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1.(温岭市)小红去学校,从家出发向东偏南$30°$方向直行300m,再转向正南方向直行200m,接着向西偏北$30°$方向直行300m到学校,小红家在学校的(
北
)(填“东”“南”“西”或“北”)面,与学校的直线距离是(200
)m。答案
1.北 200
解析
【分析】
要解决这道题，先梳理小红的行走路线：从家出发，先向东偏南30°走300m，再向正南走200m，接着向西偏北30°走300m到学校。观察两段长度均为300m的路线：东偏南30°和西偏北30°是相反方向，这两段路线的位移相互抵消，总位移等于中间正南方向的200m，由此可判断家相对于学校的方向和直线距离。
【解析】
1. 分析路线的位移关系：小红从家出发的第一段（东偏南30°，300m）和最后一段（西偏北30°，300m），方向相反且长度相等，这两段位移相互抵消，总位移等于中间正南方向的200m，即从家到学校的直线方向为正南200m。
2. 判断相对位置：从家到学校是正南方向200m，反过来，学校在家的正南方向200m，因此小红家在学校的北面，直线距离为200m。
【答案】
北 200
【知识点】
位置与方向 距离计算
【点评】
本题通过识别路线中方向相反、长度相等的两段位移，简化总位移，快速推导相对位置和距离，核心是理解相反方向等长路线的位移抵消作用，需结合方向概念分析。
【难度系数】
0.3
要解决这道题，先梳理小红的行走路线：从家出发，先向东偏南30°走300m，再向正南走200m，接着向西偏北30°走300m到学校。观察两段长度均为300m的路线：东偏南30°和西偏北30°是相反方向，这两段路线的位移相互抵消，总位移等于中间正南方向的200m，由此可判断家相对于学校的方向和直线距离。
【解析】
1. 分析路线的位移关系：小红从家出发的第一段（东偏南30°，300m）和最后一段（西偏北30°，300m），方向相反且长度相等，这两段位移相互抵消，总位移等于中间正南方向的200m，即从家到学校的直线方向为正南200m。
2. 判断相对位置：从家到学校是正南方向200m，反过来，学校在家的正南方向200m，因此小红家在学校的北面，直线距离为200m。
【答案】
北 200
【知识点】
位置与方向 距离计算
【点评】
本题通过识别路线中方向相反、长度相等的两段位移，简化总位移，快速推导相对位置和距离，核心是理解相反方向等长路线的位移抵消作用，需结合方向概念分析。
【难度系数】
0.3
2.(临海市)如果把两个正方体拼成一个长方体,表面积将减少$72\mathrm{cm}^2$,那么这个长方体的表面积是（$\quad\quad\quad\quad$）,体积是（$\quad\quad\quad\quad$）。
答案
2.$360\mathrm{cm}^2$ $432\mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个正方体拼成长方体的变化：拼接处会重合2个正方形的面，因此减少的表面积就是这2个重合面的总面积。先通过减少的表面积算出正方体一个面的面积，进而求出正方体的棱长；再根据长方体表面积是两个正方体表面积之和减去减少的面积、体积等于两个正方体体积之和，分别计算结果。
【解析】
1. 求正方体一个面的面积：
两个正方体拼成长方体，减少了2个正方形面的面积，因此1个正方形面的面积为：$72÷2=36\mathrm{cm}^2$。
2. 求正方体的棱长：
正方形面积=棱长×棱长，所以正方体棱长为：$\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$。
3. 计算长方体的表面积：
方法一：两个正方体的总表面积为$6×36×2=432\mathrm{cm}^2$，减去减少的$72\mathrm{cm}^2$，得长方体表面积：$432-72=360\mathrm{cm}^2$；
方法二：拼成长方体后，相当于10个正方形面的面积，即$10×36=360\mathrm{cm}^2$，结果一致。
