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13. 某班级有45名学生在期中考试学情分析中，分数段在70～79分的频率为0.4，则该班级在这个分数段内的学生有
18
名。答案
13.18
解析
【分析】首先明确统计中频率、频数、总数的关系：频数=总数×频率。本题中班级总学生数是总数，70～79分的频率已知，要求该分数段的学生数（即频数），直接用总数乘以对应频率即可计算。
【解析】根据“频数 = 总数 × 频率”，代入数据计算：$45 × 0.4 = 18$（名）。
【答案】18
【知识点】频数与频率
【点评】本题考查频数和频率的基本计算，属于统计部分的基础题型，只要掌握三者的关系就能轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据“频数 = 总数 × 频率”，代入数据计算：$45 × 0.4 = 18$（名）。
【答案】18
【知识点】频数与频率
【点评】本题考查频数和频率的基本计算，属于统计部分的基础题型，只要掌握三者的关系就能轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.9
14. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x}{x-5}=3-\frac{a}{x-5}$ 无解，则 $ a=\_\_\_\_\_\_ $.
答案
14.$-10$
解析
【分析】
要解决分式方程无解的问题，需先将分式方程转化为整式方程，再结合分式方程增根的性质分析：分式方程无解的常见情况是转化后的整式方程的解为原分式方程的增根（即使分母为0的根）。首先确定原方程的最简公分母为$x-5$，因此增根为$x=5$；再通过去分母得到整式方程，解出整式方程的解，令其等于增根即可求出参数$a$的值。
【解析】
1. 去分母：原方程两边同乘最简公分母$x-5$（$x≠5$），得：
$2x = 3(x - 5) - a$
2. 整理整式方程：
展开右边：$2x = 3x - 15 - a$
移项合并同类项：$-x = -15 - a$
解得：$x = 15 + a$
3. 分析无解条件：原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，即$x=5$，代入得：
$15 + a = 5$
解得：$a = -10$
【答案】
$-10$
【知识点】
分式方程无解、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的应用，核心是理解增根的概念（使分式方程分母为0的根），需注意分式方程无解时，增根是关键突破口，避免直接求解整式方程忽略分母限制的错误，属于分式方程的基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程无解的问题，需先将分式方程转化为整式方程，再结合分式方程增根的性质分析：分式方程无解的常见情况是转化后的整式方程的解为原分式方程的增根（即使分母为0的根）。首先确定原方程的最简公分母为$x-5$，因此增根为$x=5$；再通过去分母得到整式方程，解出整式方程的解，令其等于增根即可求出参数$a$的值。
【解析】
1. 去分母：原方程两边同乘最简公分母$x-5$（$x≠5$），得：
$2x = 3(x - 5) - a$
2. 整理整式方程：
展开右边：$2x = 3x - 15 - a$
移项合并同类项：$-x = -15 - a$
解得：$x = 15 + a$
3. 分析无解条件：原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，即$x=5$，代入得：
$15 + a = 5$
解得：$a = -10$
【答案】
$-10$
【知识点】
分式方程无解、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的应用，核心是理解增根的概念（使分式方程分母为0的根），需注意分式方程无解时，增根是关键突破口，避免直接求解整式方程忽略分母限制的错误，属于分式方程的基础应用题型。
【难度系数】
0.5
15. 已知实数$a,b$，定义运算：$a※b=\begin{cases} a^b & (a＞b,且a≠0) \\ b^a & (a≤b,且a≠0) \end{cases}$，若$a※(a-3)=1$，则$a=\_\_\_\_\_\_$。
答案
15.3或1或$-1$
解析
【分析】首先根据新运算的分段定义，分两种情况讨论a与(a-3)的大小关系，结合指数幂等于1的条件求解，同时注意a≠0的限制。第一步，判断两种情况是否成立：第一种情况a ＞ a-3恒成立，只需满足a≠0；第二种情况a ≤ a-3化简后无解，故仅需在第一种情况中，利用a^x=1的三类特殊情形（底数为1、底数为-1且指数为偶数、指数为0且底数非0）计算a的值。
【解析】根据新运算定义，分情况讨论：
1. 当a ＞ a-3且a≠0时，显然a ＞ a-3恒成立，故只需a≠0，此时a※(a-3)=a^(a-3)=1。
对a^(a-3)=1分情况求解：
若a=1，则1^(1-3)=1^(-2)=1，满足条件；
若a=-1，指数a-3=-4（偶数），则$(-1)^(-4)=1/(-1)^4=1$，满足条件；
若指数a-3=0，即a=3，此时底数3≠0，$3^0=1$，满足条件。
2. 当a ≤ a-3且a≠0时，化简得0 ≤ -3，该不等式无解，此情况无符合条件的a。
综上，a的值为3、1、-1。
【答案】3或1或-1
【知识点】新定义运算、指数幂的性质
【点评】本题结合新定义运算考查指数幂的特殊性质，关键是根据分段条件分类讨论，需完整掌握a^x=1的三类情形，避免漏解。
【难度系数】0.5
【解析】根据新运算定义，分情况讨论：
