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2.（诸暨市）李师傅用一个底面直径为20 cm、高为9 cm的圆锥形生铁铸件，铸造一个底面直径为10 cm的圆柱形铸件，铸成的圆柱形铸件的高是多少厘米？（假设铸造过程中无材料损失）
答案
2. $\frac{1}{3}×3.14×(20÷2)^2×9÷[3.14×(10÷2)^2]=12(\mathrm{cm})$
解析
【分析】首先明确铸造过程无材料损失，说明圆锥形铸件的体积等于圆柱形铸件的体积。解题思路是：先利用圆锥体积公式算出圆锥的体积，再用这个体积除以圆柱的底面积，就能得到圆柱的高。需要先分别求出圆锥和圆柱的底面半径，再代入对应公式计算。
【解析】因为铸造前后体积不变，所以圆锥体积=圆柱体积。
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}πr_{锥}^2h_{锥}$，圆柱体积公式：$V_{柱}=πr_{柱}^2h_{柱}$，变形得圆柱的高$h_{柱}=V_{锥}÷(πr_{柱}^2)$。
步骤：
1. 求底面半径：圆锥底面半径$20÷2=10$（cm），圆柱底面半径$10÷2=5$（cm）；
2. 计算圆锥体积：$\frac{1}{3}×3.14×10^2×9$；
3. 计算圆柱底面积：$3.14×5^2$；
4. 求圆柱的高：$(\frac{1}{3}×3.14×100×9)÷(3.14×25)=12$（cm）。
【答案】12 cm
【知识点】圆锥体积计算、圆柱体积计算、等积变形
【点评】本题是等积变形的典型应用题，考查圆锥和圆柱体积公式的实际应用，解题关键是抓住铸造前后体积不变的特点，代入公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】因为铸造前后体积不变，所以圆锥体积=圆柱体积。
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}πr_{锥}^2h_{锥}$，圆柱体积公式：$V_{柱}=πr_{柱}^2h_{柱}$，变形得圆柱的高$h_{柱}=V_{锥}÷(πr_{柱}^2)$。
步骤：
1. 求底面半径：圆锥底面半径$20÷2=10$（cm），圆柱底面半径$10÷2=5$（cm）；
2. 计算圆锥体积：$\frac{1}{3}×3.14×10^2×9$；
3. 计算圆柱底面积：$3.14×5^2$；
4. 求圆柱的高：$(\frac{1}{3}×3.14×100×9)÷(3.14×25)=12$（cm）。
【答案】12 cm
【知识点】圆锥体积计算、圆柱体积计算、等积变形
【点评】本题是等积变形的典型应用题，考查圆锥和圆柱体积公式的实际应用，解题关键是抓住铸造前后体积不变的特点，代入公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】0.7
3.（台州市黄岩区）如图，两个长方形按图1放置，现将这两个长方形分别向左、右平移至图2的位置，平移的速度为$2\mathrm{cm/s}$。
(1)这两个长方形的长是多少厘米？
(2)这个平移过程需要多长时间？
(1)这两个长方形的长是多少厘米？
(2)这个平移过程需要多长时间？
答案
3. (1)$84÷(1+\frac{3}{4})=48(\mathrm{cm})$ (2)$(84−48)÷(2×2)=9(\mathrm{s})$
解析
【分析】
本题需结合图形的长度关系和运动规律解题：首先观察图2，两个长方形平移后的总长度为84cm，且灰色长方形长度是白色的$\frac{3}{4}$，据此可通过分数除法求出两个长方形的长；其次，两个长方形向相反方向平移，相对速度为两者速度之和，再结合平移距离计算时间。
【解析】
(1) 把白色长方形的长看作单位“1”，则灰色长方形的长是白色的$\frac{3}{4}$，两个长方形的总长度对应分率为$1+\frac{3}{4}$，因此白色长方形的长为：
$84÷(1+\frac{3}{4})=84÷\frac{7}{4}=48(\mathrm{cm})$
灰色长方形的长为：$84-48=36(\mathrm{cm})$
(2) 两个长方形分别向左、右平移，相对速度为$2+2=4(\mathrm{cm/s})$，平移的距离为$84-48=36(\mathrm{cm})$，则平移时间为：
$36÷4=9(\mathrm{s})$
【答案】
(1) 白色长方形长48cm，灰色长方形长36cm；(2) 9s
【知识点】
分数除法应用题、行程问题
【点评】
