登录
1.一段工程施工需要运送土石方总量为$10^5\ \mathrm{m}^3$，设土石方日平均运送量为$V$(单位：$\mathrm{m}^3/$天)，完成运送任务所需要的时间为$t$(单位：天)，则$V$与$t$满足(
A.反比例函数关系
B.正比例函数关系
C.一次函数关系
D.以上均不正确
A
)。A.反比例函数关系
B.正比例函数关系
C.一次函数关系
D.以上均不正确
答案
1.A
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先明确题目中的不变量和变量：土石方总量$10^5\ \mathrm{m}^3$是定值，变量是日平均运送量$V$和运送时间$t$；②回忆工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，据此列出$V$和$t$的关系式；③将关系式变形后，对照正比例函数、反比例函数、一次函数的定义进行判断，即可得到答案。
【解析】
根据工程问题的等量关系可得：土石方总量 = 日平均运送量 × 运送时间，即$V · t = 10^5$。
将式子变形可得$V = \frac{10^5}{t}$，其中$10^5$是不为0的常数。
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，可知$V$与$t$满足反比例函数关系。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.工程问题基本等量关系
【点评】
本题考查函数类型的判定，解题核心是结合实际问题的数量关系列出两个变量的表达式，再对应各类函数的定义判断即可，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
解题时可按以下步骤思考：①先明确题目中的不变量和变量：土石方总量$10^5\ \mathrm{m}^3$是定值，变量是日平均运送量$V$和运送时间$t$；②回忆工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，据此列出$V$和$t$的关系式；③将关系式变形后，对照正比例函数、反比例函数、一次函数的定义进行判断，即可得到答案。
【解析】
根据工程问题的等量关系可得：土石方总量 = 日平均运送量 × 运送时间，即$V · t = 10^5$。
将式子变形可得$V = \frac{10^5}{t}$，其中$10^5$是不为0的常数。
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，可知$V$与$t$满足反比例函数关系。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.工程问题基本等量关系
【点评】
本题考查函数类型的判定，解题核心是结合实际问题的数量关系列出两个变量的表达式，再对应各类函数的定义判断即可，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
2. 下列各选项中的两个量，不成反比例关系的是(
A.三角形的面积为 $6\ \mathrm{cm}^2$，它的一条边的长与这条边上的高
B.计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
C.100米短跑比赛，跑步的平均速度与时间
D.车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数
B
).A.三角形的面积为 $6\ \mathrm{cm}^2$，它的一条边的长与这条边上的高
B.计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额
C.100米短跑比赛，跑步的平均速度与时间
D.车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数
答案
2.B
解析
【分析】
要判断两个量是否成反比例关系，首先明确反比例关系的判定标准：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。解题时我们先逐个分析每个选项中两个量的数量关系，判断它们的乘积是否为定值即可。
【解析】
首先明确反比例关系的核心特征：两个相关联的量的乘积为定值。
对各选项逐一分析：
A选项：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S=6\ \mathrm{cm}^2$，代入得$\frac{1}{2}×底×高=6$，即$底×高=12$（定值），因此边长与对应高成反比例关系，不符合题意。
B选项：购买苹果的金额+购买香蕉的金额=100元，两个量是和为定值，不是乘积为定值，因此不成反比例关系，符合题意。
C选项：路程公式为$路程=速度×时间$，已知路程为100米，即$速度×时间=100$（定值），因此平均速度与时间成反比例关系，不符合题意。
D选项：总零件数=每天加工零件个数×加工时间，已知总零件数为800个，即$每天加工零件个数×加工时间=800$（定值），因此加工时间与每天加工零件个数成反比例关系，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系的判定、常见数量关系应用
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是抓住反比例关系“乘积为定值”的核心特征，注意不要将“和为定值”“商为定值”的情况和反比例关系混淆。
【难度系数】
0.8
要判断两个量是否成反比例关系，首先明确反比例关系的判定标准：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。解题时我们先逐个分析每个选项中两个量的数量关系，判断它们的乘积是否为定值即可。
【解析】
首先明确反比例关系的核心特征：两个相关联的量的乘积为定值。
对各选项逐一分析：
A选项：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S=6\ \mathrm{cm}^2$，代入得$\frac{1}{2}×底×高=6$，即$底×高=12$（定值），因此边长与对应高成反比例关系，不符合题意。
B选项：购买苹果的金额+购买香蕉的金额=100元，两个量是和为定值，不是乘积为定值，因此不成反比例关系，符合题意。