1. 当a ＞ a-3且a≠0时，显然a ＞ a-3恒成立，故只需a≠0，此时a※(a-3)=a^(a-3)=1。
对a^(a-3)=1分情况求解：
若a=1，则1^(1-3)=1^(-2)=1，满足条件；
若a=-1，指数a-3=-4（偶数），则$(-1)^(-4)=1/(-1)^4=1$，满足条件；
若指数a-3=0，即a=3，此时底数3≠0，$3^0=1$，满足条件。
2. 当a ≤ a-3且a≠0时，化简得0 ≤ -3，该不等式无解，此情况无符合条件的a。
综上，a的值为3、1、-1。
【答案】3或1或-1
【知识点】新定义运算、指数幂的性质
【点评】本题结合新定义运算考查指数幂的特殊性质，关键是根据分段条件分类讨论，需完整掌握a^x=1的三类情形，避免漏解。
【难度系数】0.5
16. 如图,边长分别为$ a $和$ b(a＞b) $的两个正方形紧贴摆放.设阴影面积为$ S $.如图1,若$ b=3 $,则$ S $的值是________;如图2,若$ a-b=2,a^2+b^2=8 $,则$ S^2 $的值是________.
答案
16.$\frac{9}{2}$ 12 【解析】$S=S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{\mathrm{正方形}CEFG}-S_{△ ABE}-S_{△ ADG}-S_{△ GFE}$
$=a^2+b^2-\frac{1}{2}a(a+b)-\frac{1}{2}a(a-b)-\frac{1}{2}b^2$
$=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2$
$=(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})a^2+(1-\frac{1}{2})b^2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})ab$
$=\frac{1}{2}b^2$，
当$b=3$时，$S=\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$；
$S=S_{△ ADG}+S_{△ DGF}$
$=\frac{1}{2}AD·DG+\frac{1}{2}GF·DG$
$=\frac{1}{2}a(a-b)+\frac{1}{2}b(a-b)$
$=\frac{1}{2}(a+b)(a-b)$，
$\therefore S^2=[\frac{1}{2}(a-b)(a+b)]^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a^2+2ab+b^2)$。
$\because a-b=2$，
$\therefore (a-b)^2=2^2=4$，
$\therefore a^2+b^2-2ab=4$。
$\because a^2+b^2=8$，
$\therefore 8-2ab=4$，解得$ab=2$，
$\therefore S^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a^2+2ab+b^2)$
$=\frac{1}{4}×4×(8+2×2)$
$=\frac{1}{4}×4×12$
$=12$。
故答案为:$\frac{9}{2},12$。
$=a^2+b^2-\frac{1}{2}a(a+b)-\frac{1}{2}a(a-b)-\frac{1}{2}b^2$
$=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2$
$=(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})a^2+(1-\frac{1}{2})b^2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})ab$
$=\frac{1}{2}b^2$，
当$b=3$时，$S=\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$；
$S=S_{△ ADG}+S_{△ DGF}$
$=\frac{1}{2}AD·DG+\frac{1}{2}GF·DG$
$=\frac{1}{2}a(a-b)+\frac{1}{2}b(a-b)$
$=\frac{1}{2}(a+b)(a-b)$，
$\therefore S^2=[\frac{1}{2}(a-b)(a+b)]^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a^2+2ab+b^2)$。
$\because a-b=2$，
$\therefore (a-b)^2=2^2=4$，
$\therefore a^2+b^2-2ab=4$。
$\because a^2+b^2=8$，
$\therefore 8-2ab=4$，解得$ab=2$，
$\therefore S^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a^2+2ab+b^2)$
$=\frac{1}{4}×4×(8+2×2)$
$=\frac{1}{4}×4×12$
$=12$。
故答案为:$\frac{9}{2},12$。
解析
【分析】
本题需分别求解图1和图2的阴影面积：图1采用“总面积减空白面积”的割补法，用两个正方形的面积和减去周围三个三角形的面积推导公式；图2将阴影拆分为两个三角形，计算面积和推导公式，再代入已知条件计算结果。
【解析】
图1的阴影面积计算：
阴影面积 $ S $ 等于正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ CEFG $ 的面积和，减去三个空白三角形（$ △ ABE $、$ △ ADG $、$ △ GFE $）的面积：
