登录
7. 下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 (
A.$x^2 + 4y^2$
B.$3x^2 - 4y$
C.$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}$
D.$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$
C
)A.$x^2 + 4y^2$
B.$3x^2 - 4y$
C.$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}$
D.$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$
答案
7.C
解析
【分析】要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，需明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式需为两项式，且两项符号相反，每一项都能写成某个整式的平方形式（即符合$a^2 - b^2$的结构）。接下来逐一分析选项是否满足该条件。
【解析】平方差公式分解因式的结构要求为$a^2 - b^2$，需同时满足：①多项式是两项；②两项符号相反；③每一项均为整式的平方。
选项A：$x^2 + 4y^2$，两项符号均为正，属于平方和，不符合条件；
选项B：$3x^2 - 4y$，$3x^2$不是整式的平方（系数3不是完全平方数），不符合条件；
选项C：$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = (\dfrac{y}{3})^2 - (\dfrac{x}{2})^2$，是两项且符号相反，每一项均为整式的平方，符合条件；
选项D：$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$，两项符号均为负，属于平方和的相反数，不符合条件。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【点评】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，属于基础题，核心是掌握公式的形式要求，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】平方差公式分解因式的结构要求为$a^2 - b^2$，需同时满足：①多项式是两项；②两项符号相反；③每一项均为整式的平方。
选项A：$x^2 + 4y^2$，两项符号均为正，属于平方和，不符合条件；
选项B：$3x^2 - 4y$，$3x^2$不是整式的平方（系数3不是完全平方数），不符合条件；
选项C：$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = (\dfrac{y}{3})^2 - (\dfrac{x}{2})^2$，是两项且符号相反，每一项均为整式的平方，符合条件；
选项D：$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$，两项符号均为负，属于平方和的相反数，不符合条件。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【点评】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，属于基础题，核心是掌握公式的形式要求，难度较低。
【难度系数】0.8
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有$ x $人，$ y $辆车，可列方程组为（
A.$\begin{cases} x=3(y+2) \\ x=2y-18 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=3(y-2) \\ x=2y-18 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=3(y+2) \\ x=2y+9 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3(y-2) \\ x=2y+9 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x=3(y+2) \\ x=2y-18 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=3(y-2) \\ x=2y-18 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=3(y+2) \\ x=2y+9 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3(y-2) \\ x=2y+9 \end{cases}$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决该问题，需从题目中提取两个核心等量关系：①每辆车坐3人时空出2辆车，总人数等于3乘以实际使用的车辆数；②每辆车坐2人时9人步行，总人数等于2乘以车辆数加上步行的9人。设人数为$x$，车辆数为$y$，根据这两个等量关系即可列出方程组，进而选出正确选项。
【解析】
根据题意分析：
1. 当每辆车乘坐3人时，空余2辆车，说明实际使用的车辆数为$y - 2$，总人数满足$x = 3(y - 2)$；
2. 当每辆车乘坐2人时，有9人步行，说明总人数等于2辆车乘坐的人数加上步行的9人，即$x = 2y + 9$；
因此可列方程组为$\begin{cases} x=3(y-2) \\ x=2y+9 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；实际问题中等量关系的建立
【点评】
本题是古代数学问题转化为数学模型的典型题目，重点考查从实际问题中提取等量关系并建立二元一次方程组的能力，易错点在于对“空余两辆车”和“9人步行”的数量关系理解，需仔细分析两种乘车情况的人数与车辆数的对应关系。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需从题目中提取两个核心等量关系：①每辆车坐3人时空出2辆车，总人数等于3乘以实际使用的车辆数；②每辆车坐2人时9人步行，总人数等于2乘以车辆数加上步行的9人。设人数为$x$，车辆数为$y$，根据这两个等量关系即可列出方程组，进而选出正确选项。
【解析】
根据题意分析：
1. 当每辆车乘坐3人时，空余2辆车，说明实际使用的车辆数为$y - 2$，总人数满足$x = 3(y - 2)$；
2. 当每辆车乘坐2人时，有9人步行，说明总人数等于2辆车乘坐的人数加上步行的9人，即$x = 2y + 9$；
