三、解答题（共 50 分）
11.（24 分）计算：
(1) $-25 ÷ \dfrac{5}{4} × \dfrac{4}{5} ÷ (-8)$；
(2) $(-6) × (-\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3})$；
(3) $(2\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} - \dfrac{8}{9}) ÷ \dfrac{1}{12} × 3$；
(4) $-1^2 - |(-3)^3| × (-\dfrac{2}{3})^2 - 18 ÷ (1-10)$.

11. (1) 2 (2) -1 (3) 49 (4) -11

【分析】
这是有理数混合运算的常规计算题，解题思路如下：1. 先明确有理数运算优先级：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号优先算括号内的内容；2. 针对不同小题选择简便方法：第(1)题全是乘除同级运算，先把所有除法转化为乘法，先定整体符号再约分计算；第(2)(3)题优先使用乘法分配律，避免复杂通分，简化计算过程；第(4)题逐个拆解乘方、绝对值、括号内的运算，分步处理规避符号错误，尤其注意区分-1²和(-1)²的差异，不要踩符号陷阱。
【解析】
(1) 计算$-25 ÷ \dfrac{5}{4} × \dfrac{4}{5} ÷ (-8)$
先将所有除法转化为乘法：
原式$=-25 × \dfrac{4}{5} × \dfrac{4}{5} × (-\dfrac{1}{8})$
判定符号：两个负号相乘结果为正，再逐步约分：
$=25 × \dfrac{4}{5} × \dfrac{4}{5} × \dfrac{1}{8}$
$=20 × \dfrac{4}{5} × \dfrac{1}{8}$
$=16 × \dfrac{1}{8}=2$
(2) 计算$(-6) × (-\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3})$
使用乘法分配律展开：
原式$=(-6)×(-\dfrac{1}{2}) + (-6)×\dfrac{2}{3}$
$=3 - 4=-1$
(3) 计算$(2\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} - \dfrac{8}{9}) ÷ \dfrac{1}{12} × 3$
先将带分数化为假分数，除法转乘法：
原式$=(\dfrac{7}{3} - \dfrac{1}{12} - \dfrac{8}{9}) × 12 × 3$
先计算$12×3=36$，再用乘法分配律展开：
$=\dfrac{7}{3}×36 - \dfrac{1}{12}×36 - \dfrac{8}{9}×36$
$=84 - 3 - 32=49$
(4) 计算$-1^2 - |(-3)^3| × (-\dfrac{2}{3})^2 - 18 ÷ (1-10)$
先分别计算乘方、绝对值、括号内的内容：
$-1^2=-1$，$|(-3)^3|=|-27|=27$，$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$1-10=-9$
代入原式：
原式$=-1 - 27×\dfrac{4}{9} - 18÷(-9)$
$=-1 - 12 + 2=-11$
【答案】
(1) 2；(2) -1；(3) 49；(4) -11
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础巩固题，核心考察运算顺序的掌握和符号处理能力，合理使用乘法分配律可以大幅降低计算复杂度，易错点集中在负号的判定、-1²这类特殊乘方的计算，只要分步计算、细心校验符号，很容易得到正确结果。
【难度系数】
0.7

12. (10分)如图,小明有4张写着不同数的卡片,请你按要求取出卡片,解答下面的问题:
(1) 从中取出2张卡片,使这2张卡片上数乘积最小,最小乘积是.
(2) 取4张卡片,用卡片上的4个数,在“$+,-,×,÷$”中选取你所需要的运算,使计算结果为24(每张卡片都用且只用一次).请设计1个算式,并写出计算过程.

