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17. 如果实数$x,y$满足方程组$\begin{cases}x+2y=-2, \\ x-y=1,\end{cases}$那么$(2x+y)^{2025}=$ ______ .
答案
17.－1
解析
【分析】
解题时可先观察所求代数式$(2x+y)$与给定方程组中两个方程的关系，不难发现将两个方程左右两边分别相加，即可直接得到$2x+y$的值，无需单独求解$x$、$y$的数值，用整体代入法即可快速算出结果；也可以先解二元一次方程组求出$x$、$y$的值，再代入计算。
【解析】
方法一（整体代入法）：
记$\begin{cases}x+2y=-2&① \\ x-y=1&②\end{cases}$
将①+②，左右两边分别相加得：
$(x+2y)+(x-y)=-2+1$
合并同类项得：$2x+y=-1$
因为2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$。
方法二（解方程组代入法）：
记$\begin{cases}x+2y=-2&① \\ x-y=1&②\end{cases}$
由②得：$x=1+y$ ③
把③代入①得：$1+y+2y=-2$
解得：$3y=-3$，$y=-1$
把$y=-1$代入③得：$x=1+(-1)=0$
则$2x+y=2×0+(-1)=-1$
因此$(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组求解，有理数乘方运算，整体代入思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的应用和有理数乘方的计算，既可以通过常规解方程组的方法计算，也可以通过观察代数式的结构特征选择整体代入法简化运算，能有效考查学生的观察能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时可先观察所求代数式$(2x+y)$与给定方程组中两个方程的关系，不难发现将两个方程左右两边分别相加，即可直接得到$2x+y$的值，无需单独求解$x$、$y$的数值，用整体代入法即可快速算出结果；也可以先解二元一次方程组求出$x$、$y$的值，再代入计算。
【解析】
方法一（整体代入法）：
记$\begin{cases}x+2y=-2&① \\ x-y=1&②\end{cases}$
将①+②，左右两边分别相加得：
$(x+2y)+(x-y)=-2+1$
合并同类项得：$2x+y=-1$
因为2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$。
方法二（解方程组代入法）：
记$\begin{cases}x+2y=-2&① \\ x-y=1&②\end{cases}$
由②得：$x=1+y$ ③
把③代入①得：$1+y+2y=-2$
解得：$3y=-3$，$y=-1$
把$y=-1$代入③得：$x=1+(-1)=0$
则$2x+y=2×0+(-1)=-1$
因此$(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组求解，有理数乘方运算，整体代入思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的应用和有理数乘方的计算，既可以通过常规解方程组的方法计算，也可以通过观察代数式的结构特征选择整体代入法简化运算，能有效考查学生的观察能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
18. 已知关于 $ x,y $ 的方程组$\begin{cases}x+y=3k-4, \\x-y=k+2,\end{cases}$请回答下列问题.
(1)若方程组的解满足方程 $ 3x-4y=1 $,求 $ k $ 的值；
(2)证明 $ 3x-6y $ 的值与 $ k $ 无关.
(1)若方程组的解满足方程 $ 3x-4y=1 $,求 $ k $ 的值；
(2)证明 $ 3x-6y $ 的值与 $ k $ 无关.
答案
18.(1)解:$\begin{cases} x+y=3k-4,① \\ x-y=k+2,② \end{cases}$
①+②,得$2x=4k-2$. 解得$x=2k-1$.
把$x=2k-1$代入①,可得$2k-1+y=3k-4$. 解得$y=k-3$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1,y=k-3$代入$3x-4y=1$,
得$3(2k-1)-4(k-3)=1. \therefore k=-4$.
(2)证明:$\because 3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$,
$\therefore 3x-6y$的值与$k$无关.
①+②,得$2x=4k-2$. 解得$x=2k-1$.
把$x=2k-1$代入①,可得$2k-1+y=3k-4$. 解得$y=k-3$.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1,y=k-3$代入$3x-4y=1$,
得$3(2k-1)-4(k-3)=1. \therefore k=-4$.
(2)证明:$\because 3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$,
$\therefore 3x-6y$的值与$k$无关.