本题结合平移图形考查分数运算与行程问题，关键是从图形中提取长度关系，理解反向平移的相对速度，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需结合图形的长度关系和运动规律解题：首先观察图2，两个长方形平移后的总长度为84cm，且灰色长方形长度是白色的$\frac{3}{4}$，据此可通过分数除法求出两个长方形的长；其次，两个长方形向相反方向平移，相对速度为两者速度之和，再结合平移距离计算时间。
【解析】
(1) 把白色长方形的长看作单位“1”，则灰色长方形的长是白色的$\frac{3}{4}$，两个长方形的总长度对应分率为$1+\frac{3}{4}$，因此白色长方形的长为：
$84÷(1+\frac{3}{4})=84÷\frac{7}{4}=48(\mathrm{cm})$
灰色长方形的长为：$84-48=36(\mathrm{cm})$
(2) 两个长方形分别向左、右平移，相对速度为$2+2=4(\mathrm{cm/s})$，平移的距离为$84-48=36(\mathrm{cm})$，则平移时间为：
$36÷4=9(\mathrm{s})$
【答案】
(1) 白色长方形长48cm，灰色长方形长36cm；(2) 9s
【知识点】
分数除法应用题、行程问题
【点评】
本题结合平移图形考查分数运算与行程问题，关键是从图形中提取长度关系，理解反向平移的相对速度，难度适中。
【难度系数】
0.5
4.(杭州市拱墅区)将 40 dm 长的铁丝制作一个长方体框架，长、宽、高的比是$3:2:5$。再将其中的五个面糊上纸(朝下的一个面不糊纸，如图)，做成一个形状为长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸？
答案
4. 设长、宽、高分别为$3x(\mathrm{dm}),2x(\mathrm{dm}),5x(\mathrm{dm})$。
$3x+2x+5x=40÷4 \quad x=1 \quad 3×2+(3×5+2×5)×2=56(\mathrm{dm}^2)$
$3x+2x+5x=40÷4 \quad x=1 \quad 3×2+(3×5+2×5)×2=56(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先根据长方体棱长总和求出长、宽、高，再确定需糊纸的五个面（朝下的底面不糊），计算这些面的面积和。第一步，利用长方体棱长总和公式算出长、宽、高的和，再按比例分配得到长、宽、高；第二步，明确需糊纸的面为底面和四个侧面，进而计算总面积。
【解析】
1. 求长方体的长、宽、高：
长方体棱长总和 = 4×(长+宽+高)，已知铁丝长40dm，因此长+宽+高 = 40÷4 = 10(dm)。
长、宽、高的比是3:2:5，总份数为3+2+5=10份，每份长度为10÷10=1(dm)。
则长=3×1=3(dm)，宽=2×1=2(dm)，高=5×1=5(dm)。
2. 计算糊纸的面积：
朝下的底面不糊，需糊纸的面积为1个底面面积加4个侧面面积，即：
长×宽 + 2×(长×高 + 宽×高) = 3×2 + 2×(3×5 + 2×5) = 6 + 2×25 = 6 + 50 = 56(dm²)。
【答案】
56平方分米
【知识点】
长方体棱长和、长方体表面积计算
【点评】
本题结合实际制作灯笼的场景，考查长方体棱长和与表面积的应用，关键是明确需计算的面（不含底面），按比例分配求长宽高是解题基础，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先根据长方体棱长总和求出长、宽、高，再确定需糊纸的五个面（朝下的底面不糊），计算这些面的面积和。第一步，利用长方体棱长总和公式算出长、宽、高的和，再按比例分配得到长、宽、高；第二步，明确需糊纸的面为底面和四个侧面，进而计算总面积。
【解析】
1. 求长方体的长、宽、高：
长方体棱长总和 = 4×(长+宽+高)，已知铁丝长40dm，因此长+宽+高 = 40÷4 = 10(dm)。
长、宽、高的比是3:2:5，总份数为3+2+5=10份，每份长度为10÷10=1(dm)。
则长=3×1=3(dm)，宽=2×1=2(dm)，高=5×1=5(dm)。
2. 计算糊纸的面积：
朝下的底面不糊，需糊纸的面积为1个底面面积加4个侧面面积，即：
长×宽 + 2×(长×高 + 宽×高) = 3×2 + 2×(3×5 + 2×5) = 6 + 2×25 = 6 + 50 = 56(dm²)。
【答案】
56平方分米
【知识点】
长方体棱长和、长方体表面积计算
【点评】
本题结合实际制作灯笼的场景，考查长方体棱长和与表面积的应用，关键是明确需计算的面（不含底面），按比例分配求长宽高是解题基础，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
5. (杭州市上城区)如图,一个密封的长方体容器长4dm,宽1dm,高2dm,里面水深16cm。现在以这个容器的左侧面为底,把它竖放在桌上。
(1)这时水深多少厘米?