12. (1) -60
(2) $[10+(-6)-(-4)]×3=24$(答案不唯一)

【分析】
(1) 要得到两个数的最小乘积，根据有理数乘法的规律，负数小于所有正数，因此优先选择异号的两个数，且让二者绝对值的乘积尽可能大，就能得到最小的负数乘积，将所有两两组合的乘积计算后对比即可得到结果。
(2) 24点运算需要将四个数全部使用且仅用一次，我们可以先把24拆解为常见的运算组合，比如3×8、4×6等，再尝试用剩下的三个数凑出对应的因数，即可得到符合要求的算式。
【解析】
(1) 列出所有两两组合的乘积：
$(-6) × 3 = -18$，$(-6) × (-4) = 24$，$(-6) × 10 = -60$，$3 × (-4) = -12$，$3 × 10 = 30$，$(-4) × 10 = -40$
对比所有乘积，最小的结果为-60。
(2) 设计符合要求的算式，示例如下：
先计算括号内的部分：$10 + (-6) - (-4) = 10 -6 +4 = 8$，再计算乘法：$8 × 3 = 24$，因此得到算式$[10+(-6)-(-4)] × 3 = 24$，该算式使用了全部4个数字，符合运算要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-60}$；(2) 示例：$[10+(-6)-(-4)]×3=24$（答案不唯一）
【知识点】
有理数乘法，有理数四则混合运算
【点评】
本题以卡片数字为情境，基础考察有理数运算的相关知识，第一问引导学生理解乘积最值的判断逻辑，避免盲目计算；第二问的24点题型灵活性较强，能够有效锻炼学生对四则运算的综合运用能力，符合要求的合理算式均可得分。
【难度系数】
0.7

13. (16分)如图所示为一些火柴棒摆成的图案.
(1) 第1个图案用了根火柴棒,第2个图案用了根火柴棒,第3个图案用了根火柴棒.
(2) 第$n$($n$为正整数)个图案需要根火柴棒.
(3) 第10个图案需要多少根火柴棒?第25个图案呢?

13. (1) 5 9 13
解析:由图可知,第1个图案用了$1+4×1=5$(根)火柴棒,第2个图案用了$1+4×2=9$(根)火柴棒,第3个图案用了$1+4×3=13$(根)火柴棒.
(2) $(4n+1)$
(3) 当$n=10$时,$4n+1=41$;当$n=25$时,$4n+1=101$,所以第10个图案需要41根火柴棒,第25个图案需要101根火柴棒

【分析】
我们可以按照从特殊到一般的思路逐步解题：
1. 先直接观察数出前3个图案的火柴棒总数：第1个是单独的五边形，数得5根；第2个是两个五边形拼接，有1条公共边不需要重复计数，总数是9根；第3个是三个五边形拼接，有2条公共边，总数是13根。
2. 对比三个数5、9、13，发现后一个数比前一个数大4，也就是每新增1个五边形图案，只需要新增4根火柴棒，由此推导通用规律：第1个是5=4×1+1，第2个是9=4×2+1，第3个是13=4×3+1，自然得到第n个图案的火柴数表达式。
3. 最后把n=10和n=25代入得到的代数式，直接计算就能得到对应结果。
【解析】
(1) 直接计数图形中的火柴棒：
第1个图案是独立五边形，火柴棒数量为5；
第2个图案两个五边形共用1条边，总火柴数为5+4=9；
第3个图案在第2个基础上新增一个五边形，又新增4根火柴，总火柴数为9+4=13。
(2) 归纳规律：
观察可得，第1个图案：$5 = 4×1 + 1$
第2个图案：$9 = 4×2 + 1$
第3个图案：$13 = 4×3 + 1$
因此第n个图案的火柴棒数量为$4n + 1$。
(3) 代入代数式计算：
当$n=10$时，$4n+1 = 4×10 + 1 = 41$；
当$n=25$时，$4n+1 = 4×25 + 1 = 101$。
即第10个图案需要41根火柴棒，第25个图案需要101根火柴棒。
【答案】
(1) 5，9，13；(2) $4n+1$；(3) 第10个图案需要41根火柴棒，第25个图案需要101根火柴棒
【知识点】
图形规律探索，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是初中数学典型的图形类规律探究基础题，核心易错点是容易直接按五边形数量乘5，忽略拼接处的公共边不需要重复计数，通过观察相邻图案的火柴增量可以快速规避错误，训练学生从特殊实例归纳通用规律的能力。
【难度系数】
0.8