C选项：路程公式为$路程=速度×时间$，已知路程为100米，即$速度×时间=100$（定值），因此平均速度与时间成反比例关系，不符合题意。
D选项：总零件数=每天加工零件个数×加工时间，已知总零件数为800个，即$每天加工零件个数×加工时间=800$（定值），因此加工时间与每天加工零件个数成反比例关系，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系的判定、常见数量关系应用
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是抓住反比例关系“乘积为定值”的核心特征，注意不要将“和为定值”“商为定值”的情况和反比例关系混淆。
【难度系数】
0.8
3. 下面四个表达式中，$y$是$x$的反比例函数的是(
A.$y=\frac{x}{3}+5$
B.$xy=9$
C.$y=2x+1$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
B
).A.$y=\frac{x}{3}+5$
B.$xy=9$
C.$y=2x+1$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题的核心是先明确反比例函数的定义，反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式。我们只需要逐个将选项中的表达式变形，对照定义判断，不符合的逐一排除即可。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，自变量$x$的次数为1，且$x$在分母位置。
选项A：$y=\frac{x}{3}+5$是形如$y=kx+b$（$k=\frac{1}{3},b=5$）的一次函数，不是反比例函数，排除；
选项B：将$xy=9$变形可得$y=\frac{9}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=9≠0$）的形式，是反比例函数；
选项C：$y=2x+1$是形如$y=kx+b$（$k=2,b=1$）的一次函数，不是反比例函数，排除；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}$中分母是$x^2$，自变量$x$的次数是2，不符合反比例函数自变量次数为1的要求，不是反比例函数，排除。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、一次函数的识别
【点评】
本题考查反比例函数的基础识别，解题关键是牢记反比例函数的三类表达形式，判断时可先对表达式进行变形，同时要注意区分一次函数，以及自变量次数不符合要求的易错情况。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确反比例函数的定义，反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式。我们只需要逐个将选项中的表达式变形，对照定义判断，不符合的逐一排除即可。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，自变量$x$的次数为1，且$x$在分母位置。
选项A：$y=\frac{x}{3}+5$是形如$y=kx+b$（$k=\frac{1}{3},b=5$）的一次函数，不是反比例函数，排除；
选项B：将$xy=9$变形可得$y=\frac{9}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=9≠0$）的形式，是反比例函数；
选项C：$y=2x+1$是形如$y=kx+b$（$k=2,b=1$）的一次函数，不是反比例函数，排除；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}$中分母是$x^2$，自变量$x$的次数是2，不符合反比例函数自变量次数为1的要求，不是反比例函数，排除。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、一次函数的识别
【点评】
本题考查反比例函数的基础识别，解题关键是牢记反比例函数的三类表达形式，判断时可先对表达式进行变形，同时要注意区分一次函数，以及自变量次数不符合要求的易错情况。
【难度系数】
0.8
4. 下列函数不是反比例函数的是(
A.$y=\dfrac{2026}{x}$
B.$y=-2026x^{-1}$
C.$y=\dfrac{x}{2026}$
D.$xy=-2026$
C
).A.$y=\dfrac{2026}{x}$
B.$y=-2026x^{-1}$
C.$y=\dfrac{x}{2026}$
D.$xy=-2026$
答案
4.C
解析
【分析】
解题首先要明确反比例函数的定义及三种常见等价表达形式：①$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时只需将各选项的函数形式与上述三种形式逐一比对，不符合的即为本题答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做反比例函数，它有两种常见等价变形：$y=kx^{-1}(k≠ 0)$、$xy=k(k≠ 0)$。
选项A：$y=\dfrac{2026}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$（$k=2026≠0$），是反比例函数，不符合题意；
选项B：$y=-2026x^{-1}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=-2026≠0$），变形可得$y=\dfrac{-2026}{x}$，是反比例函数，不符合题意；
选项C：$y=\dfrac{x}{2026}$可整理为$y=\dfrac{1}{2026}x$，是正比例函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，符合题意；
