{1}$
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$
解得：
$x = \dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
由于线段长度为正，舍去负根$x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$，得$AP=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
因此黄金比为 $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。

【知识推导】设 $AP=m,PB=n$，按照定义 $\dfrac{n}{m}=\dfrac{m}{m+n}=x\ (m＞n＞0)$ 恒成立，请推导黄金比 $x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618($ 参考数据: $\sqrt{5}\approx2.236).$

$\because \frac{n}{m}=\frac{m}{m+n},\therefore n(m+n)=m^2$. 整理,得$n^2+mn-m^2=0$.$\because m＞0$,$\therefore (\frac{n}{m})^2+\frac{n}{m}-1=0$, 此时$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$,$\therefore \frac{n}{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(负值舍去), 即$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$

【拓展应用】如图②,已知线段$AC$,按下列步骤画图:① 过点$C$画$CD ⊥ AC$,使$CD=\dfrac{1}{2}AC$;② 连接$AD$,以点$D$为圆心,$DC$的长为半径画弧,交$AD$于点$E$;③ 以点$A$为圆心,$AE$的长为半径画弧,交$AC$于点$B$.在所画图中,$B$是线段$AC$的黄金分割点吗?请说明理由.

$B$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点 理由:依题意画出图形如图①所示.设 $CD=t\ (t＞0)$, 由画图可知, $DE=CD=t$.$\because CD=\frac{1}{2}AC$,$\therefore AC=2CD=2t$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, 由勾股定理, 得 $AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{5}t$,$\therefore AE=AD-DE=(\sqrt{5}-1)t$. 由画图可知,$AB=AE=(\sqrt{5}-1)t$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{(\sqrt{5}-1)t}{2t}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore B$ 是线段 $AC$的黄金分割点.

【折纸探究】如图③,按下列步骤折纸:① 将一张边长为 1 的正方形纸片 ABCD 对折,得到折痕 EF,再展开;② 折出矩形 BCFE 的对角线 BF,再展开;③ 将边 AB 折到 BF 上,点 A 的对应点为$A'$,得到折痕 BG. 求证:G 为线段 AD 的黄金分割点$(AG＞GD).$

如图②, 连接 $GF$.$\because$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$,$EF$ 为折痕,$\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$,$∠ C=∠ A=∠ D=90°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$ 中,$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.$\because BG$ 是折痕,$\therefore AG=A'G$,$A'B=AB=1$,$∠ A=∠ GA'B=∠ GA'F=90°$,$\therefore A'F=BF-A'B=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$. 设 $AG=A'G=a$, 则 $DG=1-a$. 在$\mathrm{Rt}△ GA'F$ 中,$A'F^2+A'G^2=FG^2$; 在 $\mathrm{Rt}△ DGF$ 中,$DF^2+DG^2=FG^2$,$\therefore A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$, 即 $(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+a^2=(\frac{1}{2})^2+(1-a)^2$, 解得 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore G$ 是 $AD$ 的黄金分割点($AG＞GD$)