1. 如图,在△ABC中,∠A=60°,O为△ABC内一点,且∠BOC=140°.若$BO_1$平分∠ABO,$CO_1$平分∠ACO,$BO_2$平分∠$ABO_1$,$CO_2$平分∠$ACO_1$,…,$BO_n$平分∠$ABO_{n-1}$,$CO_n$平分∠$ACO_{n-1}$(n为大于1的正整数),则∠$BO_1C$=,∠$BO_{2026}C$=.

1. $100°\quad 60°+\dfrac{80°}{2^{2026}}$ 解析: 因为$∠ BOC=140°$,所以$∠1+∠2=180°-∠ BOC=40°$. 因为$∠ A=60°$,所以$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°$. 所以$∠ ABO+∠ ACO=∠ ABC+∠ ACB-∠1-∠2=80°$. 因为$O_1B$平分$∠ ABO$,$O_1C$平分$∠ ACO$,所以$∠ ABO_1=\dfrac{1}{2}∠ ABO$,$∠ ACO_1=\dfrac{1}{2}∠ ACO$. 所以$∠ ABO_1+∠ ACO_1=\dfrac{1}{2}(∠ ABO+∠ ACO)=40°$,即$∠ O_1BC+∠ O_1CB=∠ ABC-∠ ABO_1+∠ ACB-∠ ACO_1=80°$. 所以$∠ BO_1C=180°-(∠ O_1BC+∠ O_1CB)=100°$. 同理,得$∠ ABO_2+∠ ACO_2=\dfrac{1}{2}(∠ ABO_1+∠ ACO_1)=20°$, 即$∠ O_2BC+∠ O_2CB=∠ ABC-∠ ABO_2+∠ ACB-∠ ACO_2=100°$. 所以$∠ BO_2C=180°-(∠ O_2BC+∠ O_2CB)=80°$. 归纳类推,得$∠ BO_nC=180°-(120°-\dfrac{80°}{2^n})=60°+\dfrac{80°}{2^n}$, 其中$n$为正整数, 所以$∠ BO_{2026}C=60°+\dfrac{80°}{2^{2026}}$.

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$P$，将$△ ABC$沿$DE$折叠使得点$A$与点$P$重合.若$∠ BDP + ∠ CEP = 76°$，则$∠ BPC$的度数是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

2. $109°$ 解析: 由折叠的性质,得$∠ PDE=∠ ADE$,$∠ PED=∠ AED$, 所以$∠ BDP+2∠ ADE=180°$,$∠ CEP+2∠ AED=180°$, 即$∠ BDP+∠ CEP+2(∠ ADE+∠ AED)=360°$. 因为$∠ BDP+∠ CEP=76°$, 所以$∠ ADE+∠ AED=142°$. 又$∠ ADE+∠ AED=180°-∠ A=∠ ABC+∠ ACB$, 所以$∠ ABC+∠ ACB=142°$. 因为$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$P$, 所以$∠ PCB=\dfrac{1}{2}∠ ACB$,$∠ PBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$. 所以$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=109°$.

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点O，$∠ ACB$的邻补角平分线所在直线与$∠ ABC$的平分线相交于点D，与$∠ ABC$的邻补角平分线相交于点E.有下列结论：①$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$；②$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$；③$∠ E=∠ A$；④$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$.其中一定正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第3题）

3. C 解析: 因为$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的平分线相交于点$O$, 所以$∠ ABD=∠ OBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ OCB=∠ OCA=\dfrac{1}{2}∠ ACB$. 所以$∠ OBC+∠ OCB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$. 又$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$, 所以$∠ OBC+∠ OCB=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$. 所以$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ A)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 故①正确; 因为$CD$平分$∠ ACF$, 所以$∠ DCF=\dfrac{1}{2}∠ ACF$. 因为$∠ ACF=∠ ABC+∠ A$,$∠ DCF=∠ OBC+∠ D$, 所以$\dfrac{1}{2}∠ ACF=\dfrac{1}{2}∠ ABC+\dfrac{1}{2}∠ A$, 即$∠ D=\dfrac{1}{2}∠ A$. 故②正确; 因为$∠ MBC=∠ A+∠ ACB$,$∠ BCN=∠ A+∠ ABC$, 所以$∠ MBC+∠ BCN=∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC=180°+∠ A$. 因为$BE$平分$∠ MBC$,$CE$平分$∠ BCN$, 所以$∠ EBC=\dfrac{1}{2}∠ MBC$,$∠ ECB=\dfrac{1}{2}∠ BCN$, 即$∠ EBC+∠ ECB=\dfrac{1}{2}(∠ MBC+∠ BCN)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 所以$∠ E=180°-(∠ EBC+∠ ECB)=180°-(90°+\dfrac{1}{2}∠ A)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$. 故③错误; 因为$∠ DCF=∠ DBC+∠ D$, 所以$∠ E+∠ DCF=90°-\dfrac{1}{2}∠ A+∠ DBC+\dfrac{1}{2}∠ A=90°+∠ DBC$. 因为$∠ ABD=∠ DBC$, 所以$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$. 故④正确. 综上,正确的有3个.