选项D：$xy=-2026$变形可得$y=\dfrac{-2026}{x}$，符合$xy=k$（$k=-2026≠0$），是反比例函数，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是考查对反比例函数定义和常见表达形式的掌握，解题时要注意区分反比例函数和正比例函数的形式差异，牢记定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确反比例函数的定义及三种常见等价表达形式：①$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时只需将各选项的函数形式与上述三种形式逐一比对，不符合的即为本题答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做反比例函数，它有两种常见等价变形：$y=kx^{-1}(k≠ 0)$、$xy=k(k≠ 0)$。
选项A：$y=\dfrac{2026}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$（$k=2026≠0$），是反比例函数，不符合题意；
选项B：$y=-2026x^{-1}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=-2026≠0$），变形可得$y=\dfrac{-2026}{x}$，是反比例函数，不符合题意；
选项C：$y=\dfrac{x}{2026}$可整理为$y=\dfrac{1}{2026}x$，是正比例函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，符合题意；
选项D：$xy=-2026$变形可得$y=\dfrac{-2026}{x}$，符合$xy=k$（$k=-2026≠0$），是反比例函数，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是考查对反比例函数定义和常见表达形式的掌握，解题时要注意区分反比例函数和正比例函数的形式差异，牢记定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5. 如果函数$y=(m-1)x^{|m|-2}$是反比例函数，那么$m$的值是(
A.2
B.-1
C.1
D.±1
B
).A.2
B.-1
C.1
D.±1
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为0。我们先根据指数要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列两个条件：
1. 自变量$x$的指数满足：$\vert m\vert -2 = -1$
解方程得：$\vert m\vert =1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 比例系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，排除$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，解绝对值方程，一元一次不等式求解
【点评】
这道题是反比例函数概念的基础易错题，解题的关键是牢记反比例函数的两个限制条件，切勿忽略比例系数不为0的要求，否则容易误选D选项。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为0。我们先根据指数要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列两个条件：
1. 自变量$x$的指数满足：$\vert m\vert -2 = -1$
解方程得：$\vert m\vert =1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 比例系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，排除$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，解绝对值方程，一元一次不等式求解
【点评】
这道题是反比例函数概念的基础易错题，解题的关键是牢记反比例函数的两个限制条件，切勿忽略比例系数不为0的要求，否则容易误选D选项。
【难度系数】
0.6
6.已知y与x成反比例，下面表格给出了x与y的一些值，则空格中所表示的数是（
A.－4
B.4
C.－9
D.9
C
）。A.－4
B.4
C.－9
D.9
答案
6.C
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的定义：若y与x成反比例，则可表示为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），变形可得$xy=k$，即任意一组对应x、y的乘积为定值。我们首先利用表格中给出的一组已知的x、y对应值求出k的值，再将$x=-2$代入解析式，即可算出空格处的y值。
【解析】
解：
∵y与x成反比例，
∴设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，k为常数），即$xy=k$。
由表格可知，当$x=3$时，$y=6$，
将其代入$k=xy$得：$k=3×6=18$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
当$x=-2$时，$y=\frac{18}{-2}=-9$，即空格中的数为-9。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是先利用已知对应值求出反比例系数k，再代入自变量计算对应的函数值，解题时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.75
首先回忆反比例函数的定义：若y与x成反比例，则可表示为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），变形可得$xy=k$，即任意一组对应x、y的乘积为定值。我们首先利用表格中给出的一组已知的x、y对应值求出k的值，再将$x=-2$代入解析式，即可算出空格处的y值。
【解析】
解：
∵y与x成反比例，
∴设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，k为常数），即$xy=k$。
由表格可知，当$x=3$时，$y=6$，
将其代入$k=xy$得：$k=3×6=18$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