$\begin{aligned}S &= S_{\mathrm{正方形}ABCD} + S_{\mathrm{正方形}CEFG} - S_{△ ABE} - S_{△ ADG} - S_{△ GFE} \\&= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a(a+b) - \frac{1}{2}a(a-b) - \frac{1}{2}b^2 \\&= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
当 $ b=3 $ 时，代入得 $ S = \frac{1}{2} × 3^2 = \frac{9}{2} $。
图2的阴影面积计算：
阴影面积 $ S $ 为 $ △ ADG $ 和 $ △ DGF $ 的面积和：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ADG} + S_{△ DGF} \\&= \frac{1}{2} · AD · DG + \frac{1}{2} · GF · DG \\&= \frac{1}{2}a(a-b) + \frac{1}{2}b(a-b) \\&= \frac{1}{2}(a-b)(a+b)\end{aligned}$
因此 $ S^2 = [ \frac{1}{2}(a-b)(a+b) ]^2 = \frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2 $。
已知 $ a-b=2 $，则 $ (a-b)^2=4 $；又 $ a^2 + b^2=8 $，由 $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $，得 $ 4 = 8 - 2ab $，解得 $ ab=2 $。
而 $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 8 + 2 × 2 =12 $，代入得：
$S^2 = \frac{1}{4} × 4 × 12 =12$
【答案】
$\frac{9}{2}$；$12$
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积计算，整式运算
【点评】
本题是几何与代数的综合题，通过割补法推导阴影面积公式，需熟练运用面积公式和完全平方公式变形，考查学生的图形分析与代数运算能力。
【难度系数】
0.5
本题需分别求解图1和图2的阴影面积：图1采用“总面积减空白面积”的割补法，用两个正方形的面积和减去周围三个三角形的面积推导公式；图2将阴影拆分为两个三角形，计算面积和推导公式，再代入已知条件计算结果。
【解析】
图1的阴影面积计算：
阴影面积 $ S $ 等于正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ CEFG $ 的面积和，减去三个空白三角形（$ △ ABE $、$ △ ADG $、$ △ GFE $）的面积：
$\begin{aligned}S &= S_{\mathrm{正方形}ABCD} + S_{\mathrm{正方形}CEFG} - S_{△ ABE} - S_{△ ADG} - S_{△ GFE} \\&= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a(a+b) - \frac{1}{2}a(a-b) - \frac{1}{2}b^2 \\&= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
当 $ b=3 $ 时，代入得 $ S = \frac{1}{2} × 3^2 = \frac{9}{2} $。
图2的阴影面积计算：
阴影面积 $ S $ 为 $ △ ADG $ 和 $ △ DGF $ 的面积和：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ADG} + S_{△ DGF} \\&= \frac{1}{2} · AD · DG + \frac{1}{2} · GF · DG \\&= \frac{1}{2}a(a-b) + \frac{1}{2}b(a-b) \\&= \frac{1}{2}(a-b)(a+b)\end{aligned}$
因此 $ S^2 = [ \frac{1}{2}(a-b)(a+b) ]^2 = \frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2 $。
已知 $ a-b=2 $，则 $ (a-b)^2=4 $；又 $ a^2 + b^2=8 $，由 $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $，得 $ 4 = 8 - 2ab $，解得 $ ab=2 $。
而 $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 8 + 2 × 2 =12 $，代入得：
$S^2 = \frac{1}{4} × 4 × 12 =12$
【答案】
$\frac{9}{2}$；$12$
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积计算，整式运算
【点评】
本题是几何与代数的综合题，通过割补法推导阴影面积公式，需熟练运用面积公式和完全平方公式变形，考查学生的图形分析与代数运算能力。
【难度系数】
0.5
三、解答题(第17~21题各8分,第22、23题各10分,第24题12分,共72分)
17. 分解因式:
(1)$x^2 - 4xy$.