4. 如图，$∠ ABD$和$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，BF和CG分别是$∠ ABD$和$∠ ACE$的平分线，延长FB和GC交于点H.若$∠ A=α$，$∠ H=β$，则$α$与$β$之间的数量关系为.

4. $α+2β=180°$ 解析: 因为$BF$和$CG$分别是$∠ ABD$和$∠ ACE$的平分线, 所以$∠ DBF=\dfrac{1}{2}∠ ABD$,$∠ ECG=\dfrac{1}{2}∠ ACE$. 又$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$,$∠ ACE=∠ A+∠ ABC$, 所以$∠ ABD+∠ ACE=180°+∠ A$, 即$∠ DBF+∠ ECG=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 又$∠ BCH=∠ ECG$,$∠ CBH=∠ DBF$, 所以$∠ BCH+∠ CBH=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$, 即$∠ H=180°-(∠ BCH+∠ CBH)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$. 又$∠ A=α$,$∠ H=β$, 所以$β=90°-\dfrac{1}{2}α$. 整理,得$α+2β=180°$. 所以$α$与$β$之间的数量关系为$α+2β=180°$.

5. 如图，在$△ ABC$中，$AE$平分$∠ BAC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$∠ ABD$的平分线$BF$所在直线与射线$AE$相交于点$G$。若$∠ ABC=3∠ C$，且$∠ G=20°$，则$∠ DFB$的度数为（）

A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$

（第5题）（第6题）

5. C 解析: 因为$AE$平分$∠ BAC$,$BF$平分$∠ ABD$, 所以$∠ CAE=∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$∠ ABF=∠ DBF=\dfrac{1}{2}∠ ABD$. 设$∠ CAE=∠ BAE=x$,$∠ C=y$. 又$∠ ABC=3∠ C$, 所以$∠ ABC=3y$. 由外角的性质,得$∠ ABF=∠ BAE+∠ G$,$∠ ABD=∠ BAC+∠ C$. 又$∠ G=20°$, 所以$∠ ABF=x+20°$,$∠ ABD=2x+y$, 即$\dfrac{1}{2}∠ ABD=x+\dfrac{y}{2}$. 所以$\dfrac{y}{2}=20°$, 即$y=40°$. 所以$∠ ABC=120°$, 即$∠ ABD=60°$. 所以$∠ DBF=30°$. 又$AD⊥ BC$, 所以$∠ D=90°$, 即$∠ DFB+∠ DBF=90°$. 所以$∠ DFB=60°$.

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=α$,$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$,得$∠ A_1=$;$∠ A_1BC$的平分线与$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得$∠ A_2$;$···$;$∠ A_{2\ 025}BC$的平分线与$∠ A_{2\ 025}CD$的平分线交于点$A_{2\ 026}$,得$∠ A_{2\ 026}$,则$∠ A_{2\ 026}=$.

6. $\dfrac{α}{2}\quad \dfrac{α}{2^{2026}}$ 解析: 因为$A_1B$是$∠ ABC$的平分线,$A_1C$是$∠ ACD$的平分线, 所以$∠ A_1BC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ A_1CD=\dfrac{1}{2}∠ ACD$. 又$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$,$∠ A_1CD=∠ A_1BC+∠ A_1$, 所以$\dfrac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=\dfrac{1}{2}∠ ABC+∠ A_1$, 即$∠ A_1=\dfrac{1}{2}∠ A$. 因为$∠ A=α$, 所以$∠ A_1=\dfrac{α}{2}$. 同理,得$∠ A_2BC=\dfrac{1}{2}∠ A_1BC$,$∠ A_2CD=\dfrac{1}{2}∠ A_1CD$. 又$∠ A_1CD=∠ A_1BC+∠ A_1$,$∠ A_2CD=∠ A_2BC+∠ A_2$, 所以$\dfrac{1}{2}(∠ A_1BC+∠ A_1)=\dfrac{1}{2}∠ A_1BC+∠ A_2$, 即$∠ A_2=\dfrac{1}{2}∠ A_1=\dfrac{1}{2}·\dfrac{α}{2}=\dfrac{α}{2^2}$. 以此类推,$∠ A_n=\dfrac{α}{2^n}$($n$为正整数). 所以$∠ A_{2026}=\dfrac{α}{2^{2026}}$.

7. 如图，$AB⊥AC$，$D$，$E$分别是射线$AC$，$AB$上的动点，$∠ AED$的平分线与$∠ CDE$的平分线所在直线相交于点$M$.问：$∠ M$的度数是否发生改变？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由.

7. $∠ M$的度数不变. 因为$AB⊥ AC$, 所以$∠ A=90°$. 因为$∠ AED$的平分线与$∠ CDE$的平分线所在直线相交于点$M$, 所以$∠ MED=\dfrac{1}{2}∠ AED$,$∠ EDF=\dfrac{1}{2}∠ CDE$. 又$∠ CDE=∠ A+∠ AED$,$∠ EDF=∠ M+∠ MED$, 所以$∠ M=∠ EDF-∠ MED=\dfrac{1}{2}∠ CDE-\dfrac{1}{2}∠ AED=\dfrac{1}{2}(∠ CDE-∠ AED)=\dfrac{1}{2}∠ A=45°$, 即$∠ M$的度数不变.