4. 计算长方体的体积：
体积不变，等于两个正方体体积之和，1个正方体体积为$6×6×6=216\mathrm{cm}^3$，则长方体体积为$216×2=432\mathrm{cm}^3$。
【答案】
360cm² 432cm³
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算、长方体体积计算
【点评】
本题考查正方体拼接成长方体时表面积和体积的变化规律，关键是理解拼接后减少的表面积是重合的2个面、体积不变，需先求正方体棱长再计算，属于中等难度的几何应用题，能检验学生的空间想象与计算能力。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需明确两个正方体拼成长方体的变化：拼接处会重合2个正方形的面，因此减少的表面积就是这2个重合面的总面积。先通过减少的表面积算出正方体一个面的面积，进而求出正方体的棱长；再根据长方体表面积是两个正方体表面积之和减去减少的面积、体积等于两个正方体体积之和，分别计算结果。
【解析】
1. 求正方体一个面的面积：
两个正方体拼成长方体，减少了2个正方形面的面积，因此1个正方形面的面积为：$72÷2=36\mathrm{cm}^2$。
2. 求正方体的棱长：
正方形面积=棱长×棱长，所以正方体棱长为：$\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$。
3. 计算长方体的表面积：
方法一：两个正方体的总表面积为$6×36×2=432\mathrm{cm}^2$，减去减少的$72\mathrm{cm}^2$，得长方体表面积：$432-72=360\mathrm{cm}^2$；
方法二：拼成长方体后，相当于10个正方形面的面积，即$10×36=360\mathrm{cm}^2$，结果一致。
4. 计算长方体的体积：
体积不变，等于两个正方体体积之和，1个正方体体积为$6×6×6=216\mathrm{cm}^3$，则长方体体积为$216×2=432\mathrm{cm}^3$。
【答案】
360cm² 432cm³
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算、长方体体积计算
【点评】
本题考查正方体拼接成长方体时表面积和体积的变化规律，关键是理解拼接后减少的表面积是重合的2个面、体积不变，需先求正方体棱长再计算，属于中等难度的几何应用题，能检验学生的空间想象与计算能力。
【难度系数】
0.5
3.（宁波市镇海区）一个三角形的三个内角的度数比为$1:2:1$。按角分，这个三角形是(
直角
)三角形；按边分，这个三角形是(等腰
)三角形。答案
3.直角 等腰
解析
【分析】要判断三角形的类型，需先根据三角形内角和与内角的度数比求出三个内角的度数，再分别按角和边的分类标准判断。首先利用三角形内角和为180°，结合给定的度数比算出各内角的度数，再根据最大角判断按角的类型，根据相等的角对应相等的边判断按边的类型。
【解析】三角形内角和为180°，三个内角的度数比为1:2:1，总份数为1+2+1=4。每份的度数为：180°÷4=45°，因此三个内角分别为：45°×1=45°，45°×2=90°，45°×1=45°。按角分，有一个角是90°的直角，所以是直角三角形；按边分，有两个角相等（均为45°），根据“等角对等边”，对应两条边相等，所以是等腰三角形。
【答案】直角 等腰
【知识点】三角形内角和、三角形的分类
【点评】本题考查三角形内角和的应用及分类，属于基础题，关键是通过比例求出内角，再结合分类标准判断，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】三角形内角和为180°，三个内角的度数比为1:2:1，总份数为1+2+1=4。每份的度数为：180°÷4=45°，因此三个内角分别为：45°×1=45°，45°×2=90°，45°×1=45°。按角分，有一个角是90°的直角，所以是直角三角形；按边分，有两个角相等（均为45°），根据“等角对等边”，对应两条边相等，所以是等腰三角形。