当$x=-2$时，$y=\frac{18}{-2}=-9$，即空格中的数为-9。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是先利用已知对应值求出反比例系数k，再代入自变量计算对应的函数值，解题时要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.75
7.若函数$y=-\dfrac{3}{x^{m-2}}$是反比例函数，则$m=$
3
答案
7.3
解析
【分析】
解本题的核心是掌握反比例函数的定义，首先回忆反比例函数的形式：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$），也可变形为$y=kx^{-1}$，可知自变量$x$的指数为$-1$。接下来对照题目给出的函数式，找到自变量$x$的指数，令其符合反比例函数的指数要求，列一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，其自变量$x$的次数为$-1$。
将题中函数$y=-\dfrac{3}{x^{m-2}}$变形为$y=-3x^{-(m-2)}$，对比反比例函数形式可得：
$-(m-2)=-1$
方程两边同时乘$-1$得：$m-2=1$
移项计算得：$m=3$
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的定义、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对反比例函数定义的掌握程度，解题的关键是准确记忆反比例函数中自变量的次数要求，只要熟练掌握相关定义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是掌握反比例函数的定义，首先回忆反比例函数的形式：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$），也可变形为$y=kx^{-1}$，可知自变量$x$的指数为$-1$。接下来对照题目给出的函数式，找到自变量$x$的指数，令其符合反比例函数的指数要求，列一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，其自变量$x$的次数为$-1$。
将题中函数$y=-\dfrac{3}{x^{m-2}}$变形为$y=-3x^{-(m-2)}$，对比反比例函数形式可得：
$-(m-2)=-1$
方程两边同时乘$-1$得：$m-2=1$
移项计算得：$m=3$
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的定义、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对反比例函数定义的掌握程度，解题的关键是准确记忆反比例函数中自变量的次数要求，只要熟练掌握相关定义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8. 若函数 $ y=(k-3)x^{k^2 -10} $ 是反比例函数，则k的值为
-3
答案
8.-3
解析
【分析】
要确定反比例函数中参数k的值，首先要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，需要同时满足两个条件：①自变量x的指数为-1；②x的系数不等于0。我们可以先根据指数要求列方程求出k的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到正确的k值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量x的指数满足：$k^2 - 10 = -1$
移项计算得$k^2=9$，解得$k=3$或$k=-3$
2. 反比例系数不为0：$k-3≠0$，即$k≠3$
结合两个条件，排除不符合要求的$k=3$，因此$k=-3$
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数的概念、一元二次方程求解、不等式应用
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略反比例系数不能为0的限制条件，误将$k=3$也作为正确结果，解题时需注意验证定义的全部限制条件后再确定最终答案。
【难度系数】
0.6
要确定反比例函数中参数k的值，首先要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，需要同时满足两个条件：①自变量x的指数为-1；②x的系数不等于0。我们可以先根据指数要求列方程求出k的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到正确的k值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量x的指数满足：$k^2 - 10 = -1$
移项计算得$k^2=9$，解得$k=3$或$k=-3$
2. 反比例系数不为0：$k-3≠0$，即$k≠3$
结合两个条件，排除不符合要求的$k=3$，因此$k=-3$
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数的概念、一元二次方程求解、不等式应用
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略反比例系数不能为0的限制条件，误将$k=3$也作为正确结果，解题时需注意验证定义的全部限制条件后再确定最终答案。
【难度系数】
0.6
9. 某段公路全长 200 km，一辆汽车要行驶完这段路程，则所行速度 $ v $ (km/h)和时间 $ t $ (h)之间的函数关系为 $ v = $
$\frac{200}{t}$
。若限定汽车行驶速度不超过 80 km/h，则所用时间至少要 2.5
h.答案
9.$\frac{200}{t}$ 2.5
[解析]根据等量关系“速度=路程÷时间”，得速度v(km/h)和时间t(h)之间的函数关系为$v=\frac{200}{t}$，
∴当$v≤80$时，$t≥2.5$.
[解析]根据等量关系“速度=路程÷时间”，得速度v(km/h)和时间t(h)之间的函数关系为$v=\frac{200}{t}$，
∴当$v≤80$时，$t≥2.5$.