解析
【分析】
(1) 先解关于x、y的二元一次方程组，用加减消元法将x、y分别用含k的代数式表示；再把得到的x、y代入方程3x-4y=1，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 要证明3x-6y的值与k无关，只需将用k表示的x、y代入3x-6y中，化简代数式，若最终结果不含k，即可说明其值与k无关。
【解析】
(1) 已知方程组$\begin{cases} x+y=3k-4,① \\ x-y=k+2,② \end{cases}$
①+②，得$2x=4k-2$，解得$x=2k-1$。
把$x=2k-1$代入①，可得$2k-1+y=3k-4$，解得$y=k-3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1,y=k-3$代入$3x-4y=1$，得$3(2k-1)-4(k-3)=1$，
展开整理得$2k+9=1$，解得$k=-4$。
(2) 证明：将$x=2k-1$，$y=k-3$代入$3x-6y$，得
$3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$，
化简结果为常数15，不含参数k，
∴$3x-6y$的值与$k$无关。
【答案】
(1) $k=-4$；(2) $3x-6y$的值为固定常数15，与$k$无关，得证。
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次方程的求解；代数式化简
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，解题关键是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再代入目标式运算，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8
(1) 先解关于x、y的二元一次方程组，用加减消元法将x、y分别用含k的代数式表示；再把得到的x、y代入方程3x-4y=1，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
(2) 要证明3x-6y的值与k无关，只需将用k表示的x、y代入3x-6y中，化简代数式，若最终结果不含k，即可说明其值与k无关。
【解析】
(1) 已知方程组$\begin{cases} x+y=3k-4,① \\ x-y=k+2,② \end{cases}$
①+②，得$2x=4k-2$，解得$x=2k-1$。
把$x=2k-1$代入①，可得$2k-1+y=3k-4$，解得$y=k-3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2k-1, \\ y=k-3. \end{cases}$
把$x=2k-1,y=k-3$代入$3x-4y=1$，得$3(2k-1)-4(k-3)=1$，
展开整理得$2k+9=1$，解得$k=-4$。
(2) 证明：将$x=2k-1$，$y=k-3$代入$3x-6y$，得
$3x-6y=3(2k-1)-6(k-3)=6k-3-6k+18=15$，
化简结果为常数15，不含参数k，
∴$3x-6y$的值与$k$无关。
【答案】
(1) $k=-4$；(2) $3x-6y$的值为固定常数15，与$k$无关，得证。
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次方程的求解；代数式化简
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，解题关键是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再代入目标式运算，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8
19.某旅行社拟暑假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下：
已知甲校报名参加的学生多于100人，乙校报名参加的学生少于100人。经核算，若两校分别组团共需花费46 000元，若两校联合组团只需花费39 000元。
（1）两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200吗？为什么？
（2）两所学校报名参加研学游的学生各有多少人？
已知甲校报名参加的学生多于100人，乙校报名参加的学生少于100人。经核算，若两校分别组团共需花费46 000元，若两校联合组团只需花费39 000元。
（1）两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200吗？为什么？
（2）两所学校报名参加研学游的学生各有多少人？
答案
19.解:(1)两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200,理由如下:
假设两校总人数不超过200,$39\ 000÷(200×0.85)=\dfrac{3\ 900}{17}$,
$\because \dfrac{3\ 900}{17}＞200$,与假设矛盾.$\therefore$两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200.
(2)设甲校报名参加研学游的学生有$x$人,乙校报名参加研学游的学生有$y$人,
当$100＜x≤ 200$时,$\begin{cases} 200×85\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=170, \\ y=90; \end{cases}$
当$x＞200$时,$\begin{cases} 200×75\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=85, \\ y=175 \end{cases}$(不符合题意,舍去).
答:甲校报名参加研学游的学生有170人,乙校报名参加研学游的学生有90人.
假设两校总人数不超过200,$39\ 000÷(200×0.85)=\dfrac{3\ 900}{17}$,
$\because \dfrac{3\ 900}{17}＞200$,与假设矛盾.$\therefore$两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200.
(2)设甲校报名参加研学游的学生有$x$人,乙校报名参加研学游的学生有$y$人,
当$100＜x≤ 200$时,$\begin{cases} 200×85\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=170, \\ y=90; \end{cases}$
当$x＞200$时,$\begin{cases} 200×75\%x+200×95\%y=46\ 000, \\ 200×75\%(x+y)=39\ 000. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=85, \\ y=175 \end{cases}$(不符合题意,舍去).