因此可列方程组为$\begin{cases} x=3(y-2) \\ x=2y+9 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；实际问题中等量关系的建立
【点评】
本题是古代数学问题转化为数学模型的典型题目，重点考查从实际问题中提取等量关系并建立二元一次方程组的能力，易错点在于对“空余两辆车”和“9人步行”的数量关系理解，需仔细分析两种乘车情况的人数与车辆数的对应关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图1,当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射,满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3:2.如图2,在同一平面上,两条光线同时从空气斜射入这种液体中,两条入射光线与水平液面夹角分别为α,β,在液体中两条折射光线的夹角为γ,则α,β,γ三者之间的数量关系为
（
A.$\frac{2}{3}(α+β)=γ$
B.$\frac{2}{3}(α+β)=120° - γ$
C.$α+β=γ$
D.$α+β+γ=180°$
（
B
）A.$\frac{2}{3}(α+β)=γ$
B.$\frac{2}{3}(α+β)=120° - γ$
C.$α+β=γ$
D.$α+β+γ=180°$
答案
9.B
解析
【分析】
要解决本题，需先明确光的折射定律中入射角、折射角的定义：入射角是入射光线与法线的夹角，折射角是折射光线与法线的夹角。由图1可知入射角与折射角的度数比为3:2，据此可得到折射角与入射角的关系；再将图2中入射光线与液面的夹角α、β转化为对应的入射角，结合折射角与入射角的关系求出两条折射光线的折射角；最后利用几何中两条折射光线的夹角γ与两个折射角的关系，推导α、β、γ的数量关系。
【解析】
1. 确定折射角与入射角的关系：
由图1，入射角∠1与折射角∠2的度数比为3:2，因此折射角 = $\frac{2}{3}×$入射角。
2. 计算图2中两条入射光线对应的入射角：
法线垂直于水平液面，入射光线与液面的夹角为α，故对应的入射角为 $90° - α$；同理，另一入射光线对应的入射角为 $90° - β$。
3. 计算两条折射光线的折射角：
根据折射角与入射角的关系，两条折射光线对应的折射角分别为：
$r_1 = \frac{2}{3}(90° - α)$，$r_2 = \frac{2}{3}(90° - β)$。
4. 推导α、β、γ的关系：
两条法线均垂直液面，互相平行，两条折射光线分别在两条法线的两侧，因此它们的夹角γ等于两个折射角之和，即：
$\gamma = r_1 + r_2$
将$r_1$、$r_2$代入上式：
$\gamma = \frac{2}{3}(90° - α) + \frac{2}{3}(90° - β)$
化简右边：
$\gamma = \frac{2}{3}[(90° - α) + (90° - β)] = \frac{2}{3}(180° - α - β)$
整理等式：
两边同乘3得：$3\gamma = 360° - 2(α + β)$
移项得：$2(α + β) = 360° - 3\gamma$
两边同除以3得：$\frac{2}{3}(α + β) = 120° - \gamma$
【答案】
B
【知识点】
光的折射定律，角度计算
【点评】
本题将光的折射规律与几何角度计算结合，关键在于明确入射角、折射角的定义，以及入射光线与液面夹角和入射角的转化，再通过几何关系推导三者的数量关系，考查学生的逻辑推理和几何应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确光的折射定律中入射角、折射角的定义：入射角是入射光线与法线的夹角，折射角是折射光线与法线的夹角。由图1可知入射角与折射角的度数比为3:2，据此可得到折射角与入射角的关系；再将图2中入射光线与液面的夹角α、β转化为对应的入射角，结合折射角与入射角的关系求出两条折射光线的折射角；最后利用几何中两条折射光线的夹角γ与两个折射角的关系，推导α、β、γ的数量关系。
【解析】
1. 确定折射角与入射角的关系：
由图1，入射角∠1与折射角∠2的度数比为3:2，因此折射角 = $\frac{2}{3}×$入射角。
2. 计算图2中两条入射光线对应的入射角：
法线垂直于水平液面，入射光线与液面的夹角为α，故对应的入射角为 $90° - α$；同理，另一入射光线对应的入射角为 $90° - β$。
3. 计算两条折射光线的折射角：
根据折射角与入射角的关系，两条折射光线对应的折射角分别为：
$r_1 = \frac{2}{3}(90° - α)$，$r_2 = \frac{2}{3}(90° - β)$。
4. 推导α、β、γ的关系：
两条法线均垂直液面，互相平行，两条折射光线分别在两条法线的两侧，因此它们的夹角γ等于两个折射角之和，即：
$\gamma = r_1 + r_2$
将$r_1$、$r_2$代入上式：
$\gamma = \frac{2}{3}(90° - α) + \frac{2}{3}(90° - β)$
化简右边：
$\gamma = \frac{2}{3}[(90° - α) + (90° - β)] = \frac{2}{3}(180° - α - β)$
整理等式：
两边同乘3得：$3\gamma = 360° - 2(α + β)$
移项得：$2(α + β) = 360° - 3\gamma$
两边同除以3得：$\frac{2}{3}(α + β) = 120° - \gamma$
【答案】
B
【知识点】
光的折射定律，角度计算
【点评】
本题将光的折射规律与几何角度计算结合，关键在于明确入射角、折射角的定义，以及入射光线与液面夹角和入射角的转化，再通过几何关系推导三者的数量关系，考查学生的逻辑推理和几何应用能力。
【难度系数】
0.5
10. 将图1中周长为12的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为26的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （
A.20
B.22
C.23
D.24
C
）A.20
B.22
C.23
D.24
答案
10.C 【解析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
∵图1中长方形的周长为12，
∴2(x+y+2x+y)+2(2x+y+y-x)=12，解得$x+y=\frac{3}{2}$。
如图，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长。
∵图2中长方形的周长为26，
∴$AB+2(x+y)+(2x+y)+y-x=13$，
∴$AB=13-3x-4y$，
∴没有覆盖的阴影部分的周长为$2(AB+AD)=2(13-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2(13-x-y)=26-2(x+y)=26-2×\frac{3}{2}=23$。
故选:C.
