9 (易错题)[2025 广元]若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a-1)x^2+(a-1)x-\dfrac{1}{2}=0$ 有两个相等的实数根,则 $a$ 的值为.

9. $-1$
易错分析
9. 解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件.

10 [2024 泸州]已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的两个实数根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是.

10. 14 【解析】$\because x_{1}$,$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=-5$,$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+$$x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}=3^{2}-(-5)=14$.

11 [2025 泸州]若一元二次方程$2x^{2}-6x-1=0$的两根为$α,β$，则$2α^{2}-3α+3β$的值为.

11. 10 【解析】将$x=α$代入,得$2α^{2}-6α-1=0$,$\therefore 2α^{2}-6α=1$.$\because$一元二次方程$2x^{2}-6x-1=0$的两根为$α$,$β$,$\therefore α+β=3$,$\therefore 2α^{2}-3α+3β=(2α^{2}-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.

12 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6 x+m+4=0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2} .$
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $3 x_{1}=|x_{2}|+2$ ,求 $m$ 的值.

12. (1) 由题意,得$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(m+4)=20-4m≥0$,解得$m≤5$.$\therefore m$的取值范围是$m≤5$ (2) 根据题意,得$x_{1}+x_{2}=6$①,$x_{1}x_{2}=m+4$②.$\because 3x_{1}=|x_{2}|+2$,$\therefore$当$x_{2}≥0$时,有$3x_{1}=x_{2}+2$③.联立①③,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=4$.代入②,得$2×4=m+4$,解得$m=4$.当$x_{2}＜0$时,有$3x_{1}=-x_{2}+2$④.联立①④,解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=8$(不合题意,舍去).综上所述,$m$的值为4

13 [2024 绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为 500 元/盒. 因销量持续攀升，超市在 3 月提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在 3 月售价的基础上，4，5 月按照相同的降价率$r$连续降价. 已知 5 月礼盒的售价为 486 元/盒，则$r$的值为.

13. $10\%$

14 新考向 探究题 某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个锥形.如图,甲、乙两点分别从直径的两端点 A,B 按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程$l(\mathrm{cm})$与时间$t(\mathrm{s})$满足关系:$l=\dfrac{1}{2}t^{2}+\dfrac{3}{2}t(t ≥ 0)$,乙以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动,半圆弧的长度为$21\ \mathrm{cm}$.
(1) 求甲运动$4\ \mathrm{s}$的路程.
(2) 甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了多长时间?
(3) 甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了多长时间?

14. (1) 当$t=4$时,$l=\dfrac{1}{2}t^{2}+\dfrac{3}{2}t=8+6=14$,$\therefore$甲运动4 s的路程是14 cm (2) 由题图,可知甲、乙从开始运动到第一次相遇,运动的路程和为21 cm,则$\dfrac{1}{2}t^{2}+\dfrac{3}{2}t+4t=21$,解得$t_{1}=3$,$t_{2}=-14$(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了3 s (3) 由题图,可知甲、乙从开始运动到第二次相遇,运动的路程和为三个半圆弧的长,则$\dfrac{1}{2}t^{2}+\dfrac{3}{2}t+4t=21×3$,解得$t_{1}=7$,$t_{2}=-18$(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了7 s