【答案】直角 等腰
【知识点】三角形内角和、三角形的分类
【点评】本题考查三角形内角和的应用及分类，属于基础题，关键是通过比例求出内角，再结合分类标准判断，难度适中。
【难度系数】0.6
4. (杭州市拱墅区)一个等腰直角三角形ABC,点A的位置是(2,4),点B的位置是(6,4),点C的位置可能是( , ),也可能是( , )。
答案
4.(2,0) (6,0)(答案不唯一)
解析
【分析】先观察点A(2,4)和点B(6,4)，两点纵坐标相同，可知AB是水平线段，长度为6-2=4。要构成等腰直角三角形ABC，结合AB的位置特征，分两种常见情况：以AB为直角边，直角顶点分别为A或B，利用等腰直角三角形直角边垂直且等长的性质，即可确定C点坐标。
【解析】1. 计算AB特征：A(2,4)与B(6,4)纵坐标相同，故AB平行于x轴，长度为6-2=4。
2. 当直角顶点为A时：AB为直角边，AC需垂直AB（AB水平则AC竖直），因此C点x坐标与A相同为2，y坐标向下平移AB长度4个单位，即4-4=0，得C(2,0)。
3. 当直角顶点为B时：AB为直角边，BC需垂直AB（BC竖直），因此C点x坐标与B相同为6，y坐标向下平移AB长度4个单位，即4-4=0，得C(6,0)。
【答案】(2,0) (6,0)
【知识点】等腰直角三角形、平面直角坐标系
【点评】本题结合平面直角坐标系考查等腰直角三角形的性质，关键是利用已知两点的坐标特征，结合垂直、等长的性质确定第三点坐标，需注意分情况讨论，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算AB特征：A(2,4)与B(6,4)纵坐标相同，故AB平行于x轴，长度为6-2=4。
2. 当直角顶点为A时：AB为直角边，AC需垂直AB（AB水平则AC竖直），因此C点x坐标与A相同为2，y坐标向下平移AB长度4个单位，即4-4=0，得C(2,0)。
3. 当直角顶点为B时：AB为直角边，BC需垂直AB（BC竖直），因此C点x坐标与B相同为6，y坐标向下平移AB长度4个单位，即4-4=0，得C(6,0)。
【答案】(2,0) (6,0)
【知识点】等腰直角三角形、平面直角坐标系
【点评】本题结合平面直角坐标系考查等腰直角三角形的性质，关键是利用已知两点的坐标特征，结合垂直、等长的性质确定第三点坐标，需注意分情况讨论，难度适中。
【难度系数】0.5
5.(杭州市上城区)
(1)如图，$△ AOB$的点A用数对表示为$(5,10)$，将$△ AOB$向右平移3格后，点A的对应点的位置用数对表示为$(\quad,\quad)$。
(2)将$△ AOB$绕点O按逆时针方向旋转$90°$，请画出旋转后的图形，并标上对应点$A',B'$。
(3)假设每小格的边长表示1cm，如果将$△ AOB$按$2:1$放大，那么放大后的图形面积为$(\quad)\mathrm{cm}^2$。
(4)如果将$△ AOB$绕$AO$旋转一周，形成一个圆锥$M$，绕$OB$旋转一周，形成一个圆锥$N$，那么圆锥$M$与圆锥$N$的体积比为$(\quad):(\quad)$。
(1)如图，$△ AOB$的点A用数对表示为$(5,10)$，将$△ AOB$向右平移3格后，点A的对应点的位置用数对表示为$(\quad,\quad)$。
(2)将$△ AOB$绕点O按逆时针方向旋转$90°$，请画出旋转后的图形，并标上对应点$A',B'$。
(3)假设每小格的边长表示1cm，如果将$△ AOB$按$2:1$放大，那么放大后的图形面积为$(\quad)\mathrm{cm}^2$。
(4)如果将$△ AOB$绕$AO$旋转一周，形成一个圆锥$M$，绕$OB$旋转一周，形成一个圆锥$N$，那么圆锥$M$与圆锥$N$的体积比为$(\quad):(\quad)$。
答案
5.(1)(8,10) (2)略 (3)12 (4)2 3
解析
【分析】
本题包含4个小问题，分别考查数对平移、图形旋转、图形放大缩小、圆锥体积计算。解题思路：
(1) 数对规则为（列，行），向右平移时列数加、行数不变，据此计算点A平移后的数对；