(2)此时,水与容器的接触面积是多少平方厘米?
(1)这时水深多少厘米?
(2)此时,水与容器的接触面积是多少平方厘米?
答案
5. $4\ \mathrm{dm}=40\ \mathrm{cm} \quad 1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm} \quad 2\ \mathrm{dm}=20\ \mathrm{cm}$
(1)$40×10×16÷(20×10)=32(\mathrm{cm})$
(2)$20×10+(20×32+10×32)×2=2120(\mathrm{cm}^2)$
(1)$40×10×16÷(20×10)=32(\mathrm{cm})$
(2)$20×10+(20×32+10×32)×2=2120(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
本题的核心是抓住“水的体积不变”这一关键，先统一单位，再通过体积公式计算竖放后的水深，最后根据接触的面计算接触面积。第(1)问需先求水的体积，再结合竖放后的底面积求水深；第(2)问需明确水接触的是容器的底面和四周侧面，分别计算面积后求和。
【解析】
首先统一单位：
$4\ \mathrm{dm}=40\ \mathrm{cm}$，$1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}$，$2\ \mathrm{dm}=20\ \mathrm{cm}$
(1) 计算水的体积：
水的体积 = 原容器长×原容器宽×原水深 = $40×10×16 = 6400\ \mathrm{cm}^3$
以左侧面为底竖放后，容器的底面积 = $20×10 = 200\ \mathrm{cm}^2$
此时水深 = 水的体积÷新底面积 = $6400÷200 = 32\ \mathrm{cm}$
(2) 计算水与容器的接触面积：
接触面积包括竖放后容器的底面积，以及水周围的四个侧面面积。
底面积：$20×10 = 200\ \mathrm{cm}^2$
侧面面积：$(20×32 + 10×32)×2 = (640 + 320)×2 = 1920\ \mathrm{cm}^2$
总接触面积 = $200 + 1920 = 2120\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 32厘米；(2) 2120平方厘米
【知识点】
长方体体积、长方体表面积、单位换算
【点评】
本题考查长方体体积与表面积的实际应用，重点在于理解体积不变的规律，以及竖放后容器底面积和高度的变化，计算接触面积时需准确判断接触的面，避免出错。
【难度系数】
0.5
本题的核心是抓住“水的体积不变”这一关键，先统一单位，再通过体积公式计算竖放后的水深，最后根据接触的面计算接触面积。第(1)问需先求水的体积，再结合竖放后的底面积求水深；第(2)问需明确水接触的是容器的底面和四周侧面，分别计算面积后求和。
【解析】
首先统一单位：
$4\ \mathrm{dm}=40\ \mathrm{cm}$，$1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}$，$2\ \mathrm{dm}=20\ \mathrm{cm}$
(1) 计算水的体积：
水的体积 = 原容器长×原容器宽×原水深 = $40×10×16 = 6400\ \mathrm{cm}^3$
以左侧面为底竖放后，容器的底面积 = $20×10 = 200\ \mathrm{cm}^2$
此时水深 = 水的体积÷新底面积 = $6400÷200 = 32\ \mathrm{cm}$
(2) 计算水与容器的接触面积：
接触面积包括竖放后容器的底面积，以及水周围的四个侧面面积。
底面积：$20×10 = 200\ \mathrm{cm}^2$
侧面面积：$(20×32 + 10×32)×2 = (640 + 320)×2 = 1920\ \mathrm{cm}^2$
总接触面积 = $200 + 1920 = 2120\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 32厘米；(2) 2120平方厘米
【知识点】
长方体体积、长方体表面积、单位换算
【点评】
本题考查长方体体积与表面积的实际应用，重点在于理解体积不变的规律，以及竖放后容器底面积和高度的变化，计算接触面积时需准确判断接触的面，避免出错。
【难度系数】
0.5