(2)$2x^2 - 4x + 2$.
17. 分解因式:
(1)$x^2 - 4xy$.
(2)$2x^2 - 4x + 2$.
答案
17. (1)解:原式$=x(x-4y)$.(4分)
(2)解:原式$=2(x^2-2x+1)$(2分)
$=2(x-1)^2$.(4分)
(2)解:原式$=2(x^2-2x+1)$(2分)
$=2(x-1)^2$.(4分)
解析
【分析】
分解因式的目标是将多项式转化为几个整式乘积的形式，本题两小问分别考查提公因式法、提公因式结合完全平方公式的应用。第(1)问，观察多项式各项的公因式，提取公因式即可完成分解；第(2)问，先提取各项的公因式，再利用完全平方公式对剩余多项式进一步分解。
【解析】
(1) 多项式$x^2 - 4xy$的各项公因式为$x$，提取公因式得：
原式$=x(x - 4y)$；
(2) 先提取多项式$2x^2 - 4x + 2$的公因式$2$，得到$2(x^2 - 2x + 1)$，而$x^2 - 2x + 1$符合完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$（此处$a=x$，$b=1$），因此：
原式$=2(x^2 - 2x + 1)=2(x - 1)^2$。
【答案】
17. (1)解:原式$=x(x-4y)$.(4分)(2)解:原式$=2(x^2-2x+1)$(2分)$=2(x-1)^2$.(4分)
【知识点】
提公因式法分解因式；公式法分解因式（完全平方公式）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，属于常规基础题，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题核心，适合巩固因式分解的基本技能。
【难度系数】
0.8
分解因式的目标是将多项式转化为几个整式乘积的形式，本题两小问分别考查提公因式法、提公因式结合完全平方公式的应用。第(1)问，观察多项式各项的公因式，提取公因式即可完成分解；第(2)问，先提取各项的公因式，再利用完全平方公式对剩余多项式进一步分解。
【解析】
(1) 多项式$x^2 - 4xy$的各项公因式为$x$，提取公因式得：
原式$=x(x - 4y)$；
(2) 先提取多项式$2x^2 - 4x + 2$的公因式$2$，得到$2(x^2 - 2x + 1)$，而$x^2 - 2x + 1$符合完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$（此处$a=x$，$b=1$），因此：
原式$=2(x^2 - 2x + 1)=2(x - 1)^2$。
【答案】
17. (1)解:原式$=x(x-4y)$.(4分)(2)解:原式$=2(x^2-2x+1)$(2分)$=2(x-1)^2$.(4分)
【知识点】
提公因式法分解因式；公式法分解因式（完全平方公式）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，属于常规基础题，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题核心，适合巩固因式分解的基本技能。
【难度系数】
0.8
18. 解方程(组):
(1)$\begin{cases}2s + 3t = 2, \\2s - 6t = -1.\end{cases}$
(2)$\dfrac{3}{1 - y} = \dfrac{y}{y - 1} - 5.$
(1)$\begin{cases}2s + 3t = 2, \\2s - 6t = -1.\end{cases}$
(2)$\dfrac{3}{1 - y} = \dfrac{y}{y - 1} - 5.$
答案
18. (1)解:$\begin{cases}2s + 3t = 2, ①\\2s - 6t = -1.②\end{cases}$
由①$-$②,得$9t=3$，
解得$t=\frac{1}{3}$。
将$t=\frac{1}{3}$代入①,可得$s=\frac{1}{2}$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}t=\frac{1}{3},\\s=\frac{1}{2}.\end{cases}$(4分)
(2)解:$\frac{3}{1-y}=\frac{y}{y-1}-5$，
两边同乘$y-1$,得$-3=y-5(y-1)$，
去括号,得$-3=y-5y+5$，
移项,合并得$4y=8$，
系数化为1,得$y=2$.(3分)
经检验,$y=2$是方程的根。
$\therefore$原方程的解为$y=2$.(4分)
由①$-$②,得$9t=3$，
解得$t=\frac{1}{3}$。
将$t=\frac{1}{3}$代入①,可得$s=\frac{1}{2}$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}t=\frac{1}{3},\\s=\frac{1}{2}.\end{cases}$(4分)