(2) 绕O逆时针转90°时，保持边长不变，确定A、B旋转后的对应位置，画出图形；
(3) 按2:1放大即边长变为原来2倍，用三角形面积公式计算放大后面积；
(4) 利用圆锥体积公式，分别计算两个圆锥体积后求比值。
【解析】
(1) 数对表示为（列，行），向右平移3格，列数加3，行数不变。点A原数对为(5,10)，平移后列数=5+3=8，行数=10，故对应点为(8,10)。
(2) 绕点O逆时针旋转90°：OA垂直OB，旋转后OA水平向左、OB垂直向上，长度不变，画出△A'OB'并标注A'、B'（画图略）。
(3) 图形按2:1放大，边长变为原来2倍，三角形面积与边长平方成正比，原面积×4=放大后面积，计算得放大后面积为12 cm²。
(4) 圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$：绕AO旋转的圆锥M，$V_M=\frac{1}{3}π×OB^2×AO$；绕OB旋转的圆锥N，$V_N=\frac{1}{3}π×AO^2×OB$，体积比为$OB:AO=2:3$。
【答案】
(1)(8,10) (2)略 (3)12 (4)2 3
【知识点】
图形的变换、圆锥体积计算、数对的应用
【点评】
本题综合考查基础几何知识，各小问均为知识点的直接应用，需掌握图形变换规则和圆锥体积公式，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题包含4个小问题，分别考查数对平移、图形旋转、图形放大缩小、圆锥体积计算。解题思路：
(1) 数对规则为（列，行），向右平移时列数加、行数不变，据此计算点A平移后的数对；
(2) 绕O逆时针转90°时，保持边长不变，确定A、B旋转后的对应位置，画出图形；
(3) 按2:1放大即边长变为原来2倍，用三角形面积公式计算放大后面积；
(4) 利用圆锥体积公式，分别计算两个圆锥体积后求比值。
【解析】
(1) 数对表示为（列，行），向右平移3格，列数加3，行数不变。点A原数对为(5,10)，平移后列数=5+3=8，行数=10，故对应点为(8,10)。
(2) 绕点O逆时针旋转90°：OA垂直OB，旋转后OA水平向左、OB垂直向上，长度不变，画出△A'OB'并标注A'、B'（画图略）。
(3) 图形按2:1放大，边长变为原来2倍，三角形面积与边长平方成正比，原面积×4=放大后面积，计算得放大后面积为12 cm²。
(4) 圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr^2h$：绕AO旋转的圆锥M，$V_M=\frac{1}{3}π×OB^2×AO$；绕OB旋转的圆锥N，$V_N=\frac{1}{3}π×AO^2×OB$，体积比为$OB:AO=2:3$。
【答案】
(1)(8,10) (2)略 (3)12 (4)2 3
【知识点】
图形的变换、圆锥体积计算、数对的应用
【点评】
本题综合考查基础几何知识，各小问均为知识点的直接应用，需掌握图形变换规则和圆锥体积公式，难度适中。
【难度系数】
0.5
6.(慈溪市)如图,长方形的周长用含有字母的式子表示为(
$6a$
)。若长方形和正方形的周长相等,则$a:c=$($2:3$
)。答案
6.$6a$ $2:3$
解析
【分析】
要解决这道题，需先运用长方形和正方形的周长公式分别计算两者的周长，再根据“周长相等”的条件建立等式，最后通过比例的基本性质求出a与c的比值。第一步，明确长方形的长和宽，代入周长公式计算其周长；第二步，明确正方形的边长，代入周长公式计算其周长；第三步，利用周长相等得到关于a和c的等式，转化为比例形式即可求出a:c。
【解析】
1. 计算长方形的周长：已知长方形的长为$2a$，宽为$a$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得长方形周长为$2×(2a + a)=2×3a=6a$。
2. 计算正方形的周长：已知正方形的边长为$c$，根据正方形周长公式$C=4×边长$，可得正方形周长为$4c$。