解析
【分析】
解题思路分为两步：①求v与t的函数关系：先回忆行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，已知路程固定为200km，对公式变形即可得到v关于t的表达式；②求最短时间：已知速度上限为80km/h，将v≤80代入所得函数表达式，结合时间t为正数的实际意义，解不等式即可得到t的最小值。
【解析】
1. 求速度v与时间t的函数关系：
根据行程问题基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$，已知路程$s=200\mathrm{km}$，对公式变形可得：$v=\frac{s}{t}=\frac{200}{t}$，其中$t＞0$。
2. 求限定速度下的最短时间：
已知汽车行驶速度不超过80km/h，即$v≤ 80$，将$v=\frac{200}{t}$代入不等式得：
$\frac{200}{t}≤ 80$
由于时间t是正数，两边同时乘t，不等号方向不变，得：
$200≤ 80t$
两边同时除以80，解得：
$t≥ \frac{200}{80}=2.5$
即所用时间至少要2.5h。
【答案】
$\frac{200}{t}$；$2.5$
【知识点】
行程问题基本公式、反比例函数解析式、一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际行程场景考查反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握行程问题的数量关系，同时注意实际问题中自变量的取值范围，解不等式时避免因忽略t的正负搞错不等号方向。
【难度系数】
0.85
解题思路分为两步：①求v与t的函数关系：先回忆行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，已知路程固定为200km，对公式变形即可得到v关于t的表达式；②求最短时间：已知速度上限为80km/h，将v≤80代入所得函数表达式，结合时间t为正数的实际意义，解不等式即可得到t的最小值。
【解析】
1. 求速度v与时间t的函数关系：
根据行程问题基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$，已知路程$s=200\mathrm{km}$，对公式变形可得：$v=\frac{s}{t}=\frac{200}{t}$，其中$t＞0$。
2. 求限定速度下的最短时间：
已知汽车行驶速度不超过80km/h，即$v≤ 80$，将$v=\frac{200}{t}$代入不等式得：
$\frac{200}{t}≤ 80$
由于时间t是正数，两边同时乘t，不等号方向不变，得：
$200≤ 80t$
两边同时除以80，解得：
$t≥ \frac{200}{80}=2.5$
即所用时间至少要2.5h。
【答案】
$\frac{200}{t}$；$2.5$
【知识点】
行程问题基本公式、反比例函数解析式、一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际行程场景考查反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握行程问题的数量关系，同时注意实际问题中自变量的取值范围，解不等式时避免因忽略t的正负搞错不等号方向。
【难度系数】
0.85
10. 跨学科 计算乐器的弦的振动频率 在一定条件下，乐器中弦振动的频率$f$(赫兹)与弦长$l$(米)成反比例关系，即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数，$k≠0$)。若某乐器的弦长$l$为0.9米，振动频率$f$为200赫兹，则$k$的值为
180
。答案
10.180
解析
【分析】
本题给出了弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，已知一组对应的$l$和$f$的数值，解题思路是将已知的自变量$l$和函数值$f$代入反比例函数解析式，通过等式运算即可求出常数$k$的值。
【解析】
将$l=0.9$米，$f=200$赫兹代入反比例函数表达式$f=\frac{k}{l}$中，可得：
$200=\frac{k}{0.9}$
根据等式的性质，等式两边同时乘$0.9$，解得：
$k=200×0.9=180$
【答案】
180
【知识点】
反比例函数概念，代入求值
【点评】
本题结合乐器弦振动的实际场景命题，考查反比例函数的基础应用，解题的关键是准确代入已知数值计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
本题给出了弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，已知一组对应的$l$和$f$的数值，解题思路是将已知的自变量$l$和函数值$f$代入反比例函数解析式，通过等式运算即可求出常数$k$的值。
【解析】
将$l=0.9$米，$f=200$赫兹代入反比例函数表达式$f=\frac{k}{l}$中，可得：
$200=\frac{k}{0.9}$
根据等式的性质，等式两边同时乘$0.9$，解得：
$k=200×0.9=180$
【答案】
180
【知识点】
反比例函数概念，代入求值
【点评】
本题结合乐器弦振动的实际场景命题，考查反比例函数的基础应用，解题的关键是准确代入已知数值计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
三、解答题
11. 给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假.
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成反比例.
11. 给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假.
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成反比例.
答案
11.(1)
∵等腰三角形的面积一定，
∴底边长和底边上的高的乘积为非零常数.
∴命题(1)是真命题.
(2)
∵菱形的面积是它的对角线长的乘积的一半，
∴当菱形的面积一定时，对角线长的乘积也一定.
∴它们成反比例.
∴命题(2)是真命题.
(3)
∵矩形的面积一定时，它的对角线长的乘积并不一定，
∴两对角线长不成反比例.