(2)解:$\frac{3}{1-y}=\frac{y}{y-1}-5$，
两边同乘$y-1$,得$-3=y-5(y-1)$，
去括号,得$-3=y-5y+5$，
移项,合并得$4y=8$，
系数化为1,得$y=2$.(3分)
经检验,$y=2$是方程的根。
$\therefore$原方程的解为$y=2$.(4分)
解析
【分析】
对于二元一次方程组，观察两个方程中s的系数相等，适合用加减消元法，通过两式相减消去s，先求出t的值，再将t代入原方程求出s的值；对于分式方程，先利用分式的基本性质将分母化为相同形式，找到最简公分母y-1，去分母转化为整式方程，解整式方程后必须检验，避免产生增根。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2s + 3t = 2, ①\\2s - 6t = -1.②\end{cases}$
① - ②，得：$(2s + 3t) - (2s - 6t) = 2 - (-1)$，
化简得：$9t = 3$，
解得：$t = \frac{1}{3}$。
将$t = \frac{1}{3}$代入①，得：$2s + 3×\frac{1}{3} = 2$，
解得：$s = \frac{1}{2}$。
∴原方程组的解为$\begin{cases}s = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{3}\end{cases}$。
(2) 解分式方程$\frac{3}{1 - y} = \frac{y}{y - 1} - 5$，
两边同乘最简公分母$y - 1$，得：$-3 = y - 5(y - 1)$，
去括号，得：$-3 = y - 5y + 5$，
移项、合并同类项，得：$4y = 8$，
系数化为1，得：$y = 2$。
检验：当$y = 2$时，$y - 1 = 1 ≠ 0$，所以$y = 2$是原方程的根。
∴原方程的解为$y = 2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}s = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{3}\end{cases}$；(2) $y = 2$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查初中数学基础的解方程（组），加减消元法是解二元一次方程组的核心方法，分式方程需注意去分母时的符号变化及检验增根的步骤，是学生必须掌握的基础内容，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
对于二元一次方程组，观察两个方程中s的系数相等，适合用加减消元法，通过两式相减消去s，先求出t的值，再将t代入原方程求出s的值；对于分式方程，先利用分式的基本性质将分母化为相同形式，找到最简公分母y-1，去分母转化为整式方程，解整式方程后必须检验，避免产生增根。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2s + 3t = 2, ①\\2s - 6t = -1.②\end{cases}$
① - ②，得：$(2s + 3t) - (2s - 6t) = 2 - (-1)$，
化简得：$9t = 3$，
解得：$t = \frac{1}{3}$。
将$t = \frac{1}{3}$代入①，得：$2s + 3×\frac{1}{3} = 2$，
解得：$s = \frac{1}{2}$。
∴原方程组的解为$\begin{cases}s = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{3}\end{cases}$。
(2) 解分式方程$\frac{3}{1 - y} = \frac{y}{y - 1} - 5$，
两边同乘最简公分母$y - 1$，得：$-3 = y - 5(y - 1)$，
去括号，得：$-3 = y - 5y + 5$，
移项、合并同类项，得：$4y = 8$，
系数化为1，得：$y = 2$。
检验：当$y = 2$时，$y - 1 = 1 ≠ 0$，所以$y = 2$是原方程的根。
∴原方程的解为$y = 2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}s = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{3}\end{cases}$；(2) $y = 2$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查初中数学基础的解方程（组），加减消元法是解二元一次方程组的核心方法，分式方程需注意去分母时的符号变化及检验增根的步骤，是学生必须掌握的基础内容，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