3. 求$a:c$：因为长方形和正方形周长相等，所以$6a = 4c$，根据比例的基本性质，将等式转化为比例式，可得$a:c = 4:6 = 2:3$。
【答案】
$6a$；$2:3$
【知识点】
长方形周长、正方形周长、比例的性质
【点评】
本题结合长方形和正方形的周长计算，考查了比例的应用，核心是利用“周长相等”建立数量关系，进而推导比值，属于基础代数应用题型，难度不大。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先运用长方形和正方形的周长公式分别计算两者的周长，再根据“周长相等”的条件建立等式，最后通过比例的基本性质求出a与c的比值。第一步，明确长方形的长和宽，代入周长公式计算其周长；第二步，明确正方形的边长，代入周长公式计算其周长；第三步，利用周长相等得到关于a和c的等式，转化为比例形式即可求出a:c。
【解析】
1. 计算长方形的周长：已知长方形的长为$2a$，宽为$a$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得长方形周长为$2×(2a + a)=2×3a=6a$。
2. 计算正方形的周长：已知正方形的边长为$c$，根据正方形周长公式$C=4×边长$，可得正方形周长为$4c$。
3. 求$a:c$：因为长方形和正方形周长相等，所以$6a = 4c$，根据比例的基本性质，将等式转化为比例式，可得$a:c = 4:6 = 2:3$。
【答案】
$6a$；$2:3$
【知识点】
长方形周长、正方形周长、比例的性质
【点评】
本题结合长方形和正方形的周长计算，考查了比例的应用，核心是利用“周长相等”建立数量关系，进而推导比值，属于基础代数应用题型，难度不大。
【难度系数】
0.5
7.(兰溪市)李伯伯沿墙围了一个梯形苗圃(如图),共用了23m长的篱笆。这个梯形苗圃的面积是(
45
)$\mathrm{m}^2$。答案
7.45
解析
【分析】要计算直角梯形苗圃的面积，需先确定梯形上底与下底的和。已知篱笆总长23m，苗圃是沿墙围成的直角梯形，垂直的腰（高）为5m，篱笆长度等于上底+下底+高，据此可算出上底与下底的和，再代入梯形面积公式求解。
【解析】该苗圃为直角梯形，高为5m，篱笆总长23m，由于沿墙围，因此篱笆长度 = 上底 + 下底 + 高，可得上底与下底的和为：23 - 5 = 18（m）。根据梯形面积公式：面积 =（上底 + 下底）×高÷2，代入数据计算：18×5÷2 = 45（m²）。
【答案】45
【知识点】梯形面积计算，直角梯形的性质
【点评】本题结合实际场景考查直角梯形面积的计算，核心是利用篱笆总长求出上底与下底的和，再套用公式计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】该苗圃为直角梯形，高为5m，篱笆总长23m，由于沿墙围，因此篱笆长度 = 上底 + 下底 + 高，可得上底与下底的和为：23 - 5 = 18（m）。根据梯形面积公式：面积 =（上底 + 下底）×高÷2，代入数据计算：18×5÷2 = 45（m²）。
【答案】45
【知识点】梯形面积计算，直角梯形的性质
【点评】本题结合实际场景考查直角梯形面积的计算，核心是利用篱笆总长求出上底与下底的和，再套用公式计算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
8.（杭州市拱墅区）把如图所示的长方体切割成两个大小完全一样的小长方体，则长方体的表面积总和最少增加(
24
)$\mathrm{cm}^2$，最多增加(40
)$\mathrm{cm}^2$。答案
8.24 40
解析
【分析】要解决这个问题，需明确：把长方体切割成两个大小完全一样的小长方体时，表面积会增加2个切面的面积。因此，求表面积最少增加多少，需找到长方体最小的面，计算其2倍；求最多增加多少，需找到长方体最大的面，计算其2倍。首先确定长方体的长宽高为5cm、4cm、3cm，再计算三个不同面的面积，比较后得出最小和最大的面，进而算出增加的表面积。
【解析】长方体切割成两个大小相同的小长方体时，表面积增加2个切面的面积，步骤如下：