解析
【分析】
要解决本题，需先通过设未知数表示各正方形和长方形的边长，结合图1的周长条件求出边长的关系，再利用图2的大长方形周长推导阴影部分的周长。具体思路：1. 设1号正方形边长为$x$，2号为$y$，依次表示出3、4号正方形及5号长方形的边长；2. 根据图1长方形周长为12，列方程求出$x+y$的值；3. 分析得阴影部分周长等于图2中长方形ABCD的周长，结合图2周长为26，代入$x+y$的值计算结果。
【解析】
设1号正方形的边长为$x$，2号正方形的边长为$y$，则：
3号正方形的边长为$x+y$，4号正方形的边长为$2x+y$，5号长方形的长为$3x+y$，宽为$y-x$。
∵图1中长方形的周长为12，
∴$2[(x+y)+(2x+y)] + 2[(2x+y)+(y-x)] = 12$，化简得$x+y=\frac{3}{2}$。
观察图2，没有覆盖的阴影部分的周长等于四边形ABCD的周长。
∵图2中长方形的周长为26，
∴$AB + AD = \frac{26}{2}=13$。
推导得阴影部分周长为$2(AB+AD)=26 - 2(x+y)$，代入$x+y=\frac{3}{2}$，得：
$26 - 2×\frac{3}{2}=23$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
长方形周长计算、正方形边长关系、代数式化简求值
【点评】
本题通过设未知数建立图形边长的联系，结合两个长方形的周长条件推导阴影部分周长，关键在于理清各图形边长的关系，找到$x+y$的值，难度适中，需具备几何分析与代数运算能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先通过设未知数表示各正方形和长方形的边长，结合图1的周长条件求出边长的关系，再利用图2的大长方形周长推导阴影部分的周长。具体思路：1. 设1号正方形边长为$x$，2号为$y$，依次表示出3、4号正方形及5号长方形的边长；2. 根据图1长方形周长为12，列方程求出$x+y$的值；3. 分析得阴影部分周长等于图2中长方形ABCD的周长，结合图2周长为26，代入$x+y$的值计算结果。
【解析】
设1号正方形的边长为$x$，2号正方形的边长为$y$，则：
3号正方形的边长为$x+y$，4号正方形的边长为$2x+y$，5号长方形的长为$3x+y$，宽为$y-x$。
∵图1中长方形的周长为12，
∴$2[(x+y)+(2x+y)] + 2[(2x+y)+(y-x)] = 12$，化简得$x+y=\frac{3}{2}$。
观察图2，没有覆盖的阴影部分的周长等于四边形ABCD的周长。
∵图2中长方形的周长为26，
∴$AB + AD = \frac{26}{2}=13$。
推导得阴影部分周长为$2(AB+AD)=26 - 2(x+y)$，代入$x+y=\frac{3}{2}$，得：
$26 - 2×\frac{3}{2}=23$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
长方形周长计算、正方形边长关系、代数式化简求值
【点评】
本题通过设未知数建立图形边长的联系，结合两个长方形的周长条件推导阴影部分周长，关键在于理清各图形边长的关系，找到$x+y$的值，难度适中，需具备几何分析与代数运算能力。
【难度系数】
0.5
二、填空题(每小题3分,共18分)
11. 若分式$\dfrac{x}{x+2}$有意义,则$x$应满足________.
11. 若分式$\dfrac{x}{x+2}$有意义,则$x$应满足________.
答案
11.$x≠-2$
解析
【分析】要确定分式有意义时x的取值，需明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式$\dfrac{x}{x+2}$的分母是$x+2$，因此只需让分母不等于0，解对应的不等式就能得到x满足的条件。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可得$x + 2 ≠ 0$，解得$x ≠ -2$。
【答案】$x≠-2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，难度较低，主要考察学生对分式概念的基础理解。
【难度系数】0.9
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可得$x + 2 ≠ 0$，解得$x ≠ -2$。
【答案】$x≠-2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，难度较低，主要考察学生对分式概念的基础理解。
【难度系数】0.9
12. 计算：$(-m)^{2} ÷ m = \_\_\_\_\_\_$.
答案
12.$m$
解析
【分析】先计算乘方项$(-m)^2$，根据积的乘方法则，负数的平方结果为正，得到$(-m)^2 = m^2$；再依据同底数幂的除法法则，同底数幂相除时底数不变、指数相减，计算$m^2 ÷ m$即可得出最终结果。
【解析】解：$(-m)^2 ÷ m = m^2 ÷ m = m^{2-1} = m$。
【答案】$m$
【知识点】积的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题是幂运算的基础题型，核心考察积的乘方和同底数幂的除法法则，属于代数运算中必须熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】解：$(-m)^2 ÷ m = m^2 ÷ m = m^{2-1} = m$。
【答案】$m$
【知识点】积的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题是幂运算的基础题型，核心考察积的乘方和同底数幂的除法法则，属于代数运算中必须熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