∴命题(3)为假命题.
(4)
∵直角三角形的面积为直角边乘积的一半，
∴当它的面积一定时，其直角边长的乘积也一定.
∴两直角边长成反比例.
∴命题(4)是真命题.
∵等腰三角形的面积一定，
∴底边长和底边上的高的乘积为非零常数.
∴命题(1)是真命题.
(2)
∵菱形的面积是它的对角线长的乘积的一半，
∴当菱形的面积一定时，对角线长的乘积也一定.
∴它们成反比例.
∴命题(2)是真命题.
(3)
∵矩形的面积一定时，它的对角线长的乘积并不一定，
∴两对角线长不成反比例.
∴命题(3)为假命题.
(4)
∵直角三角形的面积为直角边乘积的一半，
∴当它的面积一定时，其直角边长的乘积也一定.
∴两直角边长成反比例.
∴命题(4)是真命题.
解析
【分析】
判断两个量是否成反比例的核心依据是反比例的定义：若两个相关联的变量的乘积为非零定值，则这两个量成反比例。解题时先明确对应几何图形的面积计算公式，将面积设为定值，再推导待判断的两个量的乘积是否为固定非零值，即可判断命题的真假。
【解析】
(1) 设等腰三角形面积为定值，根据三角形面积公式可得：底边长×底边上的高 = 2×面积，即底边长和底边上的高的乘积为非零常数，符合反比例的定义，因此命题(1)是真命题。
(2) 菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，当菱形面积一定时，可得：两条对角线长的乘积 = 2×面积，即两条对角线长的乘积为非零常数，符合反比例的定义，因此命题(2)是真命题。
(3) 矩形的面积由长和宽的乘积决定，当面积一定时，矩形的两条对角线长的乘积与面积没有直接的定值关系，即两条对角线长的乘积不是固定常数，不符合反比例的定义，因此两对角线长不成反比例，命题(3)是假命题。
(4) 直角三角形的面积等于两条直角边长乘积的一半，当面积一定时，可得：两条直角边长的乘积 = 2×面积，即两直角边长的乘积为非零常数，符合反比例的定义，因此命题(4)是真命题。
【答案】
(1)真命题；(2)真命题；(3)假命题；(4)真命题
【知识点】
反比例的判定，几何图形面积计算，命题真假判断
【点评】
本题重点考查反比例的判定方法，解题关键是抓住“两个相关变量乘积为非零定值”这一核心判定条件，结合常见几何图形的面积公式推导即可，需注意不要混淆不同图形的线段与面积的对应关系，避免判断失误。
【难度系数】
0.7
判断两个量是否成反比例的核心依据是反比例的定义：若两个相关联的变量的乘积为非零定值，则这两个量成反比例。解题时先明确对应几何图形的面积计算公式，将面积设为定值，再推导待判断的两个量的乘积是否为固定非零值，即可判断命题的真假。
【解析】
(1) 设等腰三角形面积为定值，根据三角形面积公式可得：底边长×底边上的高 = 2×面积，即底边长和底边上的高的乘积为非零常数，符合反比例的定义，因此命题(1)是真命题。
(2) 菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，当菱形面积一定时，可得：两条对角线长的乘积 = 2×面积，即两条对角线长的乘积为非零常数，符合反比例的定义，因此命题(2)是真命题。
(3) 矩形的面积由长和宽的乘积决定，当面积一定时，矩形的两条对角线长的乘积与面积没有直接的定值关系，即两条对角线长的乘积不是固定常数，不符合反比例的定义，因此两对角线长不成反比例，命题(3)是假命题。
(4) 直角三角形的面积等于两条直角边长乘积的一半，当面积一定时，可得：两条直角边长的乘积 = 2×面积，即两直角边长的乘积为非零常数，符合反比例的定义，因此命题(4)是真命题。
【答案】
(1)真命题；(2)真命题；(3)假命题；(4)真命题
【知识点】
反比例的判定，几何图形面积计算，命题真假判断
【点评】
本题重点考查反比例的判定方法，解题关键是抓住“两个相关变量乘积为非零定值”这一核心判定条件，结合常见几何图形的面积公式推导即可，需注意不要混淆不同图形的线段与面积的对应关系，避免判断失误。
【难度系数】
0.7