1. 计算长方体三个相邻面的面积：
长×宽：$5×4=20\ \mathrm{cm}^2$
长×高：$5×3=15\ \mathrm{cm}^2$
宽×高：$4×3=12\ \mathrm{cm}^2$
2. 比较三个面的面积，最小面面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，最大面面积为$20\ \mathrm{cm}^2$。
3. 最少增加的表面积：$12×2=24\ \mathrm{cm}^2$（平行于最小面切割）
4. 最多增加的表面积：$20×2=40\ \mathrm{cm}^2$（平行于最大面切割）
【答案】24 40
【知识点】长方体表面积、立体图形切割
【点评】本题考查长方体切割后的表面积变化，核心是理解切割后增加2个切面的面积，需准确识别长方体的最大面和最小面，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】0.3
【解析】长方体切割成两个大小相同的小长方体时，表面积增加2个切面的面积，步骤如下：
1. 计算长方体三个相邻面的面积：
长×宽：$5×4=20\ \mathrm{cm}^2$
长×高：$5×3=15\ \mathrm{cm}^2$
宽×高：$4×3=12\ \mathrm{cm}^2$
2. 比较三个面的面积，最小面面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，最大面面积为$20\ \mathrm{cm}^2$。
3. 最少增加的表面积：$12×2=24\ \mathrm{cm}^2$（平行于最小面切割）
4. 最多增加的表面积：$20×2=40\ \mathrm{cm}^2$（平行于最大面切割）
【答案】24 40
【知识点】长方体表面积、立体图形切割
【点评】本题考查长方体切割后的表面积变化，核心是理解切割后增加2个切面的面积，需准确识别长方体的最大面和最小面，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】0.3
9.(平湖市)一个水龙头的内直径是2cm，打开水龙头后(开到最大)，水的流速是50cm/s。照这样计算，将这个水龙头开到最大，2 min能放水(
18.84
)L。答案
9.18.84
解析
【分析】本题需将流出的水看作圆柱体，解题思路为：先统一时间单位，再求出水龙头内半径，接着计算圆柱底面积，结合流速和时间得到水流总长度（即圆柱的高），利用圆柱体积公式算出体积，最后将体积单位从立方厘米换算为升。
【解析】1. 单位换算：2分钟=2×60=120秒；
2. 求水龙头内半径：r=2÷2=1cm；
3. 计算圆柱底面积：S=πr²=3.14×1²=3.14 cm²；
4. 计算水流总长度（圆柱的高）：h=流速×时间=50×120=6000 cm；
5. 计算水的体积：V=S×h=3.14×6000=18840 cm³；
6. 体积单位换算：1L=1000 cm³，故18840 cm³=18.84 L。
【答案】18.84
【知识点】圆柱体积计算、体积单位换算
【点评】本题结合生活实际考查圆柱体积公式的应用，核心是理解水流形成圆柱体，需注意单位统一，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 单位换算：2分钟=2×60=120秒；
2. 求水龙头内半径：r=2÷2=1cm；
3. 计算圆柱底面积：S=πr²=3.14×1²=3.14 cm²；
4. 计算水流总长度（圆柱的高）：h=流速×时间=50×120=6000 cm；
5. 计算水的体积：V=S×h=3.14×6000=18840 cm³；
6. 体积单位换算：1L=1000 cm³，故18840 cm³=18.84 L。
【答案】18.84
【知识点】圆柱体积计算、体积单位换算
【点评】本题结合生活实际考查圆柱体积公式的应用，核心是理解水流形成圆柱体，需注意单位统一，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
