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13. (代数推理)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x+2y=5-2a, \\ x-y=4a-1, \end{cases}$证明无论$a$取何值，$x,y$的值不可能互为相反数.
答案
13.证明:解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=2-2a. \end{cases} \therefore x+y=3$.
∴无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
∴无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
解析
【分析】
要证明无论a取何值，x、y不可能互为相反数，首先明确互为相反数的两个数之和为0，因此我们可以先解出方程组中用a表示的x、y的表达式，再计算x+y的结果，判断其是否可能等于0即可。具体步骤为：先用加减消元法解二元一次方程组，得到x、y关于a的代数式，再求和分析。
【解析】
证明：
第一步，解原方程组：
$\begin{cases} x+2y=5-2a \quad ① \\ x-y=4a-1 \quad ② \end{cases}$
用①-②消去x，可得：
$(x+2y)-(x-y)=(5-2a)-(4a-1)$
化简得：$3y=6-6a$，解得$y=2-2a$。
把$y=2-2a$代入②式，得：
$x-(2-2a)=4a-1$
解得$x=2a+1$。
第二步，计算$x+y$的值：
$x+y=(2a+1)+(2-2a)=3$。
因为互为相反数的两数之和为0，而无论a取何值，$x+y=3≠0$，因此x、y的值不可能互为相反数。
【答案】
证明:解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=2-2a. \end{cases}$ $\therefore x+y=3$.
∴无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质
【点评】
本题将二元一次方程组的求解与相反数的性质结合考查，解题关键是先通过消元法用参数a表示出x、y的表达式，再通过计算x+y的定值推导结论，属于代数推理的基础题型，掌握基础运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要证明无论a取何值，x、y不可能互为相反数，首先明确互为相反数的两个数之和为0，因此我们可以先解出方程组中用a表示的x、y的表达式，再计算x+y的结果，判断其是否可能等于0即可。具体步骤为：先用加减消元法解二元一次方程组，得到x、y关于a的代数式，再求和分析。
【解析】
证明：
第一步，解原方程组：
$\begin{cases} x+2y=5-2a \quad ① \\ x-y=4a-1 \quad ② \end{cases}$
用①-②消去x，可得：
$(x+2y)-(x-y)=(5-2a)-(4a-1)$
化简得：$3y=6-6a$，解得$y=2-2a$。
把$y=2-2a$代入②式，得：
$x-(2-2a)=4a-1$
解得$x=2a+1$。
第二步，计算$x+y$的值：
$x+y=(2a+1)+(2-2a)=3$。
因为互为相反数的两数之和为0，而无论a取何值，$x+y=3≠0$，因此x、y的值不可能互为相反数。
【答案】
证明:解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=2-2a. \end{cases}$ $\therefore x+y=3$.
∴无论$a$取何值,$x$,$y$的值不可能互为相反数.
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质
【点评】
本题将二元一次方程组的求解与相反数的性质结合考查，解题关键是先通过消元法用参数a表示出x、y的表达式，再通过计算x+y的定值推导结论，属于代数推理的基础题型，掌握基础运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
14.随着农业技术的高速发展,新农机、新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢.装有北斗卫星导航系统的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度.现有某种型号的无人驾驶插秧机若干台和农田若干亩,若插秧机的速度为每天插秧45亩,则工作5天后还剩400亩农田未插秧;若插秧机的速度为每天插秧50亩,则工作6天后还剩100亩农田未插秧.有几台插秧机和多少亩农田？
答案
14.解:设有$x$台插秧机,$y$亩农田,根据题意,得$\begin{cases} 5×45x+400=y, \\ 6×50x+100=y. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=1\ 300. \end{cases}$
答:有4台插秧机,1 300亩农田.
答:有4台插秧机,1 300亩农田.
解析
【分析】
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题时首先要明确题目中的两个未知量：插秧机的台数和农田总亩数，可分别设为未知数，再从题干给出的两种插秧情况中找到两个等量关系：①每台每天插秧45亩时，x台5天的插秧总面积+剩余400亩=农田总亩数；②每台每天插秧50亩时，x台6天的插秧总面积+剩余100亩=农田总亩数，根据这两个等量关系列出方程组，求解即可得到答案。
【解析】
解：设有$x$台插秧机，$y$亩农田，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 5×45x+400=y \\ 6×50x+100=y \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases} 225x + 400 = y \quad① \\ 300x + 100 = y \quad② \end{cases}$
将①代入②得：$225x + 400 = 300x + 100$
移项计算：$75x = 300$，解得$x=4$
把$x=4$代入①得：$y=225×4 + 400 = 1300$
经检验，$x=4$、$y=1300$符合题意。
【答案】
有4台插秧机，1300亩农田。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题贴近生活实际，核心考查从题干信息中提取等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确把握总农田亩数不变这一隐含条件，列对方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题时首先要明确题目中的两个未知量：插秧机的台数和农田总亩数，可分别设为未知数，再从题干给出的两种插秧情况中找到两个等量关系：①每台每天插秧45亩时，x台5天的插秧总面积+剩余400亩=农田总亩数；②每台每天插秧50亩时，x台6天的插秧总面积+剩余100亩=农田总亩数，根据这两个等量关系列出方程组，求解即可得到答案。
【解析】
解：设有$x$台插秧机，$y$亩农田，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 5×45x+400=y \\ 6×50x+100=y \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases} 225x + 400 = y \quad① \\ 300x + 100 = y \quad② \end{cases}$
将①代入②得：$225x + 400 = 300x + 100$
移项计算：$75x = 300$，解得$x=4$
把$x=4$代入①得：$y=225×4 + 400 = 1300$
经检验，$x=4$、$y=1300$符合题意。
【答案】
有4台插秧机，1300亩农田。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题贴近生活实际，核心考查从题干信息中提取等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确把握总农田亩数不变这一隐含条件，列对方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15.某公司销售A,B两种设备,第一季度共卖出2 200台.第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多6%,卖出B种设备的数量比第一季度少5%,两种设备的总销量增加了110台.第一季度两种设备各卖了多少台?