答:甲校报名参加研学游的学生有170人,乙校报名参加研学游的学生有90人.
解析
【分析】
（1）判断两校总人数是否超过200可采用反证法：先假设总人数不超过200，按照对应八五折优惠核算总人数，若计算结果与假设矛盾，说明假设不成立；（2）求两校人数可设甲校有$x$人，乙校有$y$人，结合甲校人数多于100人的条件，分“$100＜x≤200$”和“$x＞200$”两种情况，根据分别组团、联合组团的总费用列二元一次方程组求解，最后检验解是否符合对应的人数范围，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由如下：
假设两校总人数不超过200，此时联合组团享受八五折优惠，总人数为$39000÷(200×0.85)=\frac{3900}{17}$，
$\because \frac{3900}{17}＞200$，与假设“总人数不超过200”矛盾，
$\therefore$ 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200。
(2) 设甲校报名参加研学游的学生有$x$人，乙校报名参加研学游的学生有$y$人，
由(1)可知总人数超过200，联合组团享受七五折优惠，因此总人数$x+y=39000÷(200×0.75)=260$。
① 当$100＜x≤200$时，甲校享受八五折，乙校少于100人享受九五折，列方程组：
$\begin{cases} 200×85\%x+200×95\%y=46000 \\ x+y=260 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=170 \\ y=90 \end{cases}$，符合$100＜170≤200$、$y=90＜100$的条件。
② 当$x＞200$时，甲校享受七五折，乙校享受九五折，列方程组：
$\begin{cases} 200×75\%x+200×95\%y=46000 \\ x+y=260 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=85 \\ y=175 \end{cases}$，不符合$x＞200$、$y＜100$的条件，舍去。
【答案】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由见解析；
(2) 甲校报名参加研学游的学生有170人，乙校报名参加研学游的学生有90人。
【知识点】
二元一次方程组的应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题以生活中的团购优惠为背景，考查方程思想和分类讨论思想的应用，解题时要注意根据人数对应的折扣区间列方程，求出解后需要验证是否符合题目的人数限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
（1）判断两校总人数是否超过200可采用反证法：先假设总人数不超过200，按照对应八五折优惠核算总人数，若计算结果与假设矛盾，说明假设不成立；（2）求两校人数可设甲校有$x$人，乙校有$y$人，结合甲校人数多于100人的条件，分“$100＜x≤200$”和“$x＞200$”两种情况，根据分别组团、联合组团的总费用列二元一次方程组求解，最后检验解是否符合对应的人数范围，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由如下：
假设两校总人数不超过200，此时联合组团享受八五折优惠，总人数为$39000÷(200×0.85)=\frac{3900}{17}$，
$\because \frac{3900}{17}＞200$，与假设“总人数不超过200”矛盾，
$\therefore$ 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200。
(2) 设甲校报名参加研学游的学生有$x$人，乙校报名参加研学游的学生有$y$人，
由(1)可知总人数超过200，联合组团享受七五折优惠，因此总人数$x+y=39000÷(200×0.75)=260$。
① 当$100＜x≤200$时，甲校享受八五折，乙校少于100人享受九五折，列方程组：
$\begin{cases} 200×85\%x+200×95\%y=46000 \\ x+y=260 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=170 \\ y=90 \end{cases}$，符合$100＜170≤200$、$y=90＜100$的条件。
② 当$x＞200$时，甲校享受七五折，乙校享受九五折，列方程组：
$\begin{cases} 200×75\%x+200×95\%y=46000 \\ x+y=260 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=85 \\ y=175 \end{cases}$，不符合$x＞200$、$y＜100$的条件，舍去。
【答案】
(1) 两所学校报名参加研学游的学生人数之和超过200，理由见解析；
(2) 甲校报名参加研学游的学生有170人，乙校报名参加研学游的学生有90人。
【知识点】
二元一次方程组的应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题以生活中的团购优惠为背景，考查方程思想和分类讨论思想的应用，解题时要注意根据人数对应的折扣区间列方程，求出解后需要验证是否符合题目的人数限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