答案
15.解:设第一季度A种设备卖了$x$台,B种设备卖了$y$台,
根据题意,得$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=200. \end{cases}$
答:第一季度A种设备卖了2 000台,B种设备卖了200台.
根据题意,得$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=200. \end{cases}$
答:第一季度A种设备卖了2 000台,B种设备卖了200台.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步，设未知数，分别设第一季度A、B两种设备的销量为x台、y台；第二步，找等量关系：第一个等量关系为第一季度A设备销量加B设备销量等于2200台，第二个等量关系为第二季度A设备销量（比第一季度多6%，即第一季度的106%）加第二季度B设备销量（比第一季度少5%，即第一季度的95%）等于第一季度总销量加增加的110台；第三步，根据等量关系列方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设第一季度A种设备卖了$x$台，B种设备卖了$y$台。
根据题意，得：
$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$
整理第二个方程得：$1.06x+0.95y=2310$
由第一个方程得$y=2200-x$，代入第二个方程：
$1.06x+0.95×(2200-x)=2310$
$1.06x+2090-0.95x=2310$
$0.11x=220$
解得$x=2000$
将$x=2000$代入$y=2200-x$，得$y=200$
即方程组的解为$\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=200. \end{cases}$
答：第一季度A种设备卖了2 000台，B种设备卖了200台。
【答案】
第一季度A种设备卖了2000台，B种设备卖了200台。
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分数的实际应用
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是将题干中的文字信息转化为数学等量关系，列方程组求解，计算时要注意百分数和小数的正确转化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步，设未知数，分别设第一季度A、B两种设备的销量为x台、y台；第二步，找等量关系：第一个等量关系为第一季度A设备销量加B设备销量等于2200台，第二个等量关系为第二季度A设备销量（比第一季度多6%，即第一季度的106%）加第二季度B设备销量（比第一季度少5%，即第一季度的95%）等于第一季度总销量加增加的110台；第三步，根据等量关系列方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设第一季度A种设备卖了$x$台，B种设备卖了$y$台。
根据题意，得：
$\begin{cases} x+y=2\ 200, \\ (1+6\%)x+(1-5\%)y=2\ 200+110. \end{cases}$
整理第二个方程得：$1.06x+0.95y=2310$
由第一个方程得$y=2200-x$，代入第二个方程：
$1.06x+0.95×(2200-x)=2310$
$1.06x+2090-0.95x=2310$
$0.11x=220$
解得$x=2000$
将$x=2000$代入$y=2200-x$，得$y=200$
即方程组的解为$\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=200. \end{cases}$
答：第一季度A种设备卖了2 000台，B种设备卖了200台。
【答案】
第一季度A种设备卖了2000台，B种设备卖了200台。
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分数的实际应用
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是将题干中的文字信息转化为数学等量关系，列方程组求解，计算时要注意百分数和小数的正确转化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
16.已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a, \\x-y=3a,\end{cases}$有下列结论:①当这个方程组的解$x$，$y$互为相反数时，$a=-2$；②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；④若用$x$表示$y$，则$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$。其中正确的是（ ）
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①③④
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①③④
答案
16.D
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，首先可以通过解二元一次方程组，用含a的代数式表示出x和y，再将x、y的表达式分别代入四个结论中逐一验证即可。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}x+3y=4-a&① \\x-y=3a&②\end{cases}$
用①-②消去x，得：$(x+3y)-(x-y)=(4-a)-3a$
化简得：$4y=4-4a$，解得$y=1-a$
把$y=1-a$代入②，得：$x-(1-a)=3a$
解得$x=2a+1$
即方程组的解为$\begin{cases}x=2a+1 \\y=1-a\end{cases}$
接下来逐一验证结论：
①若x、y互为相反数，则$x+y=0$，代入得：$(2a+1)+(1-a)=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，此时$x+y=3$，而方程$x+y=4+2a$右边为$4+2×1=6$，$3≠6$，故②错误；
③计算$x+2y$，代入得：$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，值恒为3，与a无关，故③正确；
④用x表示y：由$x=2a+1$得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得$y=1-\frac{x-1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程组的解；代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的综合类题目，解题的核心是先求出方程组用参数a表示的通解，再结合各结论的条件逐一计算验证，计算过程中需注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
要判断四个结论是否正确，首先可以通过解二元一次方程组，用含a的代数式表示出x和y，再将x、y的表达式分别代入四个结论中逐一验证即可。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}x+3y=4-a&① \\x-y=3a&②\end{cases}$
用①-②消去x，得：$(x+3y)-(x-y)=(4-a)-3a$
化简得：$4y=4-4a$，解得$y=1-a$
把$y=1-a$代入②，得：$x-(1-a)=3a$
解得$x=2a+1$
即方程组的解为$\begin{cases}x=2a+1 \\y=1-a\end{cases}$
接下来逐一验证结论：
①若x、y互为相反数，则$x+y=0$，代入得：$(2a+1)+(1-a)=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，此时$x+y=3$，而方程$x+y=4+2a$右边为$4+2×1=6$，$3≠6$，故②错误；
③计算$x+2y$，代入得：$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，值恒为3，与a无关，故③正确；
④用x表示y：由$x=2a+1$得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得$y=1-\frac{x-1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程组的解；代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的综合类题目，解题的核心是先求出方程组用参数a表示的通解，再结合各结论的条件逐一计算验证，计算过程中需